探尋“原理一致性”的教學(xué)實(shí)踐與思考
——以三年級下冊“面積和面積單位”教學(xué)為例

浙江長興縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)（313100） 沈俊杰

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)“為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)”，且明確指出整體把握教學(xué)內(nèi)容時應(yīng)注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，注重教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)。對此，一線教師應(yīng)從單元視角出發(fā)，打破課時與課時之間的邊界，觀照整個單元的內(nèi)容并推進(jìn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)。但僅從單元視角出發(fā)還不夠，知識的整體性不能局限于單元，還要站立于更上位的領(lǐng)域視角，打破單元與單元之間的邊界，構(gòu)筑一個大單元。大單元嚴(yán)格意義上來說不是內(nèi)容的單元，而是一個學(xué)習(xí)大單元。這意味著教師要在思維方式上建立關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生打通單元與單元、主題與主題之間的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，其中的關(guān)鍵在于理解具體知識內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)原理的一致性，由思維方式上的貫通達(dá)成學(xué)習(xí)上的遷移，具體可見“學(xué)習(xí)大單元”結(jié)構(gòu)圖（如圖1）。

圖1 “學(xué)習(xí)大單元”結(jié)構(gòu)圖

“面積”單元的學(xué)習(xí)是學(xué)生開啟二維空間認(rèn)知的關(guān)鍵，該單元的目標(biāo)達(dá)成手段和實(shí)踐形式較為豐富，在體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的整體性和一致性上的教學(xué)目標(biāo)是：使二維面積單位度量與一維長度單位度量之間形成關(guān)聯(lián)。如何才能做到真正的關(guān)聯(lián)呢？下面筆者以“面積和面積單位”的教學(xué)為例，在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中探尋知識原理的一致性，幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)的“真遷移”。

一、復(fù)盤以往教學(xué)，反思遷移是否真正達(dá)成

近年來，受到“單元整體教學(xué)”“大概念教學(xué)”等理念的影響，加上課程改革的實(shí)施，“面積和面積單位”的教學(xué)在知識遷移的層面基本指向一類教學(xué)事實(shí)：由“長度和長度單位”的學(xué)習(xí)遷移至“面積和面積單位”。具體教學(xué)流程如下。

【環(huán)節(jié)1】回顧長度度量，初步喚醒度量本質(zhì)。

師（出示一條線段）：如何知道它的長度？

生1：可以用直尺測量。

師：為什么用直尺測量？怎么測量？

生2：因?yàn)橹背呱嫌锌潭龋锌潭染涂梢詳?shù)出有幾個1厘米，幾個1厘米就是幾厘米。

師：如果是長一點(diǎn)的線段呢？

生3：換用分米作單位的直尺測量，再長的話可以用米作單位的卷尺測量，數(shù)出有幾個1 分米或者幾個1米。

【環(huán)節(jié)2】一維延伸至二維，對比建立面積概念。

師：想象一下，將這條線段向上平移，它移動的軌跡會是一個怎樣的圖形？

生4：一個長方形。

師：我想知道長方形這個面的大小，怎么辦？

生5：先測量長方形的長和寬，再計算周長。

生6：應(yīng)該是計算面積。

（教師引導(dǎo)學(xué)生思辨周長和面積的區(qū)別，得出面積的概念。）

【環(huán)節(jié)3】自主遷移關(guān)聯(lián)，滲透面積度量本質(zhì)。

師：我們已經(jīng)知道了什么是面積，那么如何知道這個長方形的面積？

生7：用小方塊擺，鋪滿幾個小方塊，面積就是幾。

生8：不知道怎么回答。

師：想一想，我們是怎么去測量長度的？

（教師播放課件“用短線段擺長線段”和“用小方塊鋪大長方形”。）

師（追問）：如果這個長方形很大呢？

生9：用大方塊去鋪。

師（小結(jié)）：用面積單位去度量面積的大小時，可以根據(jù)面積大小選擇合適的面積單位。

師：你都知道哪些面積單位？它們有多大？它們之間有什么樣的關(guān)系？

復(fù)盤整個教學(xué)過程，學(xué)生清楚了面積的概念，建立了一維長度和二維面積在“度量”上的聯(lián)系，完成了知識的遷移。遷移具體表現(xiàn)于度量面積時，將測量長度“數(shù)線段”的方法變成了“擺小方塊”的方法，而后小方塊搖身一變成了面積單位，長度單位和面積單位實(shí)現(xiàn)了關(guān)聯(lián)。這樣的關(guān)聯(lián)真的指向?qū)W生思維方式上的轉(zhuǎn)變嗎？答案是否定的。

