借圖示表征，解“烙餅問題”

安徽亳州市蒙城縣逍遙路小學(xué)（233500） 潘冰寧 付 芳

圖示是指使用圖表、圖形、圖像或其他可視化方式來呈現(xiàn)信息、數(shù)據(jù)、概念或思想的過程。圖示表征可以將問題可視化，促進(jìn)思考、溝通聯(lián)系、分析問題。如圖1 所示，“烙餅問題”的目的是通過生活中常見的烙餅問題，讓學(xué)生經(jīng)歷探索多種解決方案的過程，從而選擇最優(yōu)方法，滲透優(yōu)化思想。

圖1 “烙餅問題”情境

在教學(xué)中，部分教師容易將“烙餅問題”上成一節(jié)“探索規(guī)律—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—總結(jié)方法”的課，課堂氛圍雖一片熱鬧，但缺乏冷靜思考。這導(dǎo)致學(xué)生僅僅學(xué)會(huì)套用方法，雖得其法卻不解其意，一旦變換題型就會(huì)束手無策。過于熱鬧的課堂和過于冷靜的課堂都不是好的教學(xué)狀態(tài)。因此，教師需要在必要的時(shí)機(jī)對(duì)學(xué)生的熱鬧進(jìn)行“冷處理”，利用圖示表征提高解決問題的效率。

一、利用圖示表征理解題意，找準(zhǔn)課堂教學(xué)起點(diǎn)

如果說智慧的大腦是解決問題的關(guān)鍵，那么理解題意就是解決問題的開端。在生活中，多數(shù)學(xué)生都會(huì)烙餅，但是將烙餅和數(shù)學(xué)相結(jié)合還是第一次，這也是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活密切聯(lián)系的契機(jī)。因此，讀懂題意在此時(shí)顯得尤為重要。

【教學(xué)片段1】

師：“每次只能烙2張餅”是什么意思？

生1：鍋里最多同時(shí)放2張餅。

師：請(qǐng)你上來畫一畫。

（生1畫出如圖2所示的圖形）

圖2 “每次只能烙2張餅”示意圖

師：“兩面都要烙”是什么意思？

生2：一張餅有兩個(gè)面，如果用正面、反面表示，出現(xiàn)“正”字表示烙正面，出現(xiàn)“反”字表示烙反面（如圖3）。

圖3 烙餅示意圖

師：根據(jù)他們說的這些數(shù)學(xué)信息，你能提出什么問題？

生3：烙3張餅要多長時(shí)間？

生4：烙3張餅至少要多長時(shí)間？

師：大家的理解能力越來越好了。烙3 張餅可能要1個(gè)小時(shí)或1天，而加了“至少”，說明你們用數(shù)學(xué)的眼光去看待問題了。

【教學(xué)思考】教材中所給的情境看似貼近生活實(shí)際，實(shí)則離生活還有一定距離，因?yàn)樯钪泻苌儆谢蛘哒f基本沒有關(guān)注烙餅要多久的問題。教師要幫助學(xué)生梳理圖中的信息，找到題眼——“每次只能烙2 張”“兩面都要烙”。在這一過程中，雖然可以讓學(xué)生用自己的話說一說，但是利用鍋和餅的圖示表征會(huì)更直觀，也更具說服力。教師利用圖示慢慢地剝離問題的生活情境，讓學(xué)生集中思考“烙3 張餅至少要多長時(shí)間”。這有助于學(xué)生直觀地理解問題的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)和關(guān)系，從而更好地把握問題的核心。

二、利用圖示表征尋找方法，突破學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)

直接進(jìn)入“烙3 張餅至少要多長時(shí)間”對(duì)學(xué)生而言有些難以接受，因此教師可以從最基礎(chǔ)的烙1張餅開始，利用表格表示烙餅過程（正面3 分鐘，反面3 分鐘，一共6 分鐘）。緊接著讓學(xué)生思考烙2 張餅的方法，這時(shí)候可能有學(xué)生受思維的局限，出現(xiàn)表1-1 的方法，也有學(xué)生經(jīng)過思考后給出表1-2 的方法。

