一境二構(gòu)三問：促進(jìn)概念教學(xué)的深度理解
——以“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例

浙江杭州市錢塘區(qū)聽濤小學(xué)（310018） 龔 玲

杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院（310018） 徐良盛

【教學(xué)背景】

“倍的認(rèn)識(shí)”是人教版教材三年級(jí)上冊第五單元的內(nèi)容，該內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)初步了解了乘法和除法意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的?！氨丁笔且粋€(gè)重要但相對(duì)抽象的概念，與“分?jǐn)?shù)”“百分?jǐn)?shù)”和“比”等概念密切相關(guān)，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)。

通過前測發(fā)現(xiàn)，班級(jí)里大約5%的學(xué)生能夠描述倍數(shù)關(guān)系，但對(duì)于倍的確切含義的理解還較為模糊。例如，對(duì)于蘋果6 個(gè)、梨3 個(gè)這樣的情境，學(xué)生能理解蘋果的數(shù)量是梨的2 倍，但當(dāng)蘋果和梨的具體數(shù)量改變后，有些學(xué)生可能感到困惑。這反映部分學(xué)生對(duì)于“倍”的理解仍然比較表面，還未深入掌握。

基于此，筆者在設(shè)計(jì)“倍”這一教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，有意突出了以下兩點(diǎn)。第一，以“2 倍”為切入點(diǎn)，緊緊圍繞這個(gè)基本的倍數(shù)關(guān)系開展教學(xué)。通過構(gòu)建直觀的“倍”模型，幫助學(xué)生充分理解“倍”的本質(zhì)。第二，通過“變中求不變”的方法，逐步引導(dǎo)學(xué)生更深入地理解“倍”的含義。教師鼓勵(lì)學(xué)生從在具體情境中對(duì)比逐漸過渡到形式上的對(duì)比，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過分析多種具體事物的共性，抽象出事物的數(shù)量特征。

【課堂實(shí)錄】

一、創(chuàng)設(shè)情境，初步認(rèn)識(shí)“倍”

師（出示圖1）：秋天來了，果園豐收了，小動(dòng)物們忙著摘水果。請仔細(xì)觀察，看看能從圖中獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

圖1

師：蘋果和梨的個(gè)數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生1：蘋果比梨多3個(gè)。

生2：梨比蘋果少3個(gè)。

生3：蘋果的個(gè)數(shù)是梨的2倍。

師：你是怎么知道蘋果的個(gè)數(shù)是梨的2倍的？

生3：蘋果有6個(gè)，梨有3個(gè)，6里面有2個(gè)3。

生4：3+3=6。這也能看出6里面有2個(gè)3。

師：是的，兩個(gè)數(shù)量之間，除了“多”和“少”的關(guān)系，還有著“倍”的關(guān)系。如果我們把3 個(gè)梨看作一份（邊說邊在黑板上圈），蘋果有這樣的幾份呢？對(duì)，有這樣的2份。我們就說，蘋果的個(gè)數(shù)是梨的2倍。今天我們就要來研究有關(guān)“倍”的知識(shí)。

【設(shè)計(jì)解讀：學(xué)生喜聞樂見又充滿童趣的“小動(dòng)物摘水果”的教學(xué)情境，能抓住小學(xué)低段學(xué)生的心理特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。數(shù)一數(shù)、算一算這些都是學(xué)生常用的方法，為后續(xù)新知的教學(xué)做好了鋪墊?！?/p>

二、探究新知，對(duì)比中認(rèn)識(shí)“2倍”