指向思維的關(guān)聯(lián)是要溝通知識背后的原理并達(dá)成一致?！懊娣e的內(nèi)涵”本質(zhì)指的是圖形的大小，大小的度量要用面積單位；“面積的度量”的核心原理在于“數(shù)格子”，格子的形狀取決于面積單位的構(gòu)造。因而關(guān)聯(lián)的源頭還是面積單位。在以往教學(xué)中，學(xué)生很少從指向“原理一致性”的維度去考慮長度和面積的關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致遷移并未真正發(fā)生。筆者認(rèn)為，要想完成思維進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)“真遷移”，就要思考以下三個方面。

1.面積單位是怎么來的

單位的產(chǎn)生是一個不斷完善和發(fā)展的過程，從多元到統(tǒng)一，從粗略到精細(xì)，從個性化到標(biāo)準(zhǔn)化。國際標(biāo)準(zhǔn)單位中長度單位是“米”，沒有面積單位和體積單位。筆者把“米”稱為原生單位，把面積單位和體積單位稱為衍生單位，也就是說面積單位和體積單位都是由長度單位衍生出來的。

2.面積單位的構(gòu)造為什么是一個面積為“1”的小正方形

教材中安排學(xué)生體驗(yàn)用不同形狀的圖形作為標(biāo)準(zhǔn)去量面積的大小，并通過“能不能密鋪”得出面積單位的形狀是正方形，這缺少單位產(chǎn)生的邏輯關(guān)聯(lián)。面積單位是由長度單位衍生而來的，因此面積單位的構(gòu)造取決于原生的長度單位。

3.面積單位之間的進(jìn)率為什么是100

面是二維的，線是一維的。度量線的長短用的是長度單位，長度單位之間的進(jìn)率是10，而面積單位是由長度單位衍生而來的，因此面積單位之間的進(jìn)率是由長度單位之間的進(jìn)率決定的。

基于這樣的思考，要想實(shí)現(xiàn)思維方式上的遷移，達(dá)成“原理一致性”的教學(xué)目標(biāo)，度量單位之間的溝通與關(guān)聯(lián)至關(guān)重要。

二、基于“原理一致性”，在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中優(yōu)化遷移路徑

要理解“原理一致性”，首先要提煉原理。原理不能局限于某個單元，而是要代表整個領(lǐng)域。原理的具體表達(dá)體現(xiàn)在核心概念上，核心概念有兩個層面：一是單元內(nèi)的核心概念，用來橫向打通單元知識點(diǎn)之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)；二是領(lǐng)域或者主題的核心概念，用來縱向溝通單元之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)。

為體現(xiàn)“原理一致性”，教師在教學(xué)時可將“面積”單元置身于“度量”大單元的結(jié)構(gòu)中整體考量（如圖2）。從圖2可知，打通領(lǐng)域的核心概念是“計量單位”，它包括所有的計量單位，具體落實(shí)到“面積”這個單元就是“面積單位”。計量時都要做的事情就是數(shù)度量標(biāo)準(zhǔn)的個數(shù)，由于被度量物體的屬性不同，因此數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)”自然也不同?！皹?biāo)準(zhǔn)”的產(chǎn)生源于被測量物體，長度單位源于長度的度量，面積單位源于面積的度量，這些不同事物的度量方式并未指向原理上的一致?！霸硪恢滦浴钡年P(guān)聯(lián)必須聚焦于“標(biāo)準(zhǔn)”之間的溝通，如度量面積時面積單位不是直接生成的，而是由長度單位衍生遷移而來的。因此，在對內(nèi)容整體把握的基礎(chǔ)上，理解“原理一致性”更有利于學(xué)生構(gòu)建知識間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維。

