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    聚焦新課標(biāo),研讀新教材,踐行新理念

    2023-12-10 19:41:21包東妹
    數(shù)學(xué)之友 2023年16期
    關(guān)鍵詞:通項意圖新課標(biāo)

    包東妹

    摘要:以一節(jié)公開課為載體,呈現(xiàn)了一位數(shù)學(xué)教師如何聚焦新課標(biāo)、研讀新教材、踐行新理念的生活常態(tài),圍繞教學(xué)設(shè)計中的三個難點“如何有效利用情境抽象數(shù)學(xué)概念”“如何將瑣碎的知識點串成一條線”“如何彰顯引言課的作用”進(jìn)行專項突破.

    關(guān)鍵詞:新課標(biāo);新教材;新理念2022年9月,無錫市高中數(shù)學(xué)新教材培訓(xùn)活動在太湖高級中學(xué)舉行,筆者受邀上了一節(jié)公開課——數(shù)列的概念(第1課時)(人教A版選擇性必修二),同課異構(gòu)的隊友是獲得全國賽課一等獎的張長貴老師,在經(jīng)歷了備課、磨課、上課,同行切磋與交流后,感觸頗深,現(xiàn)將備課中比較糾結(jié)的幾個難點的突破過程和課堂效果整理成文,以饗讀者.

    1如何有效利用情境抽象數(shù)學(xué)概念新課標(biāo)指出:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)通常是在綜合化、復(fù)雜化的情境中,通過個體與情境的有效互動生成的,數(shù)學(xué)教學(xué)活動是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)形成和發(fā)展的重要途徑,在數(shù)學(xué)教學(xué)中需結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),設(shè)計切合學(xué)生實際的情境和問題,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題,使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言、模型描述問題,用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題.

    教科書給出三個引例:王芳的身高(生活實例)、古代巴比倫泥版上的月相變化(數(shù)學(xué)文化)、-1/2的n次冪(數(shù)學(xué)內(nèi)部),并安排了一個歸納欄目,讓學(xué)生歸納上述三個例子的共同特征.

    第一遍備課,深切領(lǐng)會教材意圖,從三個典型情境中抽象數(shù)學(xué)概念.在此基礎(chǔ)上筆者提出自己的不同想法:一是月相變化的例子情境很長,抽象出來的一列數(shù)與王芳的身高抽象出來的一列數(shù)的意義和用途相近;二是想擴(kuò)大情境的作用,不僅要利用情境提煉數(shù)列的概念,還要對后續(xù)研究數(shù)列的分類、性質(zhì)、通項公式等都有啟發(fā)引導(dǎo)的價值,所以對情境的選擇進(jìn)行了一番考慮,設(shè)置如下:

    1. 王芳從1歲到9歲的每年生日都會測量身高,將她的身高數(shù)據(jù)(單位:cm)依次排成一列數(shù):75,87,96,103,110,116,120,128,138.

    2. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù),下圖中的小石子代表的數(shù)依次為:1,3,6,10,…

    (設(shè)計意圖:取代月相變化的例子,從圖形中概括數(shù)列,既有數(shù)學(xué)文化的趣味性,也體現(xiàn)情境表達(dá)的另一種方式,且此數(shù)列蘊(yùn)含數(shù)列前后項之間的聯(lián)系,為后續(xù)學(xué)習(xí)遞推關(guān)系埋下伏筆.)

    3. 100以內(nèi)的正偶數(shù)按從小到大的順序依次排成一列數(shù):2,4,6,8,…,100.

    4. -1/2的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪…的順序依次排成一列數(shù):-1/2,1/4,-1/8,1/16,…

    (設(shè)計意圖:3和4的例子都是從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題,體現(xiàn)項與序號之間的規(guī)律性,便于總結(jié)通項公式,也表達(dá)了單調(diào)增數(shù)列和擺動數(shù)列的變化差異性.)

    5. 無窮多個-1排成一列數(shù):-1,-1,-1,-1,…

    (設(shè)計意圖:體會數(shù)列中的項可以重復(fù),與集合元素的互異性不同.)

    6. 3的不足近似值按小數(shù)點后位數(shù)從少到多的次序排成一列數(shù):1,1.7,1.73,1.732,1.7320,1.73205,…

    (設(shè)計意圖:讓學(xué)生感受這個數(shù)列后面的項是確定的,只是說不出是多少,項與序號之間確實是一一對應(yīng)的關(guān)系,但不能用通項公式來表示.)

    去除情境,剩下六列數(shù),讓學(xué)生觀察這六列數(shù),歸納它們的共同特征.