1.在變中求不變

師：看！小狗也來摘果了，小狗摘的水果個(gè)數(shù)有沒有倍數(shù)關(guān)系呢？（出示圖2）你是怎么想的？

圖2

生1：蘋果有4個(gè)，草莓有2個(gè)，4里面有2個(gè)2。

師：誰聽懂了？

生2：如果把2 個(gè)草莓看作1 份，蘋果有這樣的2份，因此，蘋果的個(gè)數(shù)是草莓的2倍。

師：是的，如果把2 個(gè)草莓看作1 份，蘋果有這樣的2份，我們就說蘋果的個(gè)數(shù)是草莓的2倍。

師（出示圖3）：小象也來了，它摘的水果個(gè)數(shù)又有著怎樣的倍數(shù)關(guān)系呢？（學(xué)生回答略）

圖3

師：我們看看三個(gè)小動(dòng)物摘的水果，它們摘的個(gè)數(shù)一樣嗎？（不一樣）為什么各自摘的兩種水果數(shù)量都有2倍關(guān)系？

師（將圖4-1的信息隱去，得到圖4-2）：如果把上面的水果看作1 份，下面的水果有這樣的幾份？（學(xué)生回答略）

圖4-1

圖4-2

師：如果把上面的水果看作1 份，下面的水果都有這樣的2 份，因此下面的水果個(gè)數(shù)都是上面的2 倍。同學(xué)們真會(huì)觀察，能從不同中找到相同點(diǎn)，真棒！

【設(shè)計(jì)解讀：該環(huán)節(jié)采用圖像表征、操作表征、啟發(fā)談話、深度思考、合作交流等形式，引導(dǎo)學(xué)生將思考過程用“把（ ）看作1 份，（ ）有這樣的2份，我們就說（ ）是（ ）的2 倍”這樣準(zhǔn)確、精練的語言表達(dá)出來。一系列學(xué)生喜愛的“小動(dòng)物摘水果”的教學(xué)情境充分建構(gòu)“倍”的直觀模型，學(xué)生通過觀察思考“在變中求不變”，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“倍”，教師通過追問“水果個(gè)數(shù)不一樣，為什么都有‘2 倍’關(guān)系？”引導(dǎo)學(xué)生深入理解“倍”的本質(zhì)?！?/p>

2.無序中滲透有序思想

師（出示圖5）：小豬摘的水果看上去有點(diǎn)亂。你能從這么亂的圖中看出倍數(shù)關(guān)系嗎？你用的是什么辦法？

圖5

生3：圈一圈，將4 個(gè)西瓜看作1 份，菠蘿有這樣的2份。（教師出示圖6）

圖6

生4：理一理，一一對(duì)應(yīng)重新擺。（教師出示圖7）

圖7

生5：也可以列式得“8÷4=2”。

師：你們不僅看到了圖，還從中看到了數(shù)；不光看到了數(shù)，還看到了數(shù)量之間的關(guān)系。真棒！

【設(shè)計(jì)解讀：本環(huán)節(jié)繼續(xù)利用“小動(dòng)物摘水果”的教學(xué)情境，由易到難、從有序到無序，層層遞進(jìn)。開放的問題情境，激起了學(xué)生思維的火花，滿足了不同學(xué)生的需求，讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展?！?/p>

三、練習(xí)中過渡到“多倍”，完善“倍”的認(rèn)識(shí)

師：剛才我們說了那么多2 倍，那么有沒有3倍、4 倍甚至更多倍呢？請大家看練習(xí)題，找找看兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。（出示圖8）

圖8

【設(shè)計(jì)解讀：在學(xué)生充分認(rèn)識(shí)了2 倍，基本建構(gòu)了“倍”的模型后，教師通過類比遷移，引導(dǎo)學(xué)生自主認(rèn)識(shí)3倍、4倍等多倍關(guān)系?！?/p>

四、錯(cuò)例辨析中深入理解“倍”

師（出示圖9）：小兔也來湊熱鬧了。小兔說的對(duì)嗎？

圖9

生1：不對(duì)，梨有4 個(gè)，蘋果只有7 個(gè)，它們之間不是2倍關(guān)系。

師：你分析得很有道理。這里是把什么看作1份？

生2：把4個(gè)梨看作1份。

師（出示圖10）：這樣看，柿子算兩份嗎，為什么？

圖10

生3：不算，因?yàn)橄旅娴钠渲幸环葜挥? 個(gè)柿子，必須4個(gè)4個(gè)地圈，4個(gè)為一份，不能隨便圈。

師：把4個(gè)梨看作1份，柿子也要4個(gè)4個(gè)地圈，1 份數(shù)必須相同。把4 個(gè)梨看作1 份的話，怎么改一改柿子的個(gè)數(shù)才能讓柿子的個(gè)數(shù)是梨的2倍？

