GeoGebra技術(shù)下的立體幾何規(guī)則課單元教學(xué)探微

李小琪

(廣東華僑中學(xué),廣東 廣州 510000)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的必考內(nèi)容,但它往往是學(xué)生心中的“攔路虎”,也是部分教師教學(xué)上的一大難點(diǎn)．它不僅需要學(xué)生熟練掌握概念、基本事實(shí)、定理、公式等基礎(chǔ)知識,還需要具備較強(qiáng)的邏輯推理、空間想象和綜合分析的能力,并且它幾乎涵蓋了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱 《新課程標(biāo)準(zhǔn)》)中提出的六大核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析．這就對教師提出了更高的要求,如何借助信息技術(shù)的有效手段,設(shè)計(jì)合理的教學(xué)方式,在規(guī)則課階段給學(xué)生打下良好的基礎(chǔ),值得我們探究與實(shí)踐.筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐,借助GeoGebra(以下簡稱GGB)軟件,對立體幾何規(guī)則課進(jìn)行整體設(shè)計(jì),在此提出一些觀點(diǎn)與看法．

1 規(guī)則課概念重基礎(chǔ)

根據(jù)加涅的學(xué)習(xí)結(jié)果分類,高中數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等都屬于智慧技能中的規(guī)則,這些是很明顯的,還有一些規(guī)則就不那么明顯,如一些數(shù)學(xué)基本題的解法.以高中數(shù)學(xué)中的法則、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)重要結(jié)論和數(shù)學(xué)基本題的解法等數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)作為主要教學(xué)任務(wù)的一類課,統(tǒng)稱為高中數(shù)學(xué)規(guī)則課型[1].本文所提的立體幾何規(guī)則課是指以認(rèn)識基本立體圖形,空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,特別是直線、平面的平行和垂直這兩種特殊關(guān)系為主要教學(xué)內(nèi)容的課型.

2 單元設(shè)計(jì)——提站位

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》要求高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本,以落實(shí)立德樹人為根本任務(wù),培育學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識,提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在教學(xué)建議中明確指出要“整體把握教學(xué)內(nèi)容,促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展.”這就要求教師必須提升教學(xué)設(shè)計(jì)的站位,即從關(guān)注單一的知識點(diǎn)、課時(shí)轉(zhuǎn)變到大單元設(shè)計(jì),只有這樣,才能真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)與素養(yǎng)目標(biāo)的有效對接[2].

2.1 單元教學(xué)設(shè)計(jì)

單元教學(xué)設(shè)計(jì)是指教師在整體思維模式下,對單元課程規(guī)范方案和單元內(nèi)的課時(shí)教案進(jìn)行整合設(shè)計(jì)的教學(xué)計(jì)劃[3].單元教學(xué)設(shè)計(jì)是教師對教材中具有＂某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性＂的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合并形成相對完整的單元(主題),以數(shù)學(xué)單元(主題)知識為主要線索,遵守學(xué)習(xí)規(guī)律、認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)教學(xué)原則,以培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的一種教學(xué)設(shè)計(jì).

2.2 立體幾何的研究體系

立體幾何初步的主要研究內(nèi)容為直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系,基本立體圖形(柱、錐、臺、球)的結(jié)構(gòu)特征,特別重要的是空間中的平行和垂直以及兩者之間的密切關(guān)聯(lián),因?yàn)樗鼈兪钦麄€(gè)定量立體幾何的基礎(chǔ)所在.

圖1 立體幾何初步知識結(jié)構(gòu)

3 GGB軟件——強(qiáng)學(xué)習(xí)

立體幾何不同于平面幾何紙面上的展示,需要學(xué)生對幾何體性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的抽象思考,信息技術(shù)的引入可以使立體幾何教學(xué)更加直觀、簡單和高效,增強(qiáng)立體幾何教學(xué)的科學(xué)性、生動性和高效性．GeoGebra軟件是一款集幾何(geometry)、代數(shù)(algebra)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件,具有同時(shí)處理代數(shù)與幾何的功能,既有平面幾何區(qū)域,也有3D繪圖區(qū),在立體幾何單元教學(xué)中主要用到“3D繪圖區(qū)”.下面僅從“認(rèn)識空間幾何(體)”選取例子展示.