表1-1 烙2張餅的方法1

【教學(xué)片段2】

師：誰看懂了表1-1和表1-2中的烙法？

生1：表1-1 的方法是鍋里每次放1 張餅，2 張餅烙完一共12 分鐘；表1-2 的方法是鍋里每次放2張餅，2張餅烙完一共6分鐘。

生2：為什么烙1張餅是6分鐘，烙2張餅也是6分鐘？

生3：因?yàn)?張餅可以同時(shí)放在鍋里一起烙。

師：也就是說，要想烙餅所用時(shí)間最少，就要保證鍋里每次都有2張餅。怎樣將表1-1的方法進(jìn)行調(diào)整，才能做到用時(shí)最少呢？

（學(xué)生進(jìn)行調(diào)整，見表2-1、表2-2）

表2-1 方法1調(diào)整前

師：調(diào)整后的方法（見表2-2）對(duì)嗎？

生4：不對(duì)，因?yàn)? 張餅不可能同時(shí)烙兩個(gè)面，只能是先烙完一面再烙另一面。

【教學(xué)思考】烙1 張餅很簡單，烙2 張餅的時(shí)候有的學(xué)生就忽略了“每次只能烙2 張餅”的信息，才會(huì)產(chǎn)生1 張1 張地烙的想法。此時(shí)，教師就需要及時(shí)借助圖示，讓這些學(xué)生學(xué)會(huì)2 張餅同時(shí)烙的省時(shí)方法。讓學(xué)生經(jīng)歷修正的過程，也是拉長學(xué)生思考的過程。在這個(gè)過程中讓學(xué)生感受只有在“滿鍋”的狀態(tài)下才最節(jié)省時(shí)間，提高學(xué)生思維的縝密性。這種思想也影響著接下來烙3 張餅的方法。解決“烙餅問題”時(shí)，利用圖示表征方法能夠有效地幫助學(xué)生克服難點(diǎn)，為問題的理解和解決提供了強(qiáng)有力的工具。

學(xué)生想到的烙3 張餅的方法有很多，教師可選擇以下三種情況（見表3-1、表3-2、表3-3）來給學(xué)生講解。對(duì)第一種烙法教師進(jìn)行肯定，因?yàn)樵谝欢ǔ潭壬线_(dá)到了節(jié)省時(shí)間的目的。對(duì)第二種烙法，教師需要學(xué)生回顧“1 張餅不可能同時(shí)烙兩個(gè)面”這個(gè)原則，以強(qiáng)化學(xué)生的優(yōu)化意識(shí)。

表3-1 烙3張餅的方法1

【教學(xué)片段3】

師（出示表3-3）：像他這么烙，烙幾次？

生5：3次。

師：除了這么烙還能怎么烙？

生6：“3反”和“2反”互換位置。

生7：“1正”和“1反”互換位置。

師：結(jié)合大家的方法，誰還有什么想說的？

生8：只要保證不出現(xiàn)同時(shí)烙1張餅的兩個(gè)面，其他怎么烙都行。

師：現(xiàn)在請(qǐng)你們利用手中的學(xué)具，一邊畫一邊說3張餅怎么烙3次的情況。

【教學(xué)思考】教師在教學(xué)過程中要善于傾聽學(xué)生不同的聲音。將烙3 張餅的方法按照順序依次出現(xiàn)，是符合學(xué)生的知識(shí)發(fā)展和心理特點(diǎn)的。而交替式的烙餅方法是學(xué)生思考由淺入深的必然過程。相信當(dāng)學(xué)生看到不同的圖示時(shí)，都會(huì)有自己的觀察、比較、思考在其中。讓每個(gè)學(xué)生都能有所發(fā)展正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義所在。學(xué)生在經(jīng)歷烙2 張餅后，一定會(huì)對(duì)烙3 張餅有不一樣的思考，教師應(yīng)充分相信學(xué)生，充分相信合作的力量，給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間去探索、去發(fā)現(xiàn)。

烙3 張餅很難突破，只有讓學(xué)生直面教學(xué)難點(diǎn)，才能留下思考的痕跡。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，利用圖示，學(xué)生可以直觀看到烙餅的方法，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)烙餅問題中的規(guī)律、模式及瓶頸，為問題求解提供新的思路和啟示。

三、利用圖示表征辨別優(yōu)化，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)節(jié)點(diǎn)

當(dāng)學(xué)生明白2張餅、3張餅的烙法后，心中必然是有所得意，教學(xué)也進(jìn)入白熱化階段。教師可相機(jī)提出“烙4 張餅最少要用幾分鐘”。教師巡視發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生選擇2 張2 張地烙（見表4-1），有學(xué)生受烙3張餅的影響用交替烙的方法（見表4-2）。教師讓學(xué)生比較兩種方法，大部分學(xué)生覺得交替烙的方法勞心費(fèi)神，且容易出錯(cuò)。

