具有隨機(jī)波動(dòng)率方差的信用等級(jí)遷移模型

梁 進(jìn)， 陶曉宇

（同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200092）

公司債券可能由于因其在到期日資不抵債而無(wú)法按面值支付暴露的信用風(fēng)險(xiǎn)越來(lái)越為投資者所重視，因此信用評(píng)級(jí)作為能直接反映信用風(fēng)險(xiǎn)的工具也被應(yīng)用在債券定價(jià)當(dāng)中?，F(xiàn)在學(xué)術(shù)和市場(chǎng)上的公司債券信用風(fēng)險(xiǎn)分析方法主要分為結(jié)構(gòu)化方法（structural approach）和約化方法（reduced form approach）兩類(lèi)。約化法始于Jarrow和Turnbull的研究，這是一種外生的方法［1］，它不直接考慮違約與公司價(jià)值之間的關(guān)系，而是通過(guò)給定違約概率或者強(qiáng)度來(lái)確定違約過(guò)程。而結(jié)構(gòu)化方法最早開(kāi)始于Merton，這是一種內(nèi)生的方法［2］，所以也被稱(chēng)為基于公司價(jià)值（asset-base）模型。

通常認(rèn)為一個(gè)公司的信用等級(jí)往往與它本身的資產(chǎn)負(fù)債結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，因此在某些情況下使用內(nèi)生的結(jié)構(gòu)化方法來(lái)刻畫(huà)公司的信用等級(jí)遷移會(huì)比約化法更加直觀。在結(jié)構(gòu)化方法的框架下，許多學(xué)者對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)分析方法進(jìn)行了推廣。梁進(jìn)等［3］首次利用結(jié)構(gòu)化的方法對(duì)含信用等級(jí)遷移的公司債券進(jìn)行了研究，他們假設(shè)公司資產(chǎn)滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)，有關(guān)參數(shù)都為常數(shù)，利用無(wú)套利原理和Feynman Kac 公式得到了偏微分方程及其定解條件，并證明了這個(gè)問(wèn)題解的存在唯一性。Hu等［4］研究了具有信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的債券定價(jià)的自由邊界問(wèn)題，模型中認(rèn)為信用等級(jí)邊界和公司的資產(chǎn)負(fù)債比有關(guān)，通過(guò)結(jié)構(gòu)化方法對(duì)債券定價(jià)并且得到了自由邊界問(wèn)題的一些性質(zhì)。Liang 等［5］首次將漸近行波解與信用評(píng)級(jí)遷移問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，采用自由邊界建立了債券定價(jià)模型，并證明了解的存在唯一性、唯一性和正則性。Liang 等［6］在結(jié)構(gòu)法框架下，建立了含信用等級(jí)遷移的公司債券的效用無(wú)差異定價(jià)模型；Wu等［7］基于宏觀機(jī)制轉(zhuǎn)換，建立了一個(gè)具有信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的公司債券估值模型。Wu等［8］采用自由邊界模型，在結(jié)構(gòu)化框架下考慮了具有信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的可違約公司債券的估值。梁進(jìn)等［9］基于Vasicek 利率模型，對(duì)擔(dān)保信用等級(jí)變換的利率互換合約進(jìn)行了定價(jià)，并推導(dǎo)出了相應(yīng)合約價(jià)值的解析解。

上述研究中，信用風(fēng)險(xiǎn)分析方法往往將波動(dòng)率設(shè)為常數(shù)，但這顯然是理想化的，實(shí)際市場(chǎng)上波動(dòng)率呈現(xiàn)“微笑”效應(yīng)，將波動(dòng)率簡(jiǎn)單地設(shè)為常數(shù)往往會(huì)低估風(fēng)險(xiǎn)，比如經(jīng)典的Black-Scholes（BS）［10］模型。Scott、Hull 和Wiggins 等對(duì)BS 模型進(jìn)行了推廣，以允許隨機(jī)波動(dòng)率。Heston［11］在1993 年基于BS 模型和CIR（cox-ingersoll-ross）模型提出了一種隨機(jī)波動(dòng)率模型，模型假設(shè)公司資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，資產(chǎn)波動(dòng)率滿足CIR［12］模型，實(shí)證表明，其隱含波動(dòng)率與實(shí)際更接近，從而得到較廣泛的接受。

梁進(jìn)等［13］基于Heston 模型，針對(duì)波動(dòng)率在高、低等級(jí)下定義了不同的長(zhǎng)期均值，通過(guò)建立隨機(jī)波動(dòng)率模型來(lái)評(píng)估信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)，然后利用一張?zhí)厥獾牧阆⑵眮?lái)對(duì)沖由波動(dòng)率的隨機(jī)性造成的風(fēng)險(xiǎn)，最后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間、公司資產(chǎn)和波動(dòng)率的二階拋物型方程，并推導(dǎo)出在信用等級(jí)遷移處的債券價(jià)值關(guān)于公司資產(chǎn)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的邊值條件，最后采取ADI（alternating direction implicit method）交替方向隱式法求取出數(shù)值解。

