巧類比　促生成

張志剛

摘要：“類比”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的應(yīng)用價值，是提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要途徑.本文以“等比數(shù)列及通項(xiàng)公式”為例，呈現(xiàn)了類比教學(xué)在激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力等方面的優(yōu)勢，以期通過有效的類比發(fā)展學(xué)生終身學(xué)習(xí)能力，將學(xué)生培養(yǎng)成為有思想、樂探索、敢創(chuàng)新的新時代的人才.

關(guān)鍵詞：類比教學(xué)；學(xué)習(xí)能力；創(chuàng)造性思維類比旨在將兩個數(shù)學(xué)對象進(jìn)行比較，從而找到它們相同或相似的屬性，進(jìn)而將探索已知數(shù)學(xué)對象的思想、方法、性質(zhì)等遷移至未知對象中，以此化陌生為熟悉，提升學(xué)生學(xué)習(xí)信心，發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力［1］.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比推理一般分三步：一是尋找相似特征；二是用已知對象的特征推理未知對象的特征，形成猜想；三是驗(yàn)證猜想.在類比教學(xué)中，教師首先要創(chuàng)設(shè)一定的教學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較，尋找兩個對象相似或相關(guān)的屬性，進(jìn)而通過聯(lián)想、類推、猜想、驗(yàn)證等過程發(fā)現(xiàn)新知識，掌握新結(jié)論.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，將類比思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中去，為學(xué)生創(chuàng)造條件和機(jī)會讓學(xué)生主動、能動地學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)［2］.同時，通過類比引導(dǎo)學(xué)生將新、舊知識建立聯(lián)系，逐漸完善與建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)遷移能力.

筆者在教學(xué)“等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式”時，以學(xué)生已有知識、經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生與等差數(shù)列相關(guān)內(nèi)容相類比，取得了較好的效果，現(xiàn)將教學(xué)過程呈現(xiàn)給大家，僅供參考.

1教學(xué)簡錄1.1教學(xué)目標(biāo)（1） 理解等比數(shù)列的定義及相關(guān)概念，掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的方法；

（2） 能夠靈活應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決問題；

（3） 通過類比，進(jìn)一步感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.2教學(xué)重難點(diǎn)（1） 等比數(shù)列及相關(guān)概念；

（2） 等比數(shù)列通項(xiàng)公式及其公式的推導(dǎo).

1.3教學(xué)過程環(huán)節(jié)1引入主題

問題1：已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2；數(shù)列{b_n}，其中b₁=2.對于任意i、j、m、p∈N*，i+j=m+p，均有a_ib_j=a_mb_p，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式.

師：請大家思考一下，在探索等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系時，我們是怎么處理的呢？

生1：先確定公差，然后再確定通項(xiàng)公式.

師：很好，對于數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}，任意相鄰兩項(xiàng)間存在怎樣的關(guān)系呢？

在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}任意相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系為a_n+1=2a_n，b_n+1=2b_n.

師：顯然a_n+1=2a_n，b_n+1=2b_n不同于等差數(shù)列的遞推方式，這個就是我們今天要學(xué)習(xí)的主題—等比數(shù)列.

師：它與我們之前學(xué)習(xí)的等差數(shù)列有哪些聯(lián)系呢？我們應(yīng)該如何描述它？如何求它的通項(xiàng)公式呢？

設(shè)計(jì)意圖：教師精心創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧探索求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的思路，發(fā)現(xiàn)問題1所描述的任意兩項(xiàng)間的關(guān)系不同于等差數(shù)列的遞推形式，由此點(diǎn)明主題.同時，教師引導(dǎo)學(xué)生思考其與等差數(shù)列的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生與已有知識相類比，為新知探索指明了方向.

環(huán)節(jié)2新知學(xué)習(xí)

（1） 探究定義

問題2：對于數(shù)列{a_n}，其滿足a_n+1=2a_n，即a_n+1/a_n=2，我們?nèi)绾蚊枋鏊谋举|(zhì)屬性呢？

師：請大家思考我們是如何給等差數(shù)列下定義的，并嘗試給等比數(shù)列下定義？

生2：對于數(shù)列{a_n}，若從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都為一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就是等比數(shù)列.

師：很好，對于這一常數(shù)，是否有什么限定條件呢？

生3：這個常數(shù)應(yīng)該為非零的常數(shù).

師：補(bǔ)充得很好，對于等比數(shù)列其任意一項(xiàng)都不能為零，即公比不能為零.

在此基礎(chǔ)上，教師給出了等比數(shù)列的完整定義.

師：我們知道常數(shù)列是等差數(shù)列，那么它是否也是等比數(shù)列呢？

生4：不一定，若常數(shù)列中常數(shù)為0，那么它就不是等比數(shù)列.若常數(shù)不為0，那么它是一個公比為1的等比數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比思想給等比數(shù)列下定義.為了強(qiáng)調(diào)“公比q為非零常數(shù)”這一條件，教師除了在下定義時加以說明外，還引導(dǎo)學(xué)生辨析“常數(shù)列是否為等比數(shù)列”，由此啟發(fā)學(xué)生利用反例加以說明，這樣不僅促進(jìn)了概念的深化，而且為后期利用分類討論思想研究等比數(shù)列的求和公式做鋪墊.

（2） 探究通項(xiàng)公式

師：根據(jù)等比數(shù)列公式可知，問題1中的數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}均為等比數(shù)列，我們應(yīng)該如何研究其通項(xiàng)公式呢？

生5：在為等比數(shù)列下定義時，我們是結(jié)合的等差數(shù)列，那么在研究等比數(shù)列通項(xiàng)公式時，不妨與等差數(shù)列相類比，從兩者的聯(lián)系出發(fā)，尋找解決問題的方法.

