源于生活，小處入手
——談中小學(xué)數(shù)學(xué)論文的寫作

鄭麗，王永軍

（1.重慶市高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)石橋鋪小學(xué)，重慶 400039；2.重慶市廣益中學(xué)校，重慶 400065）

一、為什么寫數(shù)學(xué)論文

（一）專業(yè)成長需成果固化

中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長有多個維度：學(xué)生的考試成績、學(xué)生的數(shù)學(xué)美感、學(xué)生的核心素養(yǎng)達成度等都是重要的維度。新時代的教師，還應(yīng)該用自己的專業(yè)學(xué)術(shù)引領(lǐng)學(xué)生學(xué)業(yè)的成長。教師的學(xué)術(shù)水平離不開教學(xué)論文的撰寫，這些論文就是教學(xué)成果的主要固化形式。數(shù)學(xué)教師需要數(shù)學(xué)論文彰顯自己的專業(yè)成長，學(xué)術(shù)論文是專業(yè)技術(shù)人才專業(yè)自信的表現(xiàn)。

（二）職業(yè)美譽需論文強化

人生一世，草木一秋；來如風(fēng)雨，去似微塵。中小學(xué)數(shù)學(xué)教師，在教好書育好人的前提下，應(yīng)在生活中處處陽光向上。一些學(xué)術(shù)論文的嵌入有助于教師職業(yè)美譽度的提升。在中小學(xué)校中亦有不少數(shù)學(xué)大家，其中包括正高級教師、教授級教師、研究生指導(dǎo)教師、享受國務(wù)院政府特殊津貼專家教師等，他們無不著述頗豐，高質(zhì)量的數(shù)學(xué)論文為其人生添彩很多，這些論文同時也引領(lǐng)了數(shù)學(xué)教育教學(xué)的深入發(fā)展與深刻變革。數(shù)學(xué)論文強化了數(shù)學(xué)教師的職業(yè)美譽度和社會影響力。

二、怎樣積累論文素材

（一）在生活游戲中尋找數(shù)學(xué)奇點

案例1 （平方和問題）證明：12+22+32+…+n2=

將圖1按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到圖2，將圖2按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到圖3。結(jié)合圖1、圖2、圖3，分別考慮三個圖中的第i行第j列的數(shù)字，其和為i(n-j+1)[(ni+1)+(j-1)]=2n+1，這是一個常數(shù)。

圖1

圖2

圖3

生活中這樣的案例很多，它們常?？梢蕴幚韽?fù)雜的數(shù)學(xué)問題，它們生動有趣、形象直觀，如通過走樓梯的方法總數(shù)可以“走”出Fibonacci（斐波那契，意大利）數(shù)列等。數(shù)學(xué)論文如果采用這樣的生活素材，可以增加可讀性、實用性，它們是傳承、發(fā)揚優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化的重要載體。

（二）在文獻閱讀中收集興趣支點

在閱讀文獻中注重歸類與歸檔，就中小學(xué)數(shù)學(xué)解題類文獻而言可以有一題多解，也可以有多題一解，前者是發(fā)散思維，后者是聚合思維、化歸統(tǒng)一，數(shù)學(xué)的通解通法常常在此產(chǎn)生。

案例2 （多問題同解）考慮不等式鏈：lnx≤x-1＜x＜x+1≤ex，同時結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖像（數(shù)形結(jié)合），可以輕松處理一些高考數(shù)學(xué)中的“大題”，以下高考真題在某種意義下是同解的：2018年新課標(biāo)卷Ⅲ文科第21題、2019年天津卷文科第20題、2020年新課標(biāo)卷Ⅱ文科第21題、2021年全國甲卷理科第21題、2022年新高考卷Ⅰ第22題。

閱讀文獻資料教師可以站在科研的前沿，杜絕研究了很久的東西其實網(wǎng)絡(luò)上（資料庫）早已存在，這種“重復(fù)”研究工作本質(zhì)上是毫無意義的。通過大量的文獻閱讀，其實就是與優(yōu)秀的科研工作者對話，學(xué)習(xí)、借鑒好的工作方法、工作思想、工作路徑，收集教師自己感興趣的問題，這些問題常常是日后論文寫作的素材與靈感，是個人興趣的支撐點。閱讀文獻的過程是教師學(xué)習(xí)提升的修行之旅。

（三）在課堂生成中關(guān)注學(xué)情拐點

中小學(xué)數(shù)學(xué)論文的一個主要特點就是大部分論文都來源于課堂教學(xué)實踐。在課堂教學(xué)中教學(xué)相長可以產(chǎn)生論文，而論文的精彩之處常常在課堂知識生長中的學(xué)情拐點處，這完全出乎教師的課堂預(yù)設(shè)，甚至超出“正常”的教學(xué)目標(biāo)。