生4：加1個(gè)柿子。

生5：還可以分別去掉1個(gè)梨和1個(gè)柿子。

師：你的想法很有創(chuàng)意。這樣的話，原來1 份數(shù)就變成了3 個(gè)。它們還是2 倍關(guān)系，即1 份數(shù)在變，總數(shù)也隨之改變。

【設(shè)計(jì)解讀：在學(xué)生面對(duì)一系列問題，對(duì)于“倍”能正確理解后，設(shè)計(jì)一道“有問題”的練習(xí)引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生呈現(xiàn)“心求通而未得，口欲言而弗能”的憤悱狀態(tài)。此時(shí)提供給學(xué)生自主嘗試的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在暢所欲言中加深對(duì)“倍”的理解，同時(shí)收獲多種糾錯(cuò)的方法。特別是學(xué)生還提出了“可以分別去掉1 個(gè)梨和1 個(gè)柿子”的打破常規(guī)的思路，“倍數(shù)關(guān)系不變，1 份數(shù)在變，總數(shù)也隨之改變”這一結(jié)論的提出也水到渠成。心理學(xué)家蓋耶曾說過“若不允許學(xué)生自主嘗試和犯錯(cuò)，就將錯(cuò)過最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻”，的確如此！】

五、操作中感受比的標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)識(shí)“1倍”

師（出示圖11-1）：果園的柿子可多啦，小狗和小兔又來了。小兔想知道她摘的個(gè)數(shù)是小狗的幾倍。小兔摘了幾個(gè)？你們發(fā)現(xiàn)了什么？哦，小狗摘的個(gè)數(shù)不知道。那你們猜一猜，小狗有可能摘了幾個(gè)？有幾種可能？每一種情況中，小兔摘的個(gè)數(shù)是小狗的幾倍？先獨(dú)立探究，然后完成下面練習(xí)（如圖11-2）。

圖11-1

圖11-2

師：什么情況下是1倍的關(guān)系呢？

生1：當(dāng)兩個(gè)數(shù)量一樣時(shí)。

師：為什么小兔摘的個(gè)數(shù)一直沒有變，而這里的倍數(shù)關(guān)系卻在不斷地變化呢？

生2：因?yàn)樾」氛膫€(gè)數(shù)在變，也就是1份數(shù)在變化，所以倍數(shù)關(guān)系也會(huì)隨之改變。

【設(shè)計(jì)解讀：這是一道開放題，倍數(shù)關(guān)系不是獨(dú)立存在的。小兔摘了12 個(gè)，小狗摘的個(gè)數(shù)不知道，那么小狗摘的個(gè)數(shù)和12 存在倍數(shù)關(guān)系的情況就有多種。而題中“摘的個(gè)數(shù)是的（ ）倍”，實(shí)則是求“12 是（ ）的（ ）倍”，也就是大數(shù)是小數(shù)的幾倍。學(xué)生很容易得出1、2、3、4、6、12與12的倍數(shù)關(guān)系，其中難度較大的是1倍和12倍。當(dāng)小狗摘的個(gè)數(shù)是12 個(gè)，也就是和小兔摘的一樣多時(shí)，小兔摘的個(gè)數(shù)是小狗的1倍；當(dāng)小狗只摘了1個(gè)時(shí)，小兔摘的個(gè)數(shù)是小狗的12 倍。此題的教學(xué)意義不僅是讓學(xué)生理解“1 倍”，隨著問題“為什么小兔摘的個(gè)數(shù)一直沒有變，而這里的倍數(shù)關(guān)系卻在不斷地變化呢？”的提出，學(xué)生的思維進(jìn)入了更深處。】

六、游戲：翻一翻，變中再次感受比的標(biāo)準(zhǔn)

