模型補(bǔ)償反步控制及其在四旋翼編隊中的應(yīng)用

齊國元, 鄧嘉豪

(天津工業(yè)大學(xué)天津市電氣裝備智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300000)

0 引言

近年來,四旋翼無人機(jī)已被廣泛應(yīng)用于民用和軍事領(lǐng)域[1],而續(xù)航能力、負(fù)載能力、信息處理能力的不足都限制了四旋翼無人機(jī)的實(shí)際工作和覆蓋范圍[2],往往需要多機(jī)進(jìn)行編隊協(xié)同來完成任務(wù)。

領(lǐng)導(dǎo)-跟隨法作為目前最主流的方法之一,具有結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn),已被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐[3-5],但該方法受限于領(lǐng)導(dǎo)者無人機(jī)的狀態(tài),領(lǐng)導(dǎo)者無人機(jī)的失能可能會導(dǎo)致整個編隊系統(tǒng)崩潰,而四旋翼無人機(jī)作為一類開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng),易受外部擾動的影響,這使得領(lǐng)導(dǎo)者失能的風(fēng)險大大增加。張佳龍等[5]提出了一種自適應(yīng)控制律來估計風(fēng)場大小,從而保持無人機(jī)編隊穩(wěn)定飛行。此外,通過將空間中的任意一點(diǎn)看作虛擬領(lǐng)導(dǎo)者,從而降低領(lǐng)導(dǎo)者失效導(dǎo)致整體失能的影響,該方法被稱為虛擬結(jié)構(gòu)法[6-9]。虛擬結(jié)構(gòu)法不僅保留了領(lǐng)航-跟隨法的優(yōu)點(diǎn),且系統(tǒng)有明顯的隊形反饋,便于確定編隊行為和保持隊形[7-9]。但虛擬結(jié)構(gòu)法需要始終保持剛性結(jié)構(gòu),缺乏靈活性和適應(yīng)性。

此外,四旋翼無人機(jī)作為一類強(qiáng)耦合、易受擾的復(fù)雜非線性系統(tǒng),建立其準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型是非常困難的。而在編隊控制器設(shè)計過程中,大部分文獻(xiàn)均采用質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行控制器的設(shè)計[3-9],未考慮四旋翼無人機(jī)完整的動力學(xué)模型和所受外部擾動的影響。因此,模型存在明顯的偏差,導(dǎo)致抗擾能力差,不僅降低了編隊系統(tǒng)的控制精度,也進(jìn)一步增加了機(jī)間碰撞的風(fēng)險。在四旋翼單機(jī)控制中,對于系統(tǒng)的模型偏差,有學(xué)者提出了不依賴模型控制算法,包括比例-積分-微分(PID)控制、自抗擾控制(ADRC)[10-11]、高階微分反饋控制(HODFC)[12-13]等。但上述無模型控制方法均未用到已知模型,而被控系統(tǒng)的建模工作是非常有必要和有意義的,當(dāng)有模型可用時,模型的使用是非常有幫助的。

本文基于模型補(bǔ)償控制的思想,設(shè)計了模型補(bǔ)償反步控制器,通過補(bǔ)償函數(shù)觀測器(CFO)對模型偏差進(jìn)行實(shí)時估計并補(bǔ)償?shù)娇刂破髦?有效提升系統(tǒng)的抗干擾能力和全局性能;相較于文獻(xiàn)[14],重新設(shè)計了一階CFO并證明了收斂性,此外,通過極點(diǎn)配置將需要調(diào)節(jié)的參數(shù)減少到1個,極大地降低了調(diào)參難度;將編隊協(xié)同控制問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)控制問題,設(shè)計出模型補(bǔ)償反步編隊控制器,能夠有效減少模型簡化和外部擾動對編隊系統(tǒng)的影響。