圖2 “度量”大單元結(jié)構(gòu)圖

基于以上思考，筆者認(rèn)為“面積和面積單位”的教學(xué)應(yīng)該從知識表征的合理表達(dá)結(jié)構(gòu)、知識本質(zhì)的邏輯發(fā)展結(jié)構(gòu)、知識序列的科學(xué)輸出結(jié)構(gòu)三條路徑與“長度和長度單位”建立本質(zhì)聯(lián)系，在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中不斷探尋知識原理的一致性。在關(guān)聯(lián)前，教師首先要讓學(xué)生明確面積的內(nèi)涵，當(dāng)學(xué)生對面積有了充分的認(rèn)知后，才會有更深刻的感悟和思考。

【教學(xué)片段1】調(diào)動面積的感性經(jīng)驗(yàn)，理性表達(dá)面積內(nèi)涵。

師：今天我們來學(xué)習(xí)面積，你聽說過面積嗎？面積在哪里呢？請你找一找、摸一摸、說一說。

師：請你用一個圖形表示出所有的面，并涂出面積。

師：請你告訴我到底什么是面積？

開門見山式的提問，一下子就激起了學(xué)生對“面積”長久以來的興趣。教師追問“面積在哪里”，調(diào)動起學(xué)生所積累的關(guān)于物體的面及面的大小的感性經(jīng)驗(yàn)。教師繼續(xù)追問“用一個圖形表示出所有的面”，此時用“類”的概念提煉它們的共性，將學(xué)生對面積原本感性的認(rèn)知轉(zhuǎn)化為理性的表達(dá)。最后，教師讓學(xué)生用自己的話描述“什么是面積”，指向“封閉圖形的大小即面積”。

路徑一：關(guān)聯(lián)知識表征的合理表達(dá)結(jié)構(gòu)

【教學(xué)片段2】關(guān)聯(lián)長度的表達(dá)形式，合理表征面積大小。

師：這個面有多大？用一個結(jié)果表示。

師：長度的長短是怎么表示的？（數(shù)字+長度單位）

師：面積的大小表示為“數(shù)字+面積單位”。

表征面積的目的：一是讓學(xué)生明白面積大小是可以度量的；二是讓學(xué)生產(chǎn)生疑惑，進(jìn)而自主關(guān)聯(lián)以往的知識經(jīng)驗(yàn)——度量長度時的表達(dá)形式。長度長短的表達(dá)形式是“數(shù)字+長度單位”，那么面積大小的表達(dá)形式則為“數(shù)字+面積單位”。至此，學(xué)生能從知識表征的合理表達(dá)結(jié)構(gòu)去理解度量原理的一致性。

路徑二：關(guān)聯(lián)知識本質(zhì)的邏輯發(fā)展結(jié)構(gòu)

【教學(xué)片段3】關(guān)聯(lián)長度單位的產(chǎn)生，衍生構(gòu)建面積單位。

師：12平方厘米是怎么來的？（學(xué)生討論）

師：請回顧長度單位的產(chǎn)生過程，再說說12 厘米是怎么來的。

（教師先用課件呈現(xiàn)一條線段，再用直尺測量出其長度為12 厘米，最后引導(dǎo)學(xué)生回顧長度度量的本質(zhì)：從線段中截取一段作為標(biāo)準(zhǔn)，保證標(biāo)準(zhǔn)與被測量物體的屬性相同，再去數(shù)有幾個這樣的標(biāo)準(zhǔn)。）

師（遷移）：因此面積度量就是數(shù)面積單位。

師：請同學(xué)們切一切、分一分，數(shù)出這個長方形的面積。（學(xué)生回答略）

師：請思考面積單位是怎么來的？

（學(xué)生回顧長度單位的產(chǎn)生過程）

在關(guān)聯(lián)長度的表達(dá)形式后，學(xué)生用“12 平方厘米”表征面積的大小，這是對知識的“形”形成初步關(guān)聯(lián)。“12 平方厘米是怎么來的”是為了引導(dǎo)學(xué)生將長度的度量遷移至面積的度量。“切一切、分一分”的操作有兩個目的：一是讓學(xué)生體會度量的本質(zhì)，即數(shù)面積單位的個數(shù)；二是讓學(xué)生感受選擇哪種圖形作為面積單位最合適。有了這樣的體驗(yàn)，學(xué)生就能將這兩個基本單位作比較，即長度單位是水平方向的標(biāo)準(zhǔn)線段，面積單位是水平方向和垂直方向標(biāo)準(zhǔn)線段的集合，面積單位是在長度單位的基礎(chǔ)上增加了一個方向的線段（如圖3）。由此，學(xué)生理解了面積單位是由長度單位衍生而來的，并從知識本質(zhì)的邏輯發(fā)展結(jié)構(gòu)去理解度量原理的一致性。