案例3 （范圍與導(dǎo)數(shù)）關(guān)于x的不等式ex≥ax+1在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒成立，則a的取值范圍為（ ）。

學(xué)生3：分離系數(shù)后，結(jié)合不等式方向,a可以無限小，題中所給的選擇項直接選C。全程口算。

學(xué)生4：用基本圖像、數(shù)形結(jié)合?？紤]曲線y1=ex、直線系y2=ax+1，實際上函數(shù)y1=ex在點(0,1)處的切線即為y3=x+1，由直線的斜率、傾斜角等關(guān)系，結(jié)合相應(yīng)的圖像，立即可選C。

課堂上如果教師對比學(xué)生1和學(xué)生4的解題方法，強調(diào)切線不等式的應(yīng)用是無可厚非的。但是本題的通解通法應(yīng)該優(yōu)先是分離系數(shù)法。學(xué)生3的解題方法絕對是課堂教學(xué)中的學(xué)情拐點，值得教師十分關(guān)注，應(yīng)給予十足的表揚與鼓勵，他給出了選擇題的一種重要解題思路——排除法，就求解本題而言，學(xué)生3的解題方法是最好的。

（四）在教學(xué)反思中總結(jié)思維亮點

教有法，教無定法，教學(xué)必須反思。教師在反思中成長，在反思中卓越。教學(xué)反思為論文的書寫提供第一手的素材，中小學(xué)數(shù)學(xué)論文中的絕大部分內(nèi)容其實就是教師的教學(xué)反思、學(xué)生的學(xué)習(xí)反思，它們是教學(xué)中思維的亮點，是值得記憶和發(fā)揚光大的。

案例4 （橢圓的定義）在橢圓的教學(xué)中，教材給出的橢圓定義是下述的第一定義，從教材例題中可以總結(jié)第二、三、四另外三個“定義”：橢圓第一定義距離之和，橢圓第二定義：距離之比，橢圓第三定義：斜率之比，橢圓第四定義：壓扁的圓。

在教學(xué)反思中還可以嘗試得到橢圓的其他“定義”形式，如“雙動向量”式定義等。

在教育教學(xué)中類似“橢圓定義”的素材比比皆是，教師要注意留心積累、提煉、升華這些思維訓(xùn)練的亮點，講好教材、不拘泥于教材，做好深度教學(xué)的大單元教學(xué)設(shè)計，發(fā)散學(xué)生的思維層次，提高教師的教學(xué)品位。

三、如何選擇論文題目

（一）定好寫作題目

有了論文素材之后，就可以考慮構(gòu)思論文。首先要定好寫作的方向，寫作中小學(xué)數(shù)學(xué)論文大的方向有教育類、教學(xué)類、解題類等。其次是確定論文的題目，有簡單明快式，如《“集合”新舊教材對比分析》，這是教育類的論文；有直奔主題式，如《拼圖游戲在小學(xué)數(shù)學(xué)計數(shù)中的應(yīng)用研究》，這是教學(xué)類的論文；有文采飛揚式，如《忽逢桃花林，曲徑通幽處》，這個題目看不出文章的主旨，要確定范圍，需要再加一個副標(biāo)題，可以修改為《忽逢桃花林，曲徑通幽處——橢圓中三角形面積的取值范圍微探》，這是解題類的論文。最后根據(jù)選擇的素材再對題目進行修改、定稿。

（二）推敲寫作難度

一般來說文章的題目越寬泛文章越難寫，大的范圍常常也不容易把控，很多論文題目都是采用大標(biāo)題加小標(biāo)題的形式縮小寫作的范圍。例如題目《促進小學(xué)生從形象思維向抽象思維過渡的幾種方法》[1]，寫作范圍很小，可以介紹小學(xué)生從形象思維向抽象思維過渡的三到四種方法即可；例如題目《溯源——利用點差法深究圓錐曲線中點弦的存在性問題》[2]，分別介紹在橢圓、雙曲線、拋物線中處理中點弦問題的一般情況，給出了點差法適用的充要條件，論文小巧，結(jié)構(gòu)緊湊；例如題目《忽逢桃花林，曲徑通幽處——橢圓中三角形面積的取值范圍微探》，可以由高考真題引出問題三角形，一般解法加上變式探究，還可以將三角形從橢圓中遷移到其他圓錐曲線中。其他學(xué)科的論文題目等都可以拿來借鑒，如文章《用論證式教學(xué)促成深度學(xué)習(xí)——以“探究種子萌發(fā)的條件”實驗教學(xué)為例》[3]，大標(biāo)題范圍很大，要寫好此文很難，加上小標(biāo)題后寫作范圍變窄，寫作容易得多。

