融合二維壓縮感知和同步混沌流密碼的醫(yī)學(xué)圖像加密算法*

葉柏君，林卓勝，吳小娜，鄧景良，曾慧曲

（五邑大學(xué)智能制造學(xué)部，廣東 江門 529020）

0 引言

如今，隨著信息技術(shù)和成像技術(shù)的發(fā)展，醫(yī)學(xué)影像普遍應(yīng)用于病理學(xué)的診斷中，這其中包含有X 射線、磁共振成像、CT 成像、超聲成像等。而在醫(yī)學(xué)影像中包含著大量患者的隱私信息，因此對(duì)醫(yī)學(xué)影像進(jìn)行保護(hù)使其免受各種網(wǎng)絡(luò)攻擊，避免信息丟失和保證完整性尤顯重要，其中最有效的辦法就是對(duì)其實(shí)施加密。

混沌系統(tǒng)具有長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)以及對(duì)初始條件高度敏感等特性，常應(yīng)用于圖像加密領(lǐng)域。Zhang 等[1]提出了一維壓縮感知和混沌系統(tǒng)的醫(yī)學(xué)圖像加密算法，采用Chebyshev 混沌映射生成測(cè)量矩陣及Logistic 映射生成密鑰流。為提高醫(yī)學(xué)影像加密的魯棒性，學(xué)者們主要從新混沌系統(tǒng)的構(gòu)建以及加密方案的設(shè)計(jì)等方面開展研究。如Liu 等[2]所提出的雙曲正弦混沌系統(tǒng)。Belazi 等[3]采用SHA-256 哈希函數(shù)與初始密鑰一起用于產(chǎn)生混沌系統(tǒng)的密鑰且結(jié)合DNA 編碼。Yang 等[4]提出采用分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)與DNA 編碼相結(jié)合的圖像加密方案。Mortajez等[5]則從明文圖像中提取密鑰，基于Logistic 混沌系統(tǒng)對(duì)圖像像素進(jìn)行排序并進(jìn)行異或運(yùn)算加密。Javan 等[6]研究?jī)蓚€(gè)超混沌系統(tǒng)的多從同步和一主系統(tǒng)同步以及循環(huán)同步的加密方式。Salman 等[7]對(duì)圖像中包含敏感信息的區(qū)域采用二次映射進(jìn)行選擇性加密。

壓縮感知在壓縮圖像時(shí)在一定程度上能夠降低像素之間的相關(guān)性，因此許多研究者提出了將壓縮感知和其他圖像加密方式相結(jié)合的壓縮-加密方式。與一維壓縮感知相比，二維壓縮感知是生成兩個(gè)測(cè)量矩陣分別對(duì)圖像的行和列分別進(jìn)行測(cè)量壓縮，大幅度提升了的壓縮性能。Wang 等[8]提出一種由Tent-sine 映射生成測(cè)量矩陣，并通過Logistic-Sine映射、Logistic-Tent映射生成密鑰流，結(jié)合拉丁方陣實(shí)現(xiàn)測(cè)量矩陣的加密。Deng等[9]使用Logistic映射生成測(cè)量矩陣，并通過離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換對(duì)圖像進(jìn)行加密。Xu等[10]提出了一種基于2D-SLIM 和壓縮感知的快速圖像加密算法，有效降低了時(shí)間復(fù)雜度。Liu等[11]提出一種二維壓縮感知和雙隨機(jī)相位編碼的圖像加密算法，由于雙隨機(jī)相位編碼具有的光學(xué)實(shí)現(xiàn)和魯棒性高等優(yōu)點(diǎn)，保證了圖像加密的安全性。Gan等[12]利用明文圖像的信息熵和外部密鑰生成混沌系統(tǒng)的初始值，并通過2D-LSCM和4D-憶阻混沌系統(tǒng)分別生成測(cè)量矩陣和偽隨機(jī)序列，實(shí)現(xiàn)對(duì)明文圖像的壓縮感知和加密，可以抵御已知明文和選擇明文攻擊。在Chai等[13-14]及Hou[15]提出將二維壓縮感知和嵌入技術(shù)相結(jié)合的視覺安全加密算法中，使用了均勻量化及Sigmoid量化以保證算法的加密性能及解密精度。

本文設(shè)計(jì)一種基于二維壓縮感知和同步混沌流密碼系統(tǒng)的圖像壓縮-加密算法。首先，迭代同步混沌流密碼系統(tǒng)得到用于二維壓縮感知的測(cè)量矩陣和用于加密的偽隨機(jī)序列，然后分別從行和列兩個(gè)方向?qū)︶t(yī)學(xué)圖像進(jìn)行測(cè)量，再對(duì)測(cè)量后的圖像進(jìn)行量化及加密。而Tanh 函數(shù)與Sigmoid函數(shù)都為機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的激活函數(shù)，均可將輸入數(shù)據(jù)值映射到一定區(qū)間范圍內(nèi)，為此，本文對(duì)采用均勻量化、Tanh 函數(shù)量化和Sigmoid 函數(shù)量化三種量化方式對(duì)算法的性能影響進(jìn)行比較。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 壓縮感知