圖3

路徑三：關(guān)聯(lián)知識序列的科學(xué)輸出結(jié)構(gòu)

【教學(xué)片段4】關(guān)聯(lián)長度單位進(jìn)率，導(dǎo)出面積單位序列。

師：從1 平方厘米到1 平方分米，從1 平方分米到1平方米，它們是怎么“長大”的？

師：長度單位的進(jìn)率是多少？

師：面積單位是兩個方向同時“長大”，它的進(jìn)率是多少？

師（課件演示）：請看面積單位“長大”的過程。

長度是一個方向10 倍10 倍地“長”，面積是兩個方向同時“長”10 倍，也就是100，由此得到了更大的面積單位（1 平方分米、1 平方米等）。在該數(shù)學(xué)片段中，學(xué)生從知識序列的科學(xué)輸出結(jié)構(gòu)中理解度量原理的一致性，建立完整的知識結(jié)構(gòu)體系。

三、總結(jié)推進(jìn)路徑，有效提煉“思維遷移”策略

1.原理一致，教學(xué)從“局部化”走向“整體化”

教材經(jīng)常將一些具有相同屬性的數(shù)學(xué)知識安排在不同的課時乃至不同的單元，這容易造成學(xué)生認(rèn)知的“局部化”。教師可從知識“原理一致性”角度出發(fā)，幫助學(xué)生挖掘知識背后的相通之處，跳出課時框架和單元框架，以“領(lǐng)域”的視角俯瞰知識的全貌，構(gòu)建完整的知識框架體系。在“面積和面積單位”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅能關(guān)注面積的概念和面積單位大小的表征，而且能夠站在“計量”層面對小學(xué)階段所有的計量單位進(jìn)行整體認(rèn)知。

2.經(jīng)驗(yàn)遷移，知識從“碎片化”走向“結(jié)構(gòu)化”

數(shù)學(xué)是一門具有結(jié)構(gòu)的學(xué)科，教學(xué)不是一種簡單的知識傳遞。在教學(xué)“面積和面積單位”時，物體度量涉及被度量物體大小的表征、度量標(biāo)準(zhǔn)的選擇與產(chǎn)生以及度量單位之間的關(guān)系，這些內(nèi)容都不是直接告訴學(xué)生的，而是需要學(xué)生將“長度和長度單位”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移過來，用相同的思維方式將不同的知識碎片拼接在一起，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)體系。

3.本質(zhì)關(guān)聯(lián)，學(xué)習(xí)從“淺表化”走向“深層化”

浮于表面的關(guān)聯(lián)并不能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。在度量長度、面積、體積時都是在數(shù)標(biāo)準(zhǔn)單位的個數(shù)，這是計量的基本特征，屬于“低水平”的關(guān)聯(lián)。深度學(xué)習(xí)下的關(guān)聯(lián)指向知識本質(zhì)上的溝通，以“面積和面積單位”學(xué)習(xí)為例，教師可以沿著“關(guān)聯(lián)長度表達(dá)形式—關(guān)聯(lián)長度單位產(chǎn)生—關(guān)聯(lián)長度單位進(jìn)率”這條主線展開，從原理的一致性上驅(qū)動學(xué)生的認(rèn)知向結(jié)構(gòu)化和深層化發(fā)展。

綜上，學(xué)習(xí)不是學(xué)生被動地接受知識，每個環(huán)節(jié)都需要學(xué)生去思考探索、主動關(guān)聯(lián)。關(guān)聯(lián)不是簡單地尋找相同點(diǎn)，而是要找到知識背后的原理一致性。利用“原理一致性”和結(jié)構(gòu)化的遞進(jìn)體驗(yàn)，是一種比較有效的學(xué)習(xí)策略。