案例1 可變化為柱體、椎體的臺體

圖2 可變化為柱體、椎體的臺體

當(dāng)移動滑動條“上下相似比r”至最左端即r=0時(shí),幾何體變?yōu)樽刁w;當(dāng)滑動條“上下相似比r”移至最右端即r=1時(shí),幾何體變?yōu)榕_體．當(dāng)移動滑動條“底面邊數(shù)n”至右端,如n=25時(shí),可觀察幾何體由多面體近似為旋轉(zhuǎn)體, 可以讓學(xué)生直觀理解棱柱與圓柱、棱錐與圓錐、棱臺與圓臺體積公式的一致性,體現(xiàn)了微積分思想,從而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

圖3 臺體變椎體

圖4 臺體變柱體

圖5 多面體近似為旋轉(zhuǎn)體

案例2 平面的基本性質(zhì)(課堂選錄)

筆者沒有采取書本上從實(shí)際生活真實(shí)情境(自行車腳撐、三角架)中提煉,得到“不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面”的基本事實(shí),而是采用了一個(gè)簡單的問題引導(dǎo)式探究推理,也為后續(xù)“位置關(guān)系”課時(shí)的形式做鋪墊,采取了先推理再事實(shí)驗(yàn)證的模式,實(shí)踐表明學(xué)生接受度、理解度較高.該教學(xué)設(shè)計(jì)以維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論為支撐,教學(xué)應(yīng)當(dāng)為學(xué)生提供重新解決問題的機(jī)會,鼓勵(lì)學(xué)生在問題解決中學(xué)習(xí),成為解決問題的主人.

問題1:我們初中在學(xué)習(xí)平面幾何知識時(shí)知道一個(gè)基本事實(shí)——兩點(diǎn)確定一條直線,現(xiàn)在我們進(jìn)入研究立體幾何階段,升維,確定一個(gè)平面需要幾點(diǎn)呢?也是兩點(diǎn)嗎?或許更多?

問題2:我們先試試兩點(diǎn)能否確定一個(gè)平面,換句話說,一條直線能否確定一個(gè)平面?

由于Illumina Miseq測序得到的是雙端序列數(shù)據(jù)，首先需根據(jù)reads之間的overlap關(guān)系，將成對的reads 拼接(merge)成一條序列，同時(shí)對reads的質(zhì)量和merge的效果進(jìn)行質(zhì)控過濾；然后再根據(jù)序列首尾兩端的barcode和引物序列區(qū)分樣品得到有效序列，并校正其序列方向。最后用MOTHUR軟件進(jìn)行操作分類單元(OUTs)計(jì)算：先把基因序列相似性在97%以上的歸為一類后，再進(jìn)行OTU picking和物種注釋分析，并通過計(jì)算稀釋性曲線，以及香農(nóng)指數(shù)(Shannon-Wiener)和主成分分析(PCA)，對微生物的菌群結(jié)構(gòu)和物種豐度進(jìn)行分析。

筆者利用GGB軟件制作過一條直線的平面(圖6),實(shí)際是隱藏了第三個(gè)點(diǎn)C,通過創(chuàng)建與C數(shù)據(jù)有關(guān)的滑動條a,手動移動滑動條即改變C的位置,從而實(shí)現(xiàn)平面的“轉(zhuǎn)動”即平面的不確定性.

圖6 一條直線不能確定一個(gè)平面

問題3:顯然眼見為實(shí),兩點(diǎn)不能確定一個(gè)平面,那我們就只能“加碼”吧,謹(jǐn)慎起見,先加一點(diǎn)吧,這點(diǎn)能隨便加嗎?

生:不能在這條直線上,否則就還是一條直線了,平面不能確定．應(yīng)該是:不共線的三點(diǎn)能否確定一個(gè)平面?

筆者再選中上圖“代數(shù)區(qū)”的點(diǎn)C,即顯示出點(diǎn)C開啟追蹤點(diǎn)C的痕跡,可以看見＂不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面＂即C走到哪里,都有唯一的平面同時(shí)包含A,B,C.

問題4:我們見識了加一個(gè)點(diǎn),可以確定一個(gè)平面了,那再多加一個(gè)行不行呢?沒有任何三點(diǎn)共線的四個(gè)點(diǎn),可以確定一個(gè)平面嗎?

生:不一定,不共線的三點(diǎn)已經(jīng)確定一個(gè)平面了,這第四個(gè)點(diǎn)可能在平面內(nèi),也可能在平面外.

師:很好,就像我們研究平面幾何一樣,兩點(diǎn)確定一條直線,多一點(diǎn),那就不一定只有一條直線了,特殊情況——三點(diǎn)共線;同理,升維,空間中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,多一點(diǎn),也不一定只有一個(gè)平面,當(dāng)然,有特殊情況――四點(diǎn)共面.

筆者再選中軟件中的D點(diǎn)使其顯示,通過鼠標(biāo)移動D點(diǎn)的位置,可以觀察D點(diǎn)可能在平面ABC內(nèi),也可能在平面外.