一維壓縮感知的壓縮采樣過程可以描述為：

式中：Φ為觀測(cè)矩陣；Ψ為稀疏基矩陣；Ω為稀疏系數(shù)；Θ為ΦΨ的乘積，為傳感矩陣。

為了能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)x的恢復(fù)，傳感矩陣需要滿足約束等距性條件（RIP）：

式中：δk為等距常數(shù)。

稀疏信號(hào)可以通過如下最小化進(jìn)行重建：

在二維壓縮感知（2DCS）中，從兩個(gè)方向上使用兩個(gè)測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣。設(shè)圖像X1的大小為N×N，則對(duì)X1的稀疏表示為：

式中：Ψ的大小為N×N。

對(duì)于2DCS的采樣過程如下：

Φ1、Φ2分別對(duì)X1的行、列方向進(jìn)行測(cè)量。為了實(shí)現(xiàn)從Y到X1的重建，需要解決以下的優(yōu)化問題。

1.2 同步混沌流密碼系統(tǒng)

混沌系統(tǒng)擁有對(duì)于初始狀態(tài)的高度敏感性，基于其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，使得所生成的混沌序列難以分析與預(yù)測(cè)。本文所使用的六維離散混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如式所示。

式中當(dāng)參數(shù)設(shè)置為：a11=0.38，a12=-0.12，a13=0.28，a14=-0.12，a15=0.08，a16=-0.32，a21=-0.04，a22=0.06，a23=0.36，a24=-0.04，a25=0.16，a26=-0.24，a31=0.12，a32=-0.28，a33=0.42，a34=0.12，a35=0.12，a36=-0.28，a41=0.20，a42=-0.20，a43=0.20，a44=0.10，a45=0.20，a46=-0.20，a51=0.08，a52=-0.32，a53=0.28，a54=-0.12，a55=0.38，a56=-0.12，a61=0.16，a62=-0.24，a63=0.36，a64=-0.04，a65=-0.04，a66=0.06，ε1=1′107，ε2=2′107，ε3=3′107，σ1=4 000，σ2=5 000，σ3=6 000 時(shí)，其混沌吸引子如圖1所示，計(jì)算出的李雅普諾夫指數(shù)分別為λ1=11.427 9，λ2=11.373 5，λ3=10.658 3，λ4=10.658 3，λ5=3.895 4，λ6=3.886，表明系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。

圖1 混沌吸引子相圖

由混沌序列生成偽隨機(jī)序列S的方式為：

式中：xi為混沌系統(tǒng)迭代生成的混沌序列。

加密運(yùn)算的表達(dá)式為：

式中：p(k)為密文；m(k)為明文；S(e)為加密端用的偽隨機(jī)序列。

解密運(yùn)算的表達(dá)式為：

當(dāng)解密運(yùn)算和加密運(yùn)算所用的偽隨機(jī)序列相等時(shí)，即S(d)(k) =S(e)(k)時(shí)，=m(k)。

1.3 Tanh函數(shù)

Tanh 函數(shù)為雙曲正切函數(shù)，由于其具有的雙側(cè)飽和性和0 均值特性，常作為機(jī)器學(xué)習(xí)的激活函數(shù)，Tanh 函數(shù)的映射空間為[-1,1]，可以通過調(diào)整函數(shù)的振幅和斜率得到所需的輸出區(qū)間值，其定義式如下：

式中：α、β為常數(shù)。

Tanh函數(shù)的逆函數(shù)為：

2 本文算法

2.1 算法框圖

本文所提出的基于二維壓縮感知和同步混沌流密碼系統(tǒng)的加密及解密算法框圖分別如圖2～3所示。

圖2 加密算法

圖3 解密算法

2.2 圖像加密

本文所提出的加密方案主要分為明文圖像的小波變換、偽隨機(jī)序列的生成、壓縮感知測(cè)量、量化以及加密5個(gè)部分，具體步驟如下：

1）輸入尺寸大小為M×N的醫(yī)學(xué)圖像I，確定明文圖像所需要的壓縮比CR；

2）對(duì)明文圖像I進(jìn)行二維離散小波變換得到同樣大小的稀疏圖像I1；

3）將6個(gè)初始值與42個(gè)參數(shù)代入加密端六維同步混沌流密碼系統(tǒng)，根據(jù)式（6）迭代生成混沌序列。序列的長(zhǎng)度設(shè)置為M×N×CR+ 256，并舍棄前256 個(gè)序列，得長(zhǎng)度為M×N×CR的混沌序列x4、x5、x6；

