數(shù)學文化視角下任意角三角函數(shù)的教學研究

彭硯

摘要：對于三角函數(shù)概念的引入，舊教材和新教材的處理方式不同.本文分析了兩種版本教材引入的優(yōu)點和缺點，然后從數(shù)學文化的角度出發(fā)，根據(jù)三角學的發(fā)展過程對任意角的三角函數(shù)概念進行深入淺出的教學設計.

關鍵詞：數(shù)學文化；三角函數(shù)；教學設計1三角學的興起和發(fā)展 三角學起源于希臘.當時的數(shù)學家希帕霍斯為了描述天體的位置，把固定圓中圓心角所對的弦直接稱為角的正弦，并制作了弦表.后來這個定義使用不方便，印度學者把圓心角所對的弦長的一半稱為半角的正弦.［1］這個階段被稱為三角函數(shù)定義的幾何階段.

公元5世紀，印度數(shù)學家研究并發(fā)展了三角學，三角函數(shù)首次出現(xiàn)了比值形式.后來，德國數(shù)學家雷格蒙榙努斯發(fā)表了《論各種三角形》，標志著三角學從天文學中脫離出來，成為一個獨立的研究領域.再后來，哥白尼的學生雷提庫斯明確了銳角三角函數(shù)定義的比值形式.這個階段被稱為三角函數(shù)定義的代數(shù)階段.

18世紀之后，瑞士數(shù)學家歐拉的“無窮小引論”中，首次引入了單位圓，用了三角函數(shù)線與半徑的比值來定義三角函數(shù)，這是三角發(fā)展史上的一大進步，使得三角函數(shù)不再局限在解決三角形的問題中，反映了三角函數(shù)的變化規(guī)律.三角函數(shù)線實際上就是坐標，這是“單位圓定義法”的起源.這個階段被稱為三角函數(shù)定義的解析階段.

2對新舊教材的處理方法的評析舊教材中首先回顧了初中學的銳角三角函數(shù)，在直角三角形中，用邊長的比值定義.然后用“終邊定義法”，仿照銳角三角函數(shù)的定義方法來定義任意角的三角函數(shù).其優(yōu)點是引出比較自然，缺點是學生會受原有知識經驗的限制形成思維定勢，很難避免邊的比值的定義，以至于理解不了任意角的三角函數(shù)的概念.

新教材未提及初中的定義，直接用單位圓定義法引出三角函數(shù)的定義.優(yōu)點是避開了邊的比值的定義，以一個全新的定義出現(xiàn)，大大降低了錯誤率.缺點是比較突然，學生很容易理解坐標是角的函數(shù)，但為什么會是三角函數(shù)，學生心里是有疑惑的，畢竟他們初中已經學過正弦，余弦的符號.對于同一符號表示不同的內容，如果解釋沒有做到位，學生的心里是無法接受的，這會導致他們在解三角形時不敢用銳角三角函數(shù)的概念，無法處理邊和角的關系.

事實上，初中的銳角三角函數(shù)的概念和高中的任意角的三角函數(shù)本質上是不同的，銳角三角函數(shù)是在直角三角形里定義的，目的是解決直角三角形里邊和角的關系.而任意角的三角函數(shù)是刻畫周而復始現(xiàn)象的一個重要的數(shù)學模型，與直角三角形的聯(lián)系不大，不能簡單地看成是銳角三角函數(shù)的延伸和推廣.

3教學設計

本文從數(shù)學文化的角度出發(fā)，根據(jù)三角學的發(fā)展過程對任意角的三角函數(shù)的概念進行了深入淺出的教學設計.

教師：大家先看一個問題：小明去游樂場玩，在摩天輪上轉了三圈.怎么描述每一時刻小明的位置.

設計意圖：從生活中的例子出發(fā)，讓學生帶著問題去學習.

學生：坐標.

教師：怎么建立平面直角坐標系？

學生：以摩天輪的中心為坐標原點，以平行于水平線的直線為x軸建立平面直角坐標系.

教師：要計算每一點的坐標還是有點麻煩，還有其它的確定位置的量嗎？

學生：（搖頭）.

教師（板書）： 如圖，假設摩天輪的半徑為r，不失一般性，為了簡化計算，不妨設r=1，假設小明的位置在點P，在摩天輪運動的過程中，大家從圖里看到什么在變化？

學生：角度.

教師：具體來說，假設以x軸正半軸為始邊，OP為終邊的角為α，當α確定了，小明的位置也唯一確定了.現(xiàn)在大家動手計算一下：當α=π/6時，點P的坐標是什么？當α=π/2或α=2π/3時，點P的坐標又是什么？

課后反思：從知識發(fā)展的歷史過程來進行教學，對學生理解知識的內涵是有一定幫助的.先從圓周運動引入，與歷史的發(fā)展有一致性.概念教學必須要重視概念的生成，“輕定義重做題”只會培養(yǎng)學生的模仿能力，極大地影響了學生的理解能力.這樣做可能短時期學生的成績會提高，但時間一久學生就會忘記，不利于數(shù)學素養(yǎng)的提升［2］［3］.

數(shù)學文化在數(shù)學教育中的影響是很大的，教學中應適當?shù)貜臄?shù)學文化的角度組織教學，但要有選擇性的，而且要重新整合成適合學生認知水平的教學材料，切忌“拿來主義”.我們在教學過程中，應思考如何借助數(shù)學文化這個工具，使學生了解知識的來龍去脈，讓學生感受到數(shù)學的魅力，激發(fā)學生的學習興趣.參考文獻：

［1］ 張芮歌.數(shù)學史融入三角函數(shù)的教學設計研究［D］.哈爾濱師范大學，2019.

［2］ 章建躍.為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)［J］.數(shù)學通報，2007（1）：1518.

［4］ 陳曦，張海玲，王尚志.HPM視角下“任意角三角函數(shù)的概念”教學研究［J］.首都師范大學學報（自然科學版），2014（6）：2327.

［5］ 侯新蘭.HPM視角下數(shù)學文化在高中數(shù)學概念教學中的思考—以新人教A版的任意三角函數(shù)的概念教學為例［J］.數(shù)學大世界（下旬），2021（9）：56.