1 系統(tǒng)建模與問題描述

1.1 編隊動力學(xué)模型

本文基于虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的思想,建立跟隨者和虛擬領(lǐng)導(dǎo)者之間的相對位置動力學(xué)模型(編隊動力學(xué)模型)。編隊系統(tǒng)由虛擬領(lǐng)導(dǎo)者(L)和跟隨者(F)組成,本文僅考慮二者處于恒定高度的平面運(yùn)動,且均滿足四旋翼運(yùn)動學(xué)特性。虛擬領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的動力學(xué)模型可表示為

(1)

(2)

其中:(xi,yi)為大地坐標(biāo)系下的水平位置(i=L,F,分別表示虛擬領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者);(vxi,vyi)為機(jī)體坐標(biāo)系下的水平方向速度;ψi為大地坐標(biāo)系下的偏航角;wi為大地坐標(biāo)系下的偏航角速度;dx,dy,dψ為跟隨者所受到的擾動(模型偏差)。

虛擬領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的相對位置如圖1所示,圖中,φ為領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者相對位置與x軸的夾角,Oexeye為大地坐標(biāo)系,Obxbyb為機(jī)體坐標(biāo)系,l為大地坐標(biāo)系下跟隨者與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的距離。

建立跟隨者與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者之間相對位置關(guān)系,并投影到虛擬領(lǐng)導(dǎo)者機(jī)體坐標(biāo)系可得

(3)

對式(3)求導(dǎo)并代入式(1)和式(2)可得最終編隊動力學(xué)模型

(4)

式中:λx,λy為在虛擬領(lǐng)導(dǎo)者機(jī)體坐標(biāo)系下跟隨者與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的距離;eψ=ψL-ψF;vxF和vyF為系統(tǒng)的控制輸入;dxF和dyF為系統(tǒng)模型偏差或未知擾動部分,可表示為

(5)

本文采用虛擬結(jié)構(gòu)法來構(gòu)建無人機(jī)編隊系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,不同于傳統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨法,該方法中的領(lǐng)導(dǎo)者是具有無人機(jī)特性的虛擬理想點(diǎn),因此可以有效避免領(lǐng)導(dǎo)者失能對整體編隊的影響。

圖1 相對位置示意圖

1.2 控制目標(biāo)

如圖1所示,得到虛擬領(lǐng)導(dǎo)者在機(jī)體坐標(biāo)系下x,y軸的期望相對位置為

(6)

定義四旋翼無人機(jī)協(xié)同編隊系統(tǒng)誤差為

(7)

編隊目標(biāo)是設(shè)計合理的編隊協(xié)同控制器使得無人機(jī)隊形在外部擾動下保持穩(wěn)定,即在系統(tǒng)模型偏差或未知擾動部分形式滿足二階無窮小時

(8)

因此,控制目標(biāo)是通過將四旋翼無人機(jī)編隊協(xié)同飛行問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)控制問題,考慮在編隊協(xié)同系統(tǒng)建模過程中所忽略的完整四旋翼數(shù)學(xué)模型以及四旋翼無人機(jī)在飛行過程中所受外部未知擾動等因素的影響,設(shè)計具有高抗擾能力的編隊協(xié)同控制器,實(shí)現(xiàn)多架四旋翼無人機(jī)在復(fù)雜外部擾動下的編隊集合、飛行和隊形切換,提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

2 系統(tǒng)建模與問題描述

四旋翼無人機(jī)作為一個典型的欠驅(qū)動、高耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng),建立其準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型是困難的。另外,在編隊協(xié)同系統(tǒng)建模過程中,進(jìn)一步忽略了四旋翼無人機(jī)的動力學(xué)模型,僅考慮運(yùn)動學(xué)特性。因此,這些因素的疊加都顯示所建立的編隊協(xié)同動力學(xué)模型是不準(zhǔn)確的。本文提出了基于補(bǔ)償函數(shù)觀測器(CFO)的模型補(bǔ)償反步編隊控制(MC-BFC)方案用于實(shí)現(xiàn)四旋翼無人機(jī)的編隊集合、飛行和隊形切換。