4）將混沌序列x4、x5縮小109，按列重新排序得到大小分別為(M×CR)×N、M×(N×CR)的測(cè)量矩陣Φ1、Φ2；

5）利用所生成的測(cè)量矩陣根據(jù)式進(jìn)行測(cè)量，得到測(cè)量后尺寸大小為(M×CR)×(N×CR)的圖像I2；

6）利用式（8）對(duì)圖像I2進(jìn)行量化得到量化后的圖像I3；

7） 取偽隨機(jī)序列x6的前×M×N個(gè)值代入式（11）得到加密端偽隨機(jī)序列S(e)，對(duì)圖像I3按式進(jìn)行加密運(yùn)算，最終得到密文圖像C。

2.3 圖像解密

解密算法為加密算法的逆過程，接收端到密文圖像C，需要進(jìn)行解密操作和恢復(fù)重建，其步驟簡(jiǎn)述如下：

1） 將6 個(gè)初始值與42 個(gè)參數(shù)代入解密端六維同步混沌流密碼系統(tǒng)迭代生成長(zhǎng)度為M×N×CR+ 256 的混沌序列，并舍棄前256 個(gè)序列，得到長(zhǎng)度為M×N×CR的混沌序列x4、x5、x6；

2） 取混沌序列x6的前×M×N個(gè)值進(jìn)行量化，得解密端偽隨機(jī)序列S(d)，根據(jù)式（10）對(duì)密文圖像C進(jìn)行解密運(yùn)算，得到解密圖像P1；

3）對(duì)圖像P1進(jìn)行逆量化，得逆量化后的圖像P2；

4）利用ONSL0 恢復(fù)重建算法對(duì)圖像P3進(jìn)行重構(gòu)，得到恢復(fù)的重建圖像P3；

5）對(duì)圖像P3進(jìn)行離散小波逆變換，得到解密端的最終圖像P4。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及對(duì)比

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)輸入醫(yī)學(xué)圖像的尺寸大小為512 × 512，壓縮比設(shè)置為0.5× 0.5，Tanh 量化函數(shù)的參數(shù)設(shè)置為α= 510、β= 0.012 5時(shí)，根據(jù)所提算法分別對(duì)CT、MRI、B超及X光等4種不同類型的醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行加解密，結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯觯瑝嚎s加密后的圖像尺寸大小僅為原圖像的1 4，有效減少了圖像的尺寸。且加密圖像均為類雪花狀，無(wú)法從中看出原醫(yī)學(xué)圖像的內(nèi)容?；謴?fù)重建后的圖像與原圖像基本一致，說(shuō)明了所提算法的有效性。

圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2 量化性能對(duì)比

為測(cè)試不同量化函數(shù)對(duì)本文所提算法的影響，分別使用均勻量化函數(shù)、Tanh 量化函數(shù)及Sigmoid 量化函數(shù)在不同壓縮比下針對(duì)不同圖片進(jìn)行壓縮加密和恢復(fù)重建，結(jié)果如圖5 所示。圖中的（a）、（b）、（c）分別對(duì)應(yīng)實(shí)用均勻量化函數(shù)、Tanh 量化函數(shù)及Sigmoid 量化函數(shù)時(shí)重構(gòu)圖片的峰值信噪比（PSNR）變化曲線。

圖5 不同量化方式不同壓縮比下的PSNR值變化圖

在圖5（a）中由于均勻量化中的取整的誤差會(huì)導(dǎo)致其PSNR 值在0.6 × 0.6 壓縮比之后其值會(huì)進(jìn)行回落；在圖5（b）中，對(duì)于不同類型的醫(yī)學(xué)圖像，采用Tanh 量化函數(shù)時(shí)，隨著壓縮比的增大，PSNR 值穩(wěn)步上升；而在圖5（c）中X 光圖像在壓縮比為0.5 × 0.5 和0.7 ×0.7 時(shí)，PSNR 值會(huì)產(chǎn)生較大的波動(dòng)，這是因?yàn)椴捎肧igmoid 量化后的圖像，其左上角的一部分區(qū)域會(huì)計(jì)算得到復(fù)數(shù)。從對(duì)比結(jié)果可以看出，相較于均勻量化及Sigmoid 函數(shù)量化，采用Tanh 函數(shù)進(jìn)行量化具有更穩(wěn)定的PSNR 值。

3.3 密鑰空間

假設(shè)計(jì)算機(jī)的計(jì)算精度為10-14，密鑰為6 個(gè)初始值及 42 個(gè) 參 數(shù) ， 本 文 總 的 密 鑰 空 間 為(1014)48= 10672≈22818，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于2100，因此本方案的密鑰空間足以抵御窮舉攻擊。

