同心圓錐曲線的性質(zhì)再探

官一宏

(福建省永春美嶺中學(xué),福建 泉州 362618)

類比思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著重要的角色,數(shù)學(xué)中的很多發(fā)現(xiàn)都是通過類比得到的.類比可以得到新的結(jié)論,但未必正確,需要給出嚴(yán)格的證明.同心圓,由于其對(duì)稱性而具有很多經(jīng)典的性質(zhì).根據(jù)類比思想,同心圓錐曲線應(yīng)該也有很多經(jīng)典的結(jié)論.我們可以通過類比得到結(jié)論,然后用超級(jí)畫板驗(yàn)證,最后給出嚴(yán)格的證明.

1 同心圓錐曲線的定義

定義設(shè)兩圓錐曲線有著公共的焦點(diǎn)F,且與F相應(yīng)的準(zhǔn)線f也是公共的,則稱這兩個(gè)圓錐曲線為同心圓錐曲線[1].

2 同心圓的性質(zhì)

性質(zhì)1如圖1,設(shè)圓Γ1和圓Γ2為同心圓,公共圓心為O,作一直線交圓Γ1于A、B兩點(diǎn),交圓Γ2于C、D兩點(diǎn),那么∠AOC=∠BOD.

圖1 同心圓

3 同心圓錐曲線的性質(zhì)

將該性質(zhì)類比到同心圓錐曲線,則得到:

性質(zhì)2如圖2,設(shè)橢圓和拋物線為同心圓錐曲線,F和f分別為它們的公共焦點(diǎn)和相應(yīng)的公共準(zhǔn)線[2],作一直線交橢圓于A、B,交拋物線于C、D,那么∠AFC=∠BFD.

圖2 同心圓錐曲線

如圖3,利用超級(jí)畫板驗(yàn)的度量功能,進(jìn)行動(dòng)態(tài)探究,最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線AB在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)[3],∠AFC=∠BFD始終成立.

圖3 超級(jí)畫板驗(yàn)證

4 性質(zhì)的證明

圖4 同心圓錐曲線

因?yàn)橹本€l分別交橢圓、拋物線于A、B、C、D,故直線l不可能平行于x軸,則設(shè)l:x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直線FA、FB、FC、FD斜率分別為k1、k2、k3、k4.

直線與橢圓聯(lián)立整理得:

整理得(a2t2-b4m2)y2+(2mb4+2b2cmt)xy+(b2t2-2b2ct-b4)x2=0.

對(duì)上式同除以x2得

同理,齊次聯(lián)立拋物線與直線l可得

∠AFC=∠BFD等價(jià)于∠AFB與∠CFD的角平分線重合.

記∠AFB與∠CFD的角平分線的斜率分別為k1,k2,直線lAB:x=my+n.

設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD).

又xA=myA+n,xB=myB+n,得

(a2+b2m2)y2+2b2mny+b2(n2-a2)=0.

所以2myAyB+(n+c)(yA+yB)

即b2m(a2+cn)k2+[b4m2-(a2+cn)2]k-b2m(a2+cn)=0.(1)

c2y2-2b2mcy-b2(a2+c2+2nc)=0.

所以2myAyB+(n+c)(yA+yB)

即b2m(a2+cn)k2+[b4m2-(a2+cn)2]k-b2m(a2+cn)=0.(2)

而k1是方程(1)的根,k2是方程(2)的根,但是方程(1)與(2)其實(shí)是同一方程,

所以k1=k2. 所以∠AFC=∠BFD.

證法3先證明一個(gè)引理:

如圖5,設(shè)同心圓錐曲線的焦點(diǎn)為F,相應(yīng)的準(zhǔn)線為l,任作直線交橢圓于B,C,交l于E,則EF為∠BFC的角平分線.

圖5 橢圓 圖6 同心圓錐曲線

下面證明本題的結(jié)論,如圖6,延長(zhǎng)諸線與l相交,對(duì)拋物線由引理有EF平分∠DFH,對(duì)橢圓由引理有EF平分∠CFG.

從而∠DFC=∠GFH=∠AFB.證畢.

通過類比同心圓的性質(zhì),可以得到同心圓錐曲線的性質(zhì)[4],然后利用超級(jí)畫板進(jìn)行驗(yàn)證,再用解析法或者幾何法給出嚴(yán)格證明,這就是本文的研究思路.我們知道,同心圓有很多漂亮的性質(zhì),那么,這些性質(zhì)類比到同心圓錐曲線是否成立呢?這有待于讀者的進(jìn)一步探索.