對于被控系統(tǒng)式(4),以x通道為例,可以將其寫為SISO一階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式

(9)

式中:

{fk=wLλy-vxL+vyLsineψfu=vxFcoseψ-bu+dxFu=vxF;

(10)

fk為編隊系統(tǒng)的已知模型部分;fu為未知模型偏差部分,包括所有未知和時變部分;參數(shù)b可以通過模型參數(shù)或者經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選取;u為系統(tǒng)的控制輸入。

2.1 補(bǔ)償函數(shù)觀測器設(shè)計

文獻(xiàn)[14]提出的是二階CFO,而本文被控系統(tǒng)式(9)為一階系統(tǒng),因此,設(shè)計一階CFO對編隊系統(tǒng)中模型偏差進(jìn)行實(shí)時估計。

將被控系統(tǒng)式(9)中的未知模型偏差部分fu擴(kuò)展為一個新的狀態(tài)x2=fu,并寫成狀態(tài)空間表達(dá)式為

(11)

式中,[x1x2]Τ=[λxfu]Τ,為系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)。對于系統(tǒng)式(11),設(shè)計一階CFO的動力學(xué)方程為

(12)

式中:[z1z2]Τ為CFO內(nèi)部狀態(tài)變量;ef=x1-z1,為系統(tǒng)誤差;l和λ為CFO所需要調(diào)節(jié)的參數(shù)。

定義

(13)

圖2 CFO結(jié)構(gòu)

對式(13)求導(dǎo)并與式(12)聯(lián)立可得

(14)

假設(shè)1 模型偏差fu是一個二階無窮小量,包括常數(shù)函數(shù)、斜坡函數(shù)或者前二者的組合。

定理1對于一個典型的一階系統(tǒng)式(11),當(dāng)模型偏差fu滿足假設(shè)1時,所設(shè)計的CFO能夠?qū)崿F(xiàn)模型偏差的無差估計,即

(15)

證明。

首先,將式(11)～(13)改寫為如下的狀態(tài)空間形式

(16)

定義觀測誤差矩陣為

(17)

(18)

式中,H-1(I-M)=I,為單位矩陣。

(19)

通過計算可得矩陣F的特征方程為

s2+ls+λl=0

(20)

式中,s為拉普拉斯算子。

從式(20)可以看出,當(dāng)滿足l>0,λ>0時,矩陣F為Hurwitz矩陣。因此,可以得到

(21)

由于H-1是非奇異的,則

(22)

即

(23)

再由式(11),(14)和式(23)可得

(24)

證畢。

CFO是一個積分形式,使得其是一個Ⅱ型系統(tǒng),并且隨著CFO階次的提高,其型別也會增加,所能夠無差估計的信號范圍越廣。

為了便于觀測器的參數(shù)選擇并確保系統(tǒng)穩(wěn)定,式(20)可以寫成

s2+ls+λl=(s+ω)(s+4ω)=0

(25)

式中,ω>0,為帶寬,-ω,-4ω是CFO的極點(diǎn)。則CFO的各個參數(shù)與ω的關(guān)系可以總結(jié)為

(26)

按此原則,ω將成為CFO唯一需要調(diào)節(jié)的參數(shù)。

文獻(xiàn)[14]所提出的二階CFO需調(diào)節(jié)參數(shù)為3個,并且隨著階次的升高,所需要調(diào)節(jié)的參數(shù)將會增加。本文采用極點(diǎn)配置的思想可以將參數(shù)量減少到1,能夠有效降低CFO參數(shù)調(diào)節(jié)的難度。

2.2 模型補(bǔ)償反步編隊控制設(shè)計

對于被控系統(tǒng)式(11),設(shè)計如下CFO-based MC-BFC,使得狀態(tài)x1跟蹤上期望狀態(tài)xd,即

(27)