3.4 直方圖分析

圖6的結(jié)果中可以看出4種醫(yī)學(xué)明文圖像的直方圖是不均勻的；加密后，CT、MRI、B 超和X 光圖像的密文圖像是比較均勻的，而X 光這表明經(jīng)所提算法加密后的醫(yī)學(xué)圖像具有良好的統(tǒng)計(jì)特性。

圖6 明文圖像、密文圖像直方圖

3.5 相關(guān)性分析

在明文圖像和對(duì)應(yīng)的密文圖像中，我們隨機(jī)選取10 000 對(duì)相鄰像素，分別計(jì)算了其在水平、垂直、對(duì)角方向的相關(guān)性。本文算法對(duì)于不同圖像，不同方向的相鄰像素之間的相關(guān)性系數(shù)計(jì)算結(jié)果如表1 所示，結(jié)果表明本文所提算法可以有效地降低CT、MRI、、B 超和X 光圖像的相關(guān)性系數(shù)。

表1 明文圖像和密文圖像的相鄰像素間的相關(guān)系數(shù)

如表2 給出的CT 圖像同其他論文的比較結(jié)果中，本文所提算法在相鄰像素間的相關(guān)性上略高于其他文獻(xiàn)，這主要是因?yàn)槎S壓縮感知使得加密后的圖像尺寸變小而導(dǎo)致的。

表2 CT圖像的相關(guān)性系數(shù)與其他文獻(xiàn)比較

3.6 剪切攻擊

抗剪切分析以CT 圖像為測(cè)試圖像，壓縮比為0.5×0.5，量化函數(shù)的參數(shù)均為α= 510、β= 0.0125。

由圖7～8 及表3 可知，當(dāng)剪切量為5%時(shí)，圖像還可以分辨，但剪切量為15%時(shí)，圖像基本不能分辨，但是依然還是可以恢復(fù)部分信息，因此，本文加密算法在一定程度上可以有效抵御剪切攻擊。

圖7 不同剪切度下的密文圖像和恢復(fù)圖像

圖8 不同剪切度下的密文圖像和恢復(fù)圖像

3.7 噪聲攻擊

抗噪聲分析以CT 圖像為測(cè)試圖像，壓縮比為0.5×0.5，量化函數(shù)的參數(shù)均為α= 510、β= 0.0125，分別添加不同標(biāo)準(zhǔn)差的高斯噪聲和不同密度的椒鹽噪聲，結(jié)果如圖9及表4所示。

表4 不同噪聲強(qiáng)度下CT圖像的明文圖像與密文圖像PSNR值

圖9 不同噪聲強(qiáng)度下CT圖像的恢復(fù)圖像

由結(jié)果可知，隨著所添加高斯噪聲和椒鹽噪聲的增加，恢復(fù)重建圖像的PSNR 值也會(huì)隨之下降，但從視覺上仍可分辨出圖像的特征。與添加椒鹽噪聲相比，添加高斯噪聲對(duì)恢復(fù)重建圖像所帶來(lái)的影響較小。因此，本文所提算法具有一定的抗噪聲能力。

3.8 選擇明文攻擊

攻擊者一般選擇全黑圖像或全白圖像對(duì)圖像加密算法實(shí)施攻擊。根據(jù)本文所提算法，全黑圖像及全白圖像的相鄰像素間的相關(guān)性系數(shù)（見表5）及實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖（見圖10）可以發(fā)現(xiàn)，全黑圖像加密后仍呈現(xiàn)類雪花狀，而全白圖像的加密效果則與X光圖像的加密效果類似，即攻擊者也無(wú)法直接根據(jù)密文圖像獲取明文圖像的全部特征。因此，本文所提算法具有一定的在抵抗選擇明文攻擊能力。

表5 全黑和全白圖像的相關(guān)性分析

圖10 全黑及全白圖像的明文圖像、密文圖形及密文直方圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于二維壓縮感知和同步混沌流密碼系統(tǒng)的醫(yī)學(xué)圖像加密算法。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，所提算法對(duì)CT、MRI、B 超以及X 光圖像可以表現(xiàn)出良好的保密效果。四種醫(yī)學(xué)圖像在不同壓縮比下的量化對(duì)比結(jié)果表明，相較于均勻量化函數(shù)及Sigmoid量化函數(shù)所提算法采用Tanh 函數(shù)進(jìn)行量化能使得恢復(fù)重建出的圖像具有更穩(wěn)定的PSNR 值。通過直方圖分布和相鄰像素相關(guān)性等統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果表明所提算法在一定程度上可以抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊；并且在抵抗裁剪攻擊、噪聲攻擊和選擇明文攻擊等相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，所提算法表現(xiàn)出較好的魯棒性和安全性。因此，本文所提出算法在醫(yī)學(xué)圖像加密方面具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。