師：小貓咪摘水果累了，想和小朋友們玩?zhèn)€游戲。這里總共有12 個(gè)白圓（出示圖12-1），老師把其中一個(gè)翻了過來，瞧，它變成了黑圓（出示圖12-2）。這時(shí)白圓有幾個(gè)？（11 個(gè)）黑圓呢？（1 個(gè)）。你能用一句話說一說白圓的個(gè)數(shù)和黑圓的個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系嗎？

圖12-1

圖12-2

生1：11白、1黑，白圓的個(gè)數(shù)是黑圓的11倍。師：再翻一個(gè)呢？請說出其中的倍數(shù)關(guān)系。生2：10白、2黑，白圓的個(gè)數(shù)是黑圓的5倍。師：如果再翻一個(gè)呢？

生3：9白、3黑，白圓是黑圓的3倍。

師：再翻一個(gè)呢？

生4：8白、4黑，白圓是黑圓的2倍。

師：猜一猜，接下來還可以怎么翻？誰愿意來翻一下？

……

師：為什么前面我們說“白圓是黑圓的幾倍”，現(xiàn)在卻變成了“黑圓是白圓的幾倍”呢？

生5：因?yàn)楹趫A個(gè)數(shù)比白圓的多了。

生6：前面我們是把黑圓看作1份，白圓有這樣的幾份，就是黑圓的幾倍；隨著黑圓個(gè)數(shù)越來越多，我們把少的白圓看作1份，黑圓有這樣的幾份，我們就說黑圓是白圓的幾倍。

師：不難發(fā)現(xiàn)，比的標(biāo)準(zhǔn)不一樣，倍數(shù)關(guān)系也會(huì)隨之變化。

【設(shè)計(jì)解讀：教學(xué)接近尾聲，高潮沒有落幕。游戲環(huán)節(jié)再次激起學(xué)生思維的火花，課堂氛圍活躍，學(xué)生沉浸在快樂而有深度的學(xué)習(xí)中。隨著白圓不斷減少、黑圓不斷增加，比較的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生了變化，倍數(shù)關(guān)系也會(huì)隨之變化。從“倍數(shù)關(guān)系不變，1份數(shù)在變，總數(shù)也隨之改變”到“1 份數(shù)在變，倍數(shù)關(guān)系隨之改變”，再到“比較的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生了變化，倍數(shù)關(guān)系也會(huì)隨之變化”，真正實(shí)現(xiàn)了教學(xué)的“三進(jìn)階”。】

七、回歸生活，全課總結(jié)

師：同學(xué)們在生活中遇到過倍數(shù)關(guān)系嗎？“把（ ）看作一份，（ ）有這樣的（ ）份，我們就說，（ ）是（ ）的（ ）倍。”你能像這樣說一說生活中遇到的倍數(shù)關(guān)系嗎？

生1：弟弟有5 支鉛筆，我有10 支鉛筆，我的鉛筆支數(shù)是弟弟的2倍。

生2：我有10 本書，同桌有50 本書，同桌的書本數(shù)是我的5倍。

生3：我們學(xué)校三年級(jí)有8 個(gè)班，四年級(jí)也有8個(gè)班，三年級(jí)的班級(jí)數(shù)是四年級(jí)的1 倍，也可以說四年級(jí)的班級(jí)數(shù)是三年級(jí)的1倍。

師：同學(xué)們真是生活的有心人，能舉出來這么多關(guān)于倍數(shù)的例子。的確，有幾個(gè)1 份數(shù)這么多，我們就說它與1份數(shù)之間存在幾倍的數(shù)量關(guān)系。

師：今天我們認(rèn)識(shí)了“倍”這個(gè)新朋友，你知道了關(guān)于“倍”的哪些知識(shí)呢？（學(xué)生回答略）同學(xué)們，祝賀你們成功走進(jìn)了“倍”的世界，感悟到了數(shù)學(xué)是源于生活，并應(yīng)用于生活的。我們將在生活中繼續(xù)探索更多有關(guān)“倍”的知識(shí)！