    學(xué)生給出的反應(yīng)是前三列數(shù)都是單調(diào)遞增,第四和第五列又不滿足這個規(guī)律,立馬又否定了自己的發(fā)現(xiàn),單調(diào)性不是共同特征.

    反思:第一,去掉了情境以后學(xué)生理解“有序”是困難的;第二,這六列數(shù)放在一起對“有序”的概念不夠聚焦,反而更突出了單調(diào)性等體現(xiàn)差異性的特征.

    第二遍備課,設(shè)置如下四個情境:

    1. 王芳從1歲到9歲的每年生日都會測量身高,將她的身高數(shù)據(jù)(單位:cm)依次排成一列數(shù):75,87,96,103,110,116,120,128,138.

    2. -1/2的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪…的順序依次排成一列數(shù):-1/2,1/4,-1/8,1/16,…

    3. 3的不足近似值按小數(shù)點后位數(shù)從少到多的次序排成一列數(shù):1,1.7,1.73,1.732,1.7320,1.73205,…

    4. 100以內(nèi)的正偶數(shù)按從大到小排列的順序依次排成一列數(shù):100,98,96,…,2.

    (設(shè)計意圖:體現(xiàn)不同排列方法,降低單調(diào)遞增的認(rèn)同感.)

    【課堂片段一】

    問題1:觀察上述情境中的四列數(shù),它們有何共同特征?

    生1:依次排列.

    教師:它們分別是按照怎樣的次序排列的呢?

    生1:第1列數(shù)按年齡從小到大的順序,第2列數(shù)按冪指數(shù)從小到大的順序,第3列數(shù)按小數(shù)點后位數(shù)從少到多的順序,第4列數(shù)按數(shù)值從大到小的順序.

    教師:回答得漂亮.

    引導(dǎo)學(xué)生抽象數(shù)列的概念:按照確定的順序排列的一列數(shù).

    緊接著,教師拿出以下兩個情境,讓學(xué)生辨析它們是否是數(shù)列.

    5. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù),下圖中的小石子代表的數(shù)依次為:1,3,6,10,…

    6. 無窮多個-1排成一列數(shù):-1,-1,-1,-1,…

    【課堂片段二】

    教師:情境5中的這列數(shù)是不是一個數(shù)列?這個省略號蘊(yùn)含了后面有無數(shù)個圖,那么第五張圖,第六張圖分別代表的數(shù)是多少?你是怎么發(fā)現(xiàn)的?

    學(xué)生的表現(xiàn)讓人驚喜,說出了后一個數(shù)與前一個數(shù)的關(guān)系.

    教師:情境6中的這列數(shù)是一個數(shù)列嗎?

    生1:不是,因為它沒有確定的順序.

    教師:這里每一項是一樣的,非常特殊,雖然它可以交換順序,但是我們也可以認(rèn)為它是有序排列的.

    教師:集合中的數(shù)我們把它稱之為元素,數(shù)列中的每一個數(shù),我們稱之為項.請你說說數(shù)列中的項與集合中的元素有什么區(qū)別?

    (設(shè)計意圖:體會知識之間的聯(lián)系與區(qū)別,增強(qiáng)對數(shù)列概念的理解.)

    2如何將瑣碎的知識點串成一條線新課標(biāo)指出:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有整體性與階段性,是學(xué)生在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的.高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容按照函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?;顒优c數(shù)學(xué)探究活動四條主線展開,將數(shù)列內(nèi)容置于函數(shù)主題之下,意味著數(shù)列是函數(shù)內(nèi)容的重要組成部分,其作為離散型函數(shù),與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)一樣,都是重要的函數(shù)模型.這樣設(shè)置更加突出了數(shù)列的函數(shù)本質(zhì),強(qiáng)調(diào)了數(shù)列的基礎(chǔ)性,豐富了函數(shù)的知識結(jié)構(gòu),進(jìn)一步深化了學(xué)生對函數(shù)的理解,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的整體性、發(fā)展性和聯(lián)系性.

    根據(jù)新課標(biāo)和教科書呈現(xiàn)的內(nèi)容,設(shè)定本節(jié)課知識層面的教學(xué)目標(biāo):通過觀察情境,學(xué)生能夠概括出數(shù)列的概念,知道項的概念,抽象出數(shù)列的一般形式,體會數(shù)列的部分性質(zhì)和分類,歸納出簡單數(shù)列的通項公式,感受和理解數(shù)列是特殊的函數(shù)等等.從表面上看,知識點瑣碎,前后聯(lián)系不緊密,對教師來說實踐操作也非常困難.筆者思考:如何呈現(xiàn)知識的先后順序才能做到自然?如何巧妙銜接知識點才能讓知識的生成水到渠成,方法的運(yùn)用潤物細(xì)無聲?