表4-1 烙4張餅的方法1

【教學(xué)片段4】

師：烙5張餅怎么烙呢？最少要用幾分鐘？

生1：先按順序烙2 張，再用交替法烙3 張，一共烙5次，用時(shí)15分鐘。

[生1邊說邊演示烙餅過程（見表5）］

表5 烙5張餅的方法

師：烙6張餅?zāi)兀?/p>

生2：2 張2 張地烙，一共烙6 次，共用3×6=18（分）。

師：烙7張餅?zāi)兀?/p>

生3：按順序2 張2 張地烙，烙4 張后，剩下的3張用交替法烙3次。

師：這么多餅都烙完了，你覺得烙幾張餅對(duì)我們解決問題最重要？

生4：烙3張，我從中知道了交替烙的方法。

生5：我覺得烙2張餅也很重要。

師：為什么？

生5：如果沒有烙2張餅的方法總結(jié)，就解決不了烙5張餅的問題。

師：掌聲送給會(huì)思考的孩子。

（教師繼續(xù)教學(xué)烙6張餅、7張餅以及9張餅）

【教學(xué)思考】對(duì)比烙4 張餅的2 種方法，讓學(xué)生打破思維定式進(jìn)一步感受“優(yōu)化”。有了這樣的體驗(yàn)，學(xué)生在思考烙5 張餅時(shí)，會(huì)將思考的重心放在如何縮短時(shí)間上，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)烙2 張和烙3 張的重要意義，為后面用最少的時(shí)間烙更多的餅打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在烙餅問題中，圖示表征的優(yōu)勢(shì)顯而易見。通過簡潔明了的圖示，學(xué)生可以直觀地觀察每次烙餅的結(jié)果，無須進(jìn)行煩瑣的計(jì)算，進(jìn)而快速找到最優(yōu)策略。此外，隨著餅的數(shù)量的增加，圖示的優(yōu)勢(shì)更加凸顯，因?yàn)樵趶?fù)雜的烙餅序列中，圖示可以幫助學(xué)生更好地跟蹤和分析每一步的操作，也更容易發(fā)現(xiàn)問題中的關(guān)聯(lián)性，從而更全面地理解烙餅問題的整體架構(gòu)。

四、利用圖示表征拓展思維，助力學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)目的

烙餅問題是有規(guī)律可循的，而有的教師僅僅通過簡單的講解便將公式“灌輸”給學(xué)生。正確的教學(xué)方法應(yīng)該是教師通過層層鋪墊，化繁為簡，從簡單的烙1 張餅開始教學(xué)，到烙2 張餅、3 張餅，以及烙更多的餅。當(dāng)學(xué)生意識(shí)到烙更多餅的方法可以總結(jié)成一個(gè)公式時(shí)，就是揭示烙餅問題背后規(guī)律的最佳時(shí)機(jī)。

【教學(xué)片段5】

師：在烙餅的時(shí)候，你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：有幾張餅就要烙幾次。

師：為什么烙的次數(shù)和餅的張數(shù)相同呢？

生2：烙餅的時(shí)候，每次烙2 個(gè)面，2 個(gè)面就是1張餅。

生3：因?yàn)槲覀円缅伒淖畲罂臻g，如果一個(gè)鍋一次可以烙2 張餅，那么烙餅次數(shù)=餅數(shù)×每個(gè)餅要烙的面數(shù)÷一個(gè)鍋?zhàn)疃喾诺娘灁?shù)。

師：觀察表6，烙餅所需的最少時(shí)間和什么有關(guān)？它們有怎樣的關(guān)系？

表6 烙餅時(shí)間分析表

生4：烙餅所需最少時(shí)間=烙1 面餅的用時(shí)×烙餅次數(shù)。

師：這個(gè)公式適用于所有情況嗎？

生5：不適合1 張餅的情況，因?yàn)? 張餅的兩面不能同時(shí)烙。

生6：如果一次能烙3 張餅，每個(gè)餅烙的面數(shù)就不能和每次最多放的餅數(shù)相抵消了，所以這個(gè)公式只適合一次放2張餅的情況。

【教學(xué)思考】通過觀察烙餅時(shí)間分析表，很多學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)“烙的次數(shù)等于餅的張數(shù)”這一規(guī)律，但并不理解其背后的真正原因。而通過質(zhì)疑公式的局限性，能讓學(xué)生理解公式背后的真正含義，從而提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。烙餅問題這節(jié)課通過一系列的觀察、操作、歸納、總結(jié)、轉(zhuǎn)化，將學(xué)生的思維以一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程呈現(xiàn)，讓思維得以提升、發(fā)展。

綜上所述，圖示在烙餅問題中起著重要的作用，它通過可視化的方式展示烙餅的初始狀態(tài)和每次操作后的位置變化，幫助學(xué)生直觀地觀察和分析問題。通過圖示，學(xué)生也更清楚地理解烙餅的順序和位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和性質(zhì)，從而制定最優(yōu)的解題策略。在教學(xué)中，教師要善于借助圖示解決教學(xué)中的難點(diǎn)，讓學(xué)生的思維真正做到動(dòng)態(tài)化。