當(dāng)被控系統(tǒng)式(11)的模型偏差部分fu滿足假設(shè)1時,將CFO的估計值用于系統(tǒng)控制律式(27)中,則存在常數(shù)k1>0,使得閉環(huán)系統(tǒng)能夠指數(shù)收斂穩(wěn)定且跟蹤誤差為零。

證明。

考慮編隊構(gòu)型誤差、CFO的估計誤差,設(shè)計Lyapunov函數(shù)為

(28)

對式(28)求導(dǎo)可得

(29)

將式(27)代入式(29)可得

(30)

根據(jù)定理1,CFO對于模型偏差fu的估計誤差收斂到0。由此可得

(31)

由式(31)可得

(32)

式中,η=2k1。

(33)

式中,α為任意常數(shù)。

基于引理1,針對式(32),有α=η,f=0得

Vn(t)≤e-η(t-t0)Vn(t0)

(34)

從式(34)可以看出,Vn指數(shù)收斂到0,收斂速度取決于η。由于Vn滿足式(28),所以e1均為指數(shù)收斂,且當(dāng)t→∞時,e1→0。

證畢。

式(27)可以分解為以下3個部分

u=ud+uk+uc

(35)

綜上所述,以被控系統(tǒng)實(shí)際數(shù)學(xué)模型式(4)為例,各通道CFO-based MC-BFC表達(dá)式總結(jié)如下

(36)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

對6架四旋翼無人機(jī)同心圓編隊開展仿真實(shí)驗(yàn),所采用的CFO-based MC-BFC,ESO-based MC-BFC和T-BFC這3種對比控制方案相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 控制器和觀測器參數(shù)(仿真實(shí)驗(yàn))

(37)

設(shè)置虛擬領(lǐng)導(dǎo)者無人機(jī)的飛行狀態(tài)為

(38)

編隊期望構(gòu)型為

(39)

仿真運(yùn)行時間t為15～35 s時,在跟隨者每個通道中加入信號0.7sin1.2t+0.3sin(0.6t+0.7)-0.2sin(1.4t+0.5)來模擬所受擾動和模型偏差的影響。

此外,引入跟蹤平均絕對誤差(TMAE)和估計平均絕對誤差(EMAE)來量化控制和估計效果,即

(40)

(41)

仿真結(jié)果如圖3所示,TMAE和EMAE誤差見表2和表3。從1號跟隨者的x軸方向控制效果和估計效果進(jìn)行3組方案的對比分析,從圖3(a)可以看出,ESO-based MC-BFC方案存在一定的超調(diào),當(dāng)無人機(jī)進(jìn)行高密度編隊時,超調(diào)量可能會引發(fā)碰撞。在加入外部擾動后,傳統(tǒng)反步編隊控制(T-BFC)方案產(chǎn)生了明顯的相對位置波動問題,即無人機(jī)編隊隊形發(fā)生了改變。本文所提出的CFO-based MC-BFC方案則以抵抗外部擾動的期望速度,保持持續(xù)穩(wěn)定的飛行。但ESO-based MC-BFC方案的抗擾性能還是較差,這是因?yàn)镋SO對未知模型偏差的估計精度低于CFO,存在明顯的滯后現(xiàn)象,如圖3(c)所示,使得補(bǔ)償?shù)娇刂破髦械哪Ｐ推畈糠质遣粶?zhǔn)確的。圖3(b)給出了速度一致性誤差對比,也能夠反映出CFO-based MC-BFC具有明顯的優(yōu)勢。

圖3 隊形保持與估計效果對比(以跟隨者1為例)

表2 跟蹤平均絕對誤差的比較(以跟隨者1為例)

表3 估計平均絕對誤差的比較(以跟隨者1為例)

4 無人機(jī)編隊飛行實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

設(shè)置2組無人機(jī)編隊飛行實(shí)驗(yàn)對所提出的方案進(jìn)行對比驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表4所示。

表4 控制器和觀測器參數(shù)(飛行實(shí)驗(yàn))

4.2 實(shí)驗(yàn)1:靜態(tài)編隊構(gòu)型抗干擾實(shí)驗(yàn)