    渠東劍老師歸納的函數(shù)知識的發(fā)展線索(如上圖所示)給筆者以很大的啟發(fā),數(shù)列是特殊的函數(shù),因此我們可以借鑒函數(shù)的研究套路來研究數(shù)列,這也體現(xiàn)了大單元教學(xué)和主題式教學(xué)的作用.于是設(shè)計了以下四個問題,以問題串的形式將知識點串成了一條線,構(gòu)成了本節(jié)課的一條明線.

    問題1:觀察上述情境中的四列數(shù),它們有何共同特征?

    (設(shè)計意圖:歸納共性,抽象出數(shù)列和項的概念,概括出數(shù)列的一般表示形式,并將數(shù)列中的項與集合中的元素進(jìn)行比較,感受數(shù)列和集合兩者的差異性.)

    問題2:觀察這六列數(shù),它們有何不同特征?

    (設(shè)計意圖:分析差異,提煉數(shù)列的性質(zhì)——單調(diào)性等,并將數(shù)列按不同標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.)

    問題3:數(shù)列的項與它的序號是否有一定的對應(yīng)關(guān)系?

    (設(shè)計意圖:學(xué)生易于從第2、4、6個數(shù)列寫出項和序號之間的關(guān)系式,提煉出通項公式的概念,對于第1、3、5個數(shù)列,學(xué)生能感受到項和序號之間是對應(yīng)的,但說不出具體關(guān)系式,體會并不是每一個數(shù)列都可以寫出通項公式的.)

    【課堂片段3】

    生2:有,它們是一一對應(yīng)的關(guān)系.

    教師:都是一一對應(yīng)的關(guān)系嗎?

    生眾:不是,第6個數(shù)列是多對一.

    教師:一對一和多對一讓你想到了哪個知識點?

    生眾:函數(shù).

    教師:你能得到項和序號之間的具體的關(guān)系式嗎?

    生3:第2個是an=-(1/2)n,第4個是an=100-2n,…,哦,不對,應(yīng)該是an=100-2(n-1),第4個是an=-1,其他我就不會了.

    教師:好的.同學(xué)們看這些式子有點像函數(shù)里面的——解析式,對了,那么你求解析式的時候僅僅考慮一個式子嗎?

    生眾:哦,還要考慮定義域.分別是…

    教師:那么其他的三列數(shù)有對應(yīng)關(guān)系嗎?感覺有但是說不出來.

    生4:(舉手)老師,第5個我也能寫出來,根據(jù)前面幾項的規(guī)律,an=1+2+3+…+n.(課堂出現(xiàn)的意外驚喜).

    引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)列的通項公式后,教師給出一個練習(xí):請你寫出數(shù)列:1,-1,1,-1,…的一個通項公式.

    學(xué)生的表現(xiàn)也非常棒,舉出了an=(-1)n-1,an=(-1)n+1,an=sin(2n-1)π/2,an=cos (n-1)π等這些數(shù)列的不同的表示形式,切實體會了結(jié)論2:“一個數(shù)列的通項公式有時不唯一”.

    問題4:第1個和第3個數(shù)列中的項與序號的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?

    (設(shè)計意圖:回顧函數(shù)的概念,通過分析數(shù)列的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系,將數(shù)列納入函數(shù)的范疇,引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的眼光來看數(shù)列,用函數(shù)的表示方法來表示數(shù)列,如用列表法或圖像法來表示第1個數(shù)列;通過直觀感知,分析比較,理解數(shù)列是特殊的函數(shù)——離散型函數(shù),為后續(xù)類比函數(shù)的研究套路來研究特殊數(shù)列和應(yīng)用數(shù)列模型解決問題打下基礎(chǔ).)

    課堂上還真有學(xué)生提出不同意見:“數(shù)列不是函數(shù),因為函數(shù)是連續(xù)的,數(shù)列是不連續(xù)的”,最終在師生和生生的交流、辨析和補(bǔ)充中完成對概念的認(rèn)識和理解.

    3如何彰顯章引言課的作用章引言一般從學(xué)生的生活現(xiàn)實或?qū)W生能理解的實例出發(fā),簡單地介紹本章節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容、地位和作用,同時又從數(shù)學(xué)文化的角度,揭示與本章內(nèi)容有關(guān)的人文背景、數(shù)學(xué)應(yīng)用價值以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想方法,所以章引言也是學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的起始課,是本章知識的核心內(nèi)容和生長點.

