物理圖像的漸變與突變
——以“單擺模型”為例

張 銳 周 伊

(北京市十一學(xué)校 北京 100039)

1 原題呈現(xiàn)

人教版教材高中物理選擇性必修第一冊《機械振動》“復(fù)習(xí)與提高”B組中有這樣一個問題(60頁第5題)[1]:

如圖1(a)所示,O點為單擺的固定懸點,將力傳感器接在擺球和O點之間.現(xiàn)將擺球拉到A點,釋放擺球,擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回擺動,其中B點為運動中的最低位置.圖1(b)表示細線對擺球的拉力大小F隨時間t的變化曲線,圖中t=0為擺球從A點開始運動的時刻,重力加速度g取10 m/s2.求:

圖1 原題題圖

(1)單擺的振動周期和擺長;

(2)擺球的質(zhì)量;

(3)擺球運動過程中的最大速度.

通過分析圖像,將圖像中特殊值與振動過程中的狀態(tài)一一對應(yīng),就可以求解這個問題.當(dāng)t=0、0.4π、0.8π、…時,此時細線對擺球的拉力最小,說明此時擺球處于振動過程中的最高點,即可能是A、C兩點處.根據(jù)簡諧運動的對稱性,當(dāng)t=0.2π、0.6π、…時,此時細線對擺球的拉力最大,擺球處于振動過程的最低點,即B處.

要分析擺球的質(zhì)量m和運動過程中的最大速度vm,我們需要具體研究擺球在最高點和最低點的受力特點.根據(jù)機械能守恒定律,擺球運動至最低點時速度最大.假設(shè)擺球振動過程中的最大擺角為θ0,則在最高點,即A或C處時,沿繩方向受力平衡,可知F1=mgcosθ0,其中F1=0.498 N.

由最高點運動至最低點過程中,根據(jù)動能定理

將上述方程聯(lián)立,可以解得擺球質(zhì)量m=0.05 kg,運動過程中最大擺角滿足cosθ0=0.996,最大速度

由此可知,圖像問題的處理,學(xué)生需要具備基本的力與運動的物理觀念、讀圖與分析圖像的能力、模型建構(gòu)的能力和運用牛頓運動定律分析動力學(xué)問題的能力,這都是教學(xué)過程中重點落實的相關(guān)內(nèi)容.但仔細觀察上述圖片,學(xué)生可能會產(chǎn)生一個疑問:擺球在振動過程中,受到外界的約束條件并沒有發(fā)生變化,描述運動的物理量,如位移、速度、加速度均發(fā)生順延性變化,即隨時間的變化規(guī)律均為連續(xù)性函數(shù),為什么擺球提供的拉力F隨時間t的變化函數(shù)會呈現(xiàn)出不連續(xù)、不可導(dǎo)的突變點呢?

這與學(xué)生在高中階段接觸的經(jīng)典力學(xué)相關(guān)的觀念是不相符的,當(dāng)約束條件不變或者連續(xù)變化時,物理量的變化也應(yīng)是漸變的[2].以運動學(xué)中常見的上拋運動的圖像問題為例,物體以一定的初速度向上拋出,以豎直向上為正方向.若不考慮空氣阻力的影響,則物體速度v隨時間t的變化曲線如圖2(a)所示,為連續(xù)曲線;若物體運動過程中受到大小不變的空氣阻力的影響,則物體速度v隨時間t的變化曲線如圖2((b)所示,由于上升過程和下降過程的阻力在最高點處發(fā)生突變(方向突變),圖像曲線出現(xiàn)不連續(xù)的突變點;再進一步,若考慮物體所受空氣阻力大小與物體速率成正比,則物體速度v隨時間t的變化曲線如圖2(c)所示,由于阻力的變化是連續(xù)的,因此v-t關(guān)系曲線仍為連續(xù)曲線.

圖2 豎直上拋運動v-t圖像

根據(jù)上述分析可知,在經(jīng)典力學(xué)階段,在約束條件不變或者連續(xù)變化的情況下,狀態(tài)參量的變化應(yīng)為連續(xù)性的.基于這一想法,我們對人教版教材中的上述問題進一步進行分析,方法與上述討論完全相同.

假設(shè)細線偏離豎直方向的夾角為θ,根據(jù)題設(shè)條件可知,單擺振動的周期T=0.8π s,則角度θ隨時間t的變化關(guān)系為θ=θ0cos(2.5t),其中,θ0滿足

cosθ0=0.996

在某角度θ時,沿繩方向擺球受力分析

根據(jù)動能定理有

聯(lián)立上述兩式可得

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

將數(shù)據(jù)m=0.05 kg、cosθ0=0.996、g=10 m/s2代入可得

F=1.5cosθ-0.996

即拉力F隨時間t變化的關(guān)系為

F=1.5cos[θ0cos(2.5t)]-0.996

為連續(xù)函數(shù).通過數(shù)學(xué)軟件可以畫出F-t圖像如圖3所示,與圖1(b)所畫圖像有很大的差別.

圖3 F-t圖像

綜合上述可知,對于多過程的物理問題,由于約束條件差異,會使得狀態(tài)參量的變化規(guī)律有所不同,但在經(jīng)典力學(xué)的框架下,若約束條件不變或者連續(xù)變化,各物理量也應(yīng)為連續(xù)變化.在物理過程的圖像中,不連續(xù)或不可導(dǎo)的突變點一定對應(yīng)著物理過程中約束條件的突變.因此,學(xué)生在處理圖像相關(guān)問題時,應(yīng)慎重對待圖像中的不連續(xù)或不可導(dǎo)的突變點.圖像的信息,不僅僅包括變化趨勢、斜率、截距等,更包含著與運動過程的對應(yīng)關(guān)系、約束條件的影響,而我們在教學(xué)過程中也應(yīng)有所關(guān)注.