問題5:既然四點(diǎn)不一定確定一個(gè)平面,有特殊的四點(diǎn)共面的情況,那你們看看自己坐著的椅子是幾條腿的?為什么常見的椅子都是四條腿呢?當(dāng)然三條腿的凳子也有.還有我們馬路上常見的車都是四個(gè)輪子在飛奔,當(dāng)然三輪車也存在,這是為什么呢?

師提示:我騎過三輪車,直行還可以,但特別不好轉(zhuǎn)彎,一不小心就側(cè)翻了.

筆者通過這一生活中常見的情境,理論聯(lián)系實(shí)際,進(jìn)一步理解與加深平面基本性質(zhì),并讓學(xué)生舉出生活中的實(shí)例,讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)來源于生活,同時(shí)也鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)用于生活,體會數(shù)學(xué)的生活美,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,進(jìn)而落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

案例3 從線線平行到線面平行再到面面平行(以判定定理為例)

筆者對于空間的位置關(guān)系教學(xué)處理,延續(xù)了“平面基本性質(zhì)”的模式,從低維低級開始,層層“加碼”,以動態(tài)的點(diǎn)線面為線索,探究判定定理及性質(zhì)成立需要的條件.

問題1:如果已知一條直線與另一條直線平行,需要一些什么條件才能得到一條直線與平面平行呢?

生:當(dāng)然需要其中的一條直線“生”出一個(gè)平面咯.

師:那一條直線能確定一個(gè)平面嗎?不能,這個(gè)平面會“動”的,但是,盡管如此,無論這個(gè)平面“運(yùn)動”到哪里,另外的那條直線始終與這個(gè)平面保持平行嗎?(圖8)

圖8 線面平行的判定

圖9 面面平行的判定

筆者先構(gòu)建兩條平行的直線,再同案例2中圖6的操作生成一個(gè)包含直線AB的“轉(zhuǎn)動”綠色平面(這里隱藏了一個(gè)在單位圓上轉(zhuǎn)動的G點(diǎn),可以生成G的動畫, 綠色平面就會圍繞直線AB進(jìn)行360度旋轉(zhuǎn)),請學(xué)生親自操作移動視角,可以觀察到,在綠色平面的360度轉(zhuǎn)動過程中都是與另一條直線平行的,但有唯一一個(gè)位置除外,就是綠色平面“包住”這條直線時(shí).

師:既然我們觀察到,“生”出來的這個(gè)平面雖然會“動”,但也足夠保證另一條直線與它平行了,只需要排除掉這條直線不在平面內(nèi)就行了.由此我們可以得到線面平行的判定定理.

在得到線面平行的判定后,筆者又讓學(xué)生舉出生活中的實(shí)例(教師適當(dāng)提示,比如我們現(xiàn)在坐在的教室里)比如門框、作業(yè)本等,理論聯(lián)系實(shí)際,以此來鞏固理解理論.

問題2:已經(jīng)得到一個(gè)線面平行了,如果我還想進(jìn)一步得到面面平行呢?

生:繼續(xù)“生”唄,這不還有一條直線嘛,由它再“生”個(gè)平面出來.

師:這個(gè)“生”出來的平面還是不確定的(因?yàn)橹挥幸粭l直線),會“動”,那在這個(gè)平面的轉(zhuǎn)動過程中,也能始終保持與已有平面保持平行不變嗎?

生:不行!只有一個(gè)位置可以保持與已有平面平行,其它位置都不平行.

師:那看來“動”是不能滿足我們的要求了,怎么讓它確定下來呢?

生:加條件!再加一條直線,兩條直線可以確定一個(gè)平面.

師:加一條怎樣的直線,才能保證平面“待在”我們想要的位置呢?

生:與已知直線相交的直線,并且與已知平面平行.

至此,借助GGB軟件,我們將線線平行、線面平行與面面平行的判定定理建立了聯(lián)系,并建立了一套思維模式,也繼續(xù)用于性質(zhì)定理以及垂直關(guān)系的推導(dǎo)與理解.更重要的是,通過信息技術(shù)的直觀展示,在學(xué)生頭腦中建立了動態(tài)想象,極大地提高了學(xué)生的空間想象力,從而落實(shí)數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

信息技術(shù)應(yīng)用于中學(xué)課堂教學(xué),是可視化教學(xué)的優(yōu)勢載體,能讓學(xué)生有直觀的感受,為形成概念、辨析理論打下良好基礎(chǔ).利用GGB軟件的3D動態(tài)效果,為立體幾何單元規(guī)則課建立了很好的探究模型,課堂“動”起來,學(xué)生思維才會“動”起來,調(diào)動了學(xué)生探索的興趣,促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).