    數(shù)學(xué)文化是人類文明的一個重要組成部分,新課標(biāo)把“數(shù)學(xué)文化”融入數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之中.而數(shù)列承載著很多文化背景,古代埃及、巴比倫、中國和印度的文獻(xiàn)中都有豐富的數(shù)列問題,教材在編寫本章內(nèi)容的過程中,特別注意引用或改編數(shù)學(xué)史中的例子,不僅豐富了本章內(nèi)容,而且有利于提升學(xué)生的人文素養(yǎng).

    筆者思考:① 如何在本節(jié)課中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的功能,激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和熱情?② 如何讓學(xué)生體悟出學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)對象的研究方法,體會其普適性、應(yīng)用性和有效性?

    對于第一點,滲透數(shù)學(xué)文化,除了問題情境中的畢達(dá)哥拉斯三角形數(shù),還在本節(jié)課后留了一個課外拓展題:“謝爾賓斯基三角形是一種分形,它是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的.取一個實心的三角形,挖掉由每條邊中點組成的三角形,進(jìn)而繼續(xù)在新生成的三個小三角形中繼續(xù)挖,如此循環(huán).你能發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)列嗎?如果有,你還會繼續(xù)提出哪些需要深入研究的問題?”

    (設(shè)計意圖:在建立了數(shù)列的概念之后,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來發(fā)現(xiàn)問題,用數(shù)學(xué)的思維來提出問題,為用數(shù)學(xué)的方法解決問題做好鋪墊.)

    對于第二點,要讓學(xué)生有自覺的認(rèn)識,就要讓學(xué)生深入具體概念和原理的生成情境中,充分體驗分析、歸納、概括、數(shù)學(xué)表達(dá)、辨析等過程,在過程中建立對概念和原理的清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識.本節(jié)課概念生成的過程,也就是讓學(xué)生經(jīng)歷“背景分析和共性歸納——下定義——數(shù)學(xué)表達(dá)——概念辨析”的全過程,在課堂小結(jié)中讓學(xué)生梳理了此過程,并類比函數(shù)的研究路徑,對數(shù)列即將要研究的內(nèi)容和方法進(jìn)行了展望,并遷移到研究新的數(shù)學(xué)對象的一般方法.

    反思:章引言的另一個比較大的教學(xué)功能體現(xiàn)在“幫助學(xué)生了解本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容、地位和作用”,筆者沒有深入思考,聽了張老師的課,覺得張老師的開篇設(shè)計正好彌補(bǔ)了這個缺憾.具體如下:

    從人教A版選擇性必修第二冊的封面“海螺圖象”提出問題:對這一事物或現(xiàn)象,你能提出哪些問題?引入主題:數(shù)列.

    根據(jù)以往的經(jīng)驗,如何從整體上認(rèn)識“數(shù)列”這一新內(nèi)容的學(xué)習(xí)?引導(dǎo)學(xué)生思考可能研究的內(nèi)容是數(shù)列的產(chǎn)生,數(shù)列的本質(zhì),數(shù)列的價值,數(shù)列的內(nèi)容,數(shù)列的思想方法和研究路徑……

    以兩個生活實例引入,一棵樹每年同一時刻記錄的高度,一個學(xué)生的六次測驗成績,體會數(shù)列來源于現(xiàn)實的生產(chǎn)、生活需要.并讓學(xué)生自己舉出幾個類似的按順序排成一列的數(shù),研究其變化規(guī)律.

    由于是借班上課,學(xué)生的應(yīng)答不是很順暢,但如果每個章節(jié)起始課都是這樣上,長此以往,相信學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、歸納遷移能力都會有很大的提高.

    聚焦新課標(biāo),研讀新教材,踐行新理念,應(yīng)落實到平時的每一節(jié)課堂,讓我們的研究落地生根、開花結(jié)果.參考文獻(xiàn):

    [1] 史寧中,王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀[M].北京:高等教育出版社,2018.

    [2] 渠東劍.函數(shù)主題下的數(shù)列單元教學(xué)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2022(19):1418.

    [3] 孫朝仁.“章引言”數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思考[J].上海教育科研,2015(9):7375.

    [4] 章建躍.高中數(shù)學(xué)教材落實核心素養(yǎng)的幾點思考[J].課程·教材·教學(xué),2016,36(7):4449.

    [5] 彭上觀.高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)實驗教材使用情況的調(diào)查分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2005(4):4547.

    [6] 郭玉峰,趙坤.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高中教材習(xí)題中的表現(xiàn)研究:以“函數(shù)”為例[J].教育科學(xué)研究,2019(3):6874.

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