轉化“二倍角”關系破解中考壓軸題

柏新峰

摘要：“二倍角”的轉化通常有四種方法：一是直接構造等腰三角形、轉化“二倍角”關系；二是利用對稱法構造等腰三角形，轉化“二倍角”關系；三是借助“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”轉化“二倍角”關系；四是利用角平分線轉化“二倍角”關系.通過從不同角度求解，有利于提高學生的幾何推理能力，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

關鍵詞：二倍角；構造；轉化；等腰三角形在幾何問題中，如果有一個角等于另一個角的二倍，則稱其為“二倍角”問題.這類問題求解方法靈活，具有一定的難度.解決這類問題的關鍵是將“二倍角”關系轉化為等角關系，然后利用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、平行四邊形等基本圖形的性質解決問題.本文以2023年山西省中考數(shù)學第15題為例，從不同角度呈現(xiàn)如何將“二倍角”關系轉化為等角關系，供讀者參考.

1試題呈現(xiàn)

題目：（2023年山西省中考數(shù)學第15題）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，對角線AC，BD相交于點O，若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，則AD的長為_________.

2試題分析

根據已知條件可知△ABC是等腰三角形，△BCD是直角三角形，這是本題涉及的兩個基本圖形，且這兩個三角形有一條公共邊.由“∠ADB=2∠CBD”可知本題是一道“二倍角”幾何問題，這類問題對學生而言有一定的難度，本題是填空題中的一道壓軸題.其實，這類問題的處理是有方向可循的，通常需要構造等腰三角形，將“二倍角”關系轉化為等角關系，由此實現(xiàn)未知量與已知條件之間的邏輯關系外顯化，為問題解決創(chuàng)造條件.

3解法探究

點評：這種解法利用對稱法得到∠CBD的二倍角∠GBH，從而根據已知條件“∠ADB=2∠CBD”得到∠GBH=∠ADB，實現(xiàn)了將“二倍角”關系轉化為等角關系，然后利用三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質、勾股定理解決問題.由此可以看出，利用對稱法構造等腰三角形，是將“二倍角”關系轉化為等角關系的基本方法.

點評：這種解法利用“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”將“二倍角”關系轉化為等角關系，然后利用等腰三角形性質、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質、勾股定理解決問題.由此可以看出，利用“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”可將“二倍角”關系轉化為等角關系，然后利用基本圖形的性質解決問題.

點評：這種解法通過構造角平分線將“二倍角”關系轉化為等角關系，然后利用等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識求解，求解過程通俗易懂，是一種較為簡捷的求解方法.由此可以看出，通過構造角平分線可將“二倍角”關系轉化為等角關系，然后利用基本圖形的性質解決問題.

“二倍角”幾何問題求解方法靈活多樣，對學生而言具有一定的難度.解決這類問題的關鍵是將“二倍角”關系轉化為等角關系，然后利用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、平行四邊形等基本圖形的性質解決問題.在解決問題的過程中，可通過直接構造等腰三角形、利用對稱法構造等腰三角形、借助直角三角形斜邊中線的性質或構造角平分線等手段轉化“二倍角”關系.通過從不同角度求解，有利于提高學生的幾何推理能力，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.

［2］ 華志遠.高品質課堂：重在優(yōu)化數(shù)學任務的設計——“二倍角三角函數(shù)（2）”同課異構的設計、實錄與評析［J］.數(shù)學通報，2021，60（8）：3942.