3架四旋翼無人機(jī)在場地中形成三角形編隊并保持靜止,無人機(jī)受到的風(fēng)擾大小分別為1.4 m/s,1.2 m/s,0.9 m/s,如圖4所示。

圖4 靜態(tài)編隊構(gòu)型抗干擾實(shí)驗(yàn)示意圖

圖5所示為跟隨者四旋翼無人機(jī)的位置波動情況,其中,紅色、藍(lán)色和綠色散點(diǎn)分別代表3種不同方案。綠色散點(diǎn)范圍最廣,藍(lán)色散點(diǎn)其次,說明在受風(fēng)擾后,采用ESO-based MC-BFC和T-BFC方案控制的所有無人機(jī)位置出現(xiàn)了明顯的位置波動,從而導(dǎo)致編隊構(gòu)型不夠穩(wěn)定。圖6則通過對1號跟隨者無人機(jī)進(jìn)行局部的分析可知,CFO-based MC-BFC在相對距離的控制上具有更好的效果,表5所示為3種控制方案的跟蹤平均絕對誤差,從表5的量化結(jié)果可以看出,系統(tǒng)的跟蹤平均絕對誤差為1 cm左右。這得益于CFO具有更好的未知模型偏差估計能力,如表6和圖7所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)1整體控制效果

表5 實(shí)驗(yàn)1跟蹤平均絕對誤差的比較(以跟隨者1為例)

表6 實(shí)驗(yàn)1估計平均絕對誤差的比較(以跟隨者1為例)

圖7 實(shí)驗(yàn)1模型偏差估計對比(以跟隨者1為例)

4.3 實(shí)驗(yàn)2:擾動下線性編隊飛行實(shí)驗(yàn)

3架四旋翼無人機(jī)保持水平三角形構(gòu)型以0.1 m/s沿X軸正方向飛行,25 s后切換為垂直三角形編隊。四旋翼無人機(jī)飛過風(fēng)扇時受到的風(fēng)擾大小為1.2 m/s,1.6 m/s,0.8 m/s,如圖8所示。

圖8 擾動下線性編隊實(shí)驗(yàn)

與實(shí)驗(yàn)1一樣,以1號跟隨者無人機(jī)為代表分析整個編隊協(xié)同控制性能,從圖9可以看出在受到擾動后,相對距離出現(xiàn)了明顯的偏移,尤其在Y軸上更為明顯。T-BFC方案出現(xiàn)了無人機(jī)自身半徑1倍的偏移。ESO-based MC-BFC方案在觀測器的作用下,偏移量雖有減少,但仍有10 cm的波動,跟蹤平均絕對誤差如表7所示。表8和圖10也表明了本文CFO-based MC-BFC方案通過CFO對擾動進(jìn)行更加精準(zhǔn)的估計并補(bǔ)償,有效提高了編隊系統(tǒng)的抗干擾能力。

圖9 實(shí)驗(yàn)2隊形保持效果對比(以跟隨者1為例)

表7 實(shí)驗(yàn)2跟蹤平均絕對誤差的比較(以跟隨者1為例)

表8 實(shí)驗(yàn)2估計平均絕對誤差的比較(以跟隨者1為例)

圖10 實(shí)驗(yàn)2模型偏差估計對比(以跟隨者1為例)

5 結(jié)束語

本文將編隊協(xié)同飛行問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)控制問題,考慮編隊協(xié)同控制器設(shè)計過程中模型忽略所造成的模型偏差以及飛行中所受外部擾動的負(fù)面影響。提出了一種模型補(bǔ)償反步控制方法,通過具有高精度估計能力的CFO對模型偏差及擾動進(jìn)行實(shí)時估計并補(bǔ)償?shù)娇刂破髦?實(shí)現(xiàn)多無人機(jī)在復(fù)雜擾動下的編隊集合、飛行和隊形切換。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的方案能夠有效提高編隊協(xié)同系統(tǒng)的抗干擾能力。