四、如何展開論文論述

（一）遵循邏輯順序

寫論文就是展開論述問題，要遵循寫作論文的邏輯順序，首先要搭好論文“骨架”，學(xué)術(shù)論文講究嚴(yán)謹(jǐn)、務(wù)實、求真。論文論述的展開可以有一些“文采飛揚”，但這樣的情況很少。如本文實際上是針對教師培訓(xùn)的教學(xué)類論文，構(gòu)思“骨架”時考慮的是：為什么寫論文→寫些什么→這樣選擇論文題目→如何論述→潤色與發(fā)表，考慮文章的屬性，本文著力構(gòu)思論文該“寫些什么”，也就是文章素材的收集，怎樣積累素材、積累什么內(nèi)容，很明顯如果沒有大量“原材料”是不可能寫出文章的。寫作的邏輯順序要符合一般的認(rèn)知規(guī)律，寫作要水到渠成、一氣呵成。

（二）恰好選擇素材

有寫作素材，有寫作意向，擬定了寫作方向、題目，接下來要選擇素材。選素材一要契合論文的主題，二要理論聯(lián)系實際，有一定的應(yīng)用推廣價值，這也是論文“引領(lǐng)”的價值體現(xiàn)。中小學(xué)數(shù)學(xué)論文切忌大而空，切忌泛泛而談。數(shù)學(xué)圖表要清晰可辨、數(shù)學(xué)計算要準(zhǔn)確無誤，素材搭配要著力分析、論述同類問題（論文主題），所選素材要連點成線，要邏輯關(guān)聯(lián)，要結(jié)構(gòu)緊湊、有條有理。組織論文的素材時要注意詳略得當(dāng)，不可平均用力，要重點突出論文的主題思想，要思考好的論文成果推廣應(yīng)該具有可借鑒性、操作性、復(fù)制性。

五、論文的修改與潤色

（一）精工細琢的文字魔力

文章都是改出來的，文字是有魔力的。首先要寫好論文的各級標(biāo)題，從標(biāo)題的內(nèi)容到字?jǐn)?shù)的安排等都要精工細琢?？梢钥鐚W(xué)科鑒賞其他形式的標(biāo)題書寫格式，如曹雪芹《紅樓夢》中的章回標(biāo)題：第一回 甄士隱夢幻識通靈 賈雨村風(fēng)塵懷閨秀，以后各章回標(biāo)題均沿用2句每句8個漢字的格式，字?jǐn)?shù)對等、整齊劃一，讀起來朗朗上口；全書目錄很有氣勢，寫出這樣的目錄顯然是下了極大功夫，也足見作者的文學(xué)文字功底深厚。題目《循“義”而行 精準(zhǔn)立意——寫作時明確“概念”的三個步驟》[4]、《深入探討化繁為簡 一題多解浸潤素養(yǎng)——以一道高考函數(shù)題的多解為例》[5]，這里標(biāo)題2句都是對稱工整的。本文在寫作中嘗試題目為《源于生活，小處入手》，采用2句話每句4個漢字的格式，且句與句之間用逗號隔開，正文中五個一級標(biāo)題均采用8個漢字的形式，每個一級標(biāo)題下的二級標(biāo)題均采用相同字?jǐn)?shù)的漢字，由于本人能力所限，現(xiàn)在還做不到所有的二級標(biāo)題均采用相同字?jǐn)?shù)的漢字。其次是對文章內(nèi)容的修改，除了文法、句法，還主要體現(xiàn)中小學(xué)數(shù)學(xué)論文的價值，實踐研究與理論架構(gòu)相結(jié)合，著力凸顯數(shù)學(xué)專業(yè)的特色。

（二）契合報刊的編排風(fēng)格

中小學(xué)數(shù)學(xué)論文一般不會涉及秘密，好的論文應(yīng)該公開刊發(fā)，這是固化教學(xué)研究成果的重要方式。首先要根據(jù)論文的內(nèi)容選擇一本恰當(dāng)?shù)碾s志。不同的雜志會有不同的風(fēng)格，有的偏向課堂教學(xué)操作，有的偏重解題類教學(xué)，有的偏好學(xué)習(xí)思維指導(dǎo)；有數(shù)學(xué)綜合類雜志，有教育特別策劃類報刊；有國家級期刊，有省市級期刊，還有一些所謂的“內(nèi)刊”。選好意向投稿報刊后，要研究該刊文稿的編排格式，包括作者及參考文獻的編排、標(biāo)號序號的字體字號、正文的字體字號、公式符號的換行方式、標(biāo)點是全角還是半角、圖形圖表的處理、文稿長度等，要對文稿做進一步修改與潤色，剩下就是投稿了。如果論文有幸發(fā)表，那成就感必定滿滿；萬一還被核心期刊選中，就太好了，也許教師職業(yè)的新階段已悄然開啟。