師：非常不錯的想法.請大家先回顧一下，之前我們是如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的呢？對于等比數(shù)列我們又該如何研究呢？

在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生利用累乘的方法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1.

師：請大家用表格寫出等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式.（教師展示學(xué)生歸納結(jié)果，如表1）表1

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比思想推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，讓學(xué)生體驗(yàn)自主探究的樂趣.探究后，教師引導(dǎo)學(xué)生利用表格的方式加以表述，以此借助表格的直觀促進(jìn)舊知的鞏固和新知的深化，幫助學(xué)生建構(gòu)完善的認(rèn)知.

（3） 探究等比中項(xiàng)

問題4：對于等比數(shù)列的等比中項(xiàng)，你認(rèn)為該如何定義呢？

有了前面的探索經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生主動聯(lián)想等差中項(xiàng)的概念，進(jìn)而通過類比總結(jié)歸納等比中項(xiàng)的定義，即若a，G，b成等比，那么有G²=ab，G就叫做a與b的等比中項(xiàng).

師：對于如下兩個問題，你能求解嗎？（教師PPT給出問題）

例1求9和25的等差中項(xiàng)A和等比中項(xiàng)G.

例2數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其中a₁=9，a₅=25，求a3的值.

對于問題1，學(xué)生根據(jù)公式輕松地給出了答案，在解決問題2時，教師啟發(fā)學(xué)生思考a₃取正負(fù)值的問題.從學(xué)生練習(xí)反饋來看，大多學(xué)生得到了正確答案，最終解得a₃=15.不過也有少數(shù)學(xué)生在解題時犯了難，因此教師決定放慢腳步，讓學(xué)生思考“這里的a₃為什么不能為負(fù)？”

生6：對于等差數(shù)列有a_m-a_n=（m-n）d，故猜想a_m/a_n=q^m-n.（證明過程略）

師：很好，根據(jù)這一結(jié)論是否可以說明a3取正數(shù)呢？

生7：可以，根據(jù)已知a₅/a₃=a₃/a₁=q²＞0，所以a3取正數(shù).

師：由此你發(fā)現(xiàn)了什么呢？

在教師的啟發(fā)下，學(xué)生積極思考、總結(jié)歸納如下結(jié)論：等比數(shù)列{a_n}中的奇數(shù)項(xiàng){a_2n-1}和偶數(shù)項(xiàng){a_2n}各項(xiàng)符號相同.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生與等差數(shù)列相比較，得到等比中項(xiàng)的定義.在例1基礎(chǔ)上，教師設(shè)計(jì)了例2，其目的是引導(dǎo)學(xué)生通過對比體會等比中項(xiàng)的正負(fù)取值問題.學(xué)生與等差數(shù)列的性質(zhì)相類比，發(fā)現(xiàn)a_m/a_n=q^m-n，通過驗(yàn)證、小結(jié)，最終形成結(jié)論，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高了邏輯推理能力，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4練習(xí)鞏固

在本環(huán)節(jié)，教師可以先讓學(xué)生完善問題1，然后再給出一些與本課內(nèi)容相關(guān)的內(nèi)容，以便借助練習(xí)幫助學(xué)生鞏固知識、深化知識，促進(jìn)知識的內(nèi)化.

對于問題1，結(jié)合已知易得b_n+1/b_n=a₂/a₁=2，數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故其通項(xiàng)公式為b_n=2ⁿ.數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1.

設(shè)計(jì)意圖：教師帶領(lǐng)學(xué)生回歸問題1，通過問題1的解決提升學(xué)生學(xué)習(xí)信心，并培養(yǎng)學(xué)生將問題進(jìn)行到底的優(yōu)良品質(zhì).另外，教師結(jié)合本班學(xué)情精心設(shè)計(jì)一些與之相關(guān)的問題，促進(jìn)知識的深化，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

環(huán)節(jié)5課堂小結(jié)

設(shè)計(jì)意圖：本課以類比為主旋律，通過類比、猜想、歸納等過程形成了結(jié)論.在該環(huán)節(jié)教師可以引導(dǎo)學(xué)生以表格的方式呈現(xiàn)等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，以此通過對比凸顯對象的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生在理解和記憶的基礎(chǔ)上，可以靈活應(yīng)用相關(guān)知識解決問題，提高教學(xué)有效性.

2教學(xué)思考數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識之間具有一定的關(guān)聯(lián)性.對于一些相似或相關(guān)的問題，教師可以利用類比法進(jìn)行教學(xué)，將已有知識、經(jīng)驗(yàn)、方法視為新知學(xué)習(xí)的動力源，通過知識的遷移不僅達(dá)到“溫故而知新”的效果，而且可以培養(yǎng)學(xué)生思維的自覺性、嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在觀察、探索、猜想、驗(yàn)證、歸納的過程中得到穩(wěn)固的發(fā)展，有效提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力［3］.

等差數(shù)列和等比數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，兩者有著明顯的聯(lián)系，為此在教學(xué)中，教師要利用好這種“聯(lián)系”，通過創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度的探究，以此讓學(xué)生通過正確的類比，理解并掌握新知識、新結(jié)論、新方法，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

總之，在教學(xué)中，教師要認(rèn)真地研讀教材，研究學(xué)生，根據(jù)教學(xué)實(shí)際找到新知的生長點(diǎn)，通過有效的啟發(fā)和引導(dǎo)誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度的思考，以此發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高教學(xué)的有效性.參考文獻(xiàn)：

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