【教學(xué)反思】

本節(jié)課遵從課程標(biāo)準(zhǔn)要求，精準(zhǔn)把握學(xué)情，透徹分析教材，將教學(xué)內(nèi)容趣味化、結(jié)構(gòu)化、懸疑式，以培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)“倍”概念這一模型的基本推理意識(shí)和推理能力。本課例主要有以下特點(diǎn)。

一、趣味化創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境

正如于漪老師所說，“課的第一錘要敲在學(xué)生的心靈上，激發(fā)起他們思維的火花”。的確，好的開頭可如磁石一般能將學(xué)生牢牢吸引。本節(jié)課圍繞“小動(dòng)物摘水果”這一教學(xué)情境開展“倍”的認(rèn)識(shí)教學(xué)，并且這一情境貫穿始終，符合學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)，充滿童趣又高潮迭起的課堂牢牢吸引了學(xué)生的注意力。

二、結(jié)構(gòu)化梳理教學(xué)重點(diǎn)

本節(jié)課從重點(diǎn)突破“2 倍”入手，引導(dǎo)學(xué)生初步理解“倍”的概念，再類比遷移到3倍、4倍及更多倍的學(xué)習(xí)——這是一條教學(xué)的明線；從“倍數(shù)關(guān)系不變，1 份數(shù)在變，總數(shù)隨之改變”到“總數(shù)不變，1 份數(shù)在變，倍數(shù)關(guān)系隨之改變”，再到“比較的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生變化，倍數(shù)關(guān)系也會(huì)隨之變化”，變中有不變——這是一條教學(xué)的暗線。皮亞杰指出：“數(shù)學(xué)是對(duì)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建而建立起來的。”明暗疊加的雙層次結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，將教學(xué)步步引向深入。

除此之外，構(gòu)建“倍”的教學(xué)模型過程中，教學(xué)板書的結(jié)構(gòu)化為有效突破教學(xué)難點(diǎn)提供了有力保障。教師帶著學(xué)生在圈圈畫畫中打造了簡潔明了、重點(diǎn)突出的板書，有力地引導(dǎo)學(xué)生不僅“想得通”，更要“說得清”，將內(nèi)在思維外化為語言輸出，為突破語言表達(dá)這一教學(xué)目標(biāo)提供了強(qiáng)有力的“腳手架”。與此同時(shí)，在課的最后，教師利用此板書（如圖13-1、13-2），將學(xué)生的視域從有限的課內(nèi)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)移到了廣闊的生活數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象，從課堂到生活的雙重教學(xué)目標(biāo)。

圖13-1

圖13-2

三、懸疑式追問教學(xué)難點(diǎn)

教學(xué)中，教師的主要任務(wù)在于“引”，而學(xué)生的主要任務(wù)在于“思”。本節(jié)課教師在教學(xué)難點(diǎn)處的三次追問，將學(xué)生的思維步步引向深入。教師的問，問在了教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)處，問在了學(xué)生思維的盲點(diǎn)處。只有教師有的放矢、“撥開迷霧”地追問，才能讓學(xué)生體會(huì)到抽絲剝繭、漸入佳境的“豁然開朗”，學(xué)生對(duì)“倍”概念的深度理解才能一步步實(shí)現(xiàn)！

任何一種教育理念都只有根植于課堂實(shí)踐這片肥沃的土壤才會(huì)具有鮮活的生命力。基于深度理解的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅符合認(rèn)知負(fù)荷理論，也是數(shù)學(xué)智慧課堂的必然選擇。這種設(shè)計(jì)有助于學(xué)生深入理解和系統(tǒng)掌握知識(shí)，同時(shí)感悟到學(xué)習(xí)內(nèi)容所體現(xiàn)的思維方法。唯有教師深度理解的教學(xué)實(shí)踐才能促進(jìn)學(xué)生的深度理解真正發(fā)生；唯有教師自身在教學(xué)上深入思考，才能引領(lǐng)學(xué)生的思維進(jìn)入更深處！