定常線性薛定諤方程的一種高精度數(shù)值解法

張紅梅，尹江華

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.株洲歐科億數(shù)控精密刀具股份有限公司，湖南 株洲 412008）

1 研究背景

薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程之一，其地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)。薛定諤方程已被廣泛應(yīng)用于理論物理、核物理、等離子物理、電磁波理論、化學(xué)、光學(xué)工程、地震學(xué)等領(lǐng)域之中。但對于這些實(shí)際應(yīng)用中的大量復(fù)雜問題，用經(jīng)典的解析方法和實(shí)驗(yàn)研究方法大多難以求解。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)值解法已成為其另一重要且有效的求解方法。薛定諤方程是耦合方程組，它還涉及復(fù)函數(shù)，采用經(jīng)典的離散方法在單層網(wǎng)格下離散原方程所得的離散系統(tǒng)，通常規(guī)模較大，耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。因此，構(gòu)建快速的數(shù)值解法十分必要。

有限體積元算法除了處理邊界靈活、計(jì)算簡便外，還能夠在一定程度上保持物理量的局部和全局守恒性。這些性質(zhì)使得有限體積元算法成為一種重要方法。近年來，學(xué)者們分別采用不同的有限體積元算法求解橢圓方程[1]、Navier-Stokes 方程[2]、擴(kuò)散方程[3]等。

在求非對稱問題或非正定問題的有限元解時(shí)，提出了兩網(wǎng)格離散算法[4]，并將該算法應(yīng)用到求解非線性邊值問題[5]、Navier-Stokes 問題[6]、流體問題[7]等。隨后，兩網(wǎng)格有限元算法又被成功地應(yīng)用于求解耦合方程組[8]，并進(jìn)行了一系列的推廣與應(yīng)用[9-12]。在上述研究的基礎(chǔ)上，C.S.Chien 等[13]采用兩網(wǎng)格差分法求解非線性薛定諤方程組；Wu L.[5]用兩網(wǎng)格混合有限元算法求解非線性薛定諤方程組。

近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者將兩網(wǎng)格離散思想與有限體積元算法相結(jié)合，用于求解橢圓方程定解問題[14]、非線性雙曲方程定解問題[15]、拋物方程定解問題[16]等。本文將有限體積元算法計(jì)算的靈活性與兩網(wǎng)格算法的快速性相結(jié)合，構(gòu)建兩網(wǎng)格有限體積元算法，用于求解耦合方程組——定常線性薛定諤方程邊值問題：

λΔ 為動能算子，且λ為正實(shí)數(shù)；

u(x)、V(x)、f(x)分別為未知函數(shù)、位勢函數(shù)、右端項(xiàng)，均為復(fù)函數(shù)。

在實(shí)際計(jì)算時(shí)要將解的實(shí)部與虛部分開成如下等價(jià)的耦合方程組：

式中：u1(x)、u2(x)分別為u(x)的實(shí)部和虛部函數(shù)；

V1(x)、V2(x)分別為V(x)的實(shí)部和虛部函數(shù)；

f1(x)、f2(x)分別為f(x)的實(shí)部和虛部函數(shù)。

為了方便，假設(shè)

2 線性有限體積元算法及誤差估計(jì)

方程（2）的變分形式可描述為：

設(shè)Th={ei}、Zh分別是形狀正則的三角形網(wǎng)格剖分所有單元和剖分點(diǎn)的集合[9]，h為剖分步長。定義線性有限元空間

由式（4）和（8）可得正交關(guān)系

并在條件（3）成立的情況下，問題（8）的有限元解uh滿足

由文獻(xiàn)[1]可知算子Ih滿足引理1。

為簡化方程組（2）的計(jì)算，將方程組（2）的前兩式在控制體bp上積分，并利用 Green 公式可得

式中n為控制體邊界的單位外法向量。

對上兩式等號左邊第二項(xiàng)進(jìn)行近似計(jì)算，即控制體bp上的積分，被積分函數(shù)ui(x)取近似值ui(bp),i=1,2，進(jìn)行計(jì)算，得，將上面兩個(gè)方程兩邊分別乘以Ihw1和Ihw2，并對bp求和，則有

為了對式（13）和（14）化簡，先給出如下引理2[2]。

利用引理2 可得

由直接驗(yàn)證可知

將式（15） 和（16） 代入式（13）和（14），可得如下線性有限體積元變分問題：

定義范數(shù)容易證得

由引理3 和Lax-Milgram 定理知，變分問題（17）的解存在且唯一。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]有引理4。

引理5 證畢。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的式（3.10）有

利用上式和式（23）可得式（24）。引理6 證畢。

引理7設(shè)u、uh分別為方程（2）和（17）的解，則有

證由式（21）、（17）和（19）得

引理7 證畢。

因而有

證由式（8）和（17）有

當(dāng)式（22）和（24）中p=q=2 時(shí)，再聯(lián)合式（25）則有

在式（26）中，令v=uh-uh，再由式（9）可得式（27）。引理8 證畢。

證由式（7）、（10）和（27）得

定理1 證畢。

3 兩網(wǎng)格有限體積元算法及誤差估計(jì)

為了簡化式（18），將其拆成兩部分并引入記號：

兩網(wǎng)格有限體積元算法：

因而有

證將式（17）減去式（29），再由式（18）得

由假設(shè)條件（3）及式（12）、（19）、（25）和（28）可得

即得式（31）。

再由式（28）和（31）得

定理2 證畢。

4 兩網(wǎng)格有限體積元算法數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表1 λ=1 時(shí)兩種算法的結(jié)果比較Table 1 Comparison of results between the two algorithms with λ=1

表2 λ=100 時(shí)兩種算法的結(jié)果比較Table 2 Comparison of results between the two algorithms with λ=100

5 結(jié)語

薛定諤方程的實(shí)際應(yīng)用比較廣泛，方程的離散系統(tǒng)規(guī)模龐大。本文在已求出定常線性薛定諤方程兩網(wǎng)格有限元解的基礎(chǔ)上，重新構(gòu)造了薛定諤方程的一種新的快速數(shù)值解法——兩網(wǎng)格有限體積元算法。從理論上證明了該算法達(dá)到最優(yōu)收斂階，并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法能節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間，極大地提高了求解效率。