本文在文獻(xiàn)［13］的基礎(chǔ)上，同樣通過(guò)債券定價(jià)方式，使用Heston 模型，即資產(chǎn)滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)，資產(chǎn)波動(dòng)率方差滿足CIR過(guò)程。基于預(yù)先設(shè)定的公司資產(chǎn)閾值將公司分為高、低兩個(gè)等級(jí)，與文獻(xiàn)［13］不同的是，本文模型考慮到在不同的信用等級(jí)下，資產(chǎn)的波動(dòng)率方差也會(huì)有不同的波動(dòng)性，因此在本文模型中，波動(dòng)率方差的波動(dòng)率σ在不同的信用等級(jí)下設(shè)定為不同的常數(shù)，即低等級(jí)下σ=σ1，高等級(jí)下σ=σ2，且由于低等級(jí)下波動(dòng)更劇烈，因此σ1＞σ2，以此反映資產(chǎn)波動(dòng)率方差在不同信用等級(jí)下的波動(dòng)情況。于是在不同的信用等級(jí)下，公司資產(chǎn)和波動(dòng)率滿足不同的隨機(jī)過(guò)程，以此建立了具有隨機(jī)波動(dòng)率方差的信用等級(jí)遷移模型。

1 建立具有隨機(jī)波動(dòng)率的信用等級(jí)遷移模型

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)（1） 市場(chǎng)是完備的，不存在套利機(jī)會(huì)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r。

假設(shè)（2） 作為研究工具的公司債券為一張面值為F，到期日為T(mén)的零息債券，且違約只發(fā)生在到期日T，即到期日的公司資產(chǎn)ST小于F判定為違約，若公司未違約，償付面值F，反之償付ST。

假設(shè)（3） 記信用等級(jí)邊界為K，若在t(t≤T)時(shí)刻，公司資產(chǎn)St＜K，則認(rèn)為公司處于低等級(jí)，反之處于高等級(jí)，公司的信用等級(jí)隨著St的變化而變化，且假設(shè)高、低等級(jí)下的債券價(jià)值在信用等級(jí)邊界K處連續(xù)。為了滿足高等級(jí)下債券一定不違約的假設(shè)，設(shè)定K≥F。

假設(shè)（4） 公司資產(chǎn)St和波動(dòng)率方差vt滿足Heston模型，即

式中：、為兩個(gè)不同的由完備帶流概率空間生成的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且他們的相關(guān)系數(shù)為ρ；IA是事件A的示性函數(shù)；k為均值回歸系數(shù)；θ為長(zhǎng)期均值。

記U=U(St，vt，t)、V=V(St，vt，t)，分別代表低、高等級(jí)下的債券價(jià)值。低等級(jí)下資產(chǎn)波動(dòng)率方差的波動(dòng)率為σ1，高等級(jí)下資產(chǎn)波動(dòng)率方差的波動(dòng)率為σ2，由于低等級(jí)下的波動(dòng)往往要比高等級(jí)下的波動(dòng)劇烈，設(shè)定σ2＜σ1。波動(dòng)率是非負(fù)的，根據(jù)Feller條件，參數(shù)需滿足2kθ≥σ2i［12］(i=1，2)。

假設(shè)（5） 在到期日，由于低等級(jí)債券可能違約，高等級(jí)債券一定不會(huì)違約，因此，低等級(jí)下的債券價(jià)值U(ST，vT，T)=min{ST，F(xiàn)}，高等級(jí)下的債券價(jià)值V(ST，vT，T)=F。

假設(shè)（6） 以上假設(shè)中的F、K、σi、ρ、r、T、k、θ均為正常數(shù)。

1.2 偏微分方程以及邊值條件

債券價(jià)值U和V是關(guān)于隨機(jī)變量St和vt的函數(shù)，因此U和V都實(shí)際蘊(yùn)含兩個(gè)不同的隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)。由假設(shè)（1）根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利，本文運(yùn)用兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)來(lái)對(duì)債券的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行對(duì)沖，其中一種為公司本身的權(quán)益資產(chǎn)St，下面借鑒文獻(xiàn)［13］引入另外一種特殊的資產(chǎn)P并構(gòu)建無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，推導(dǎo)得到U和V滿足的偏微分方程以及他們滿足的邊值條件。

1.2.1 引入對(duì)沖工具

本文選取一張?zhí)厥獾睦逝c資產(chǎn)波動(dòng)率方差vt變化相一致的零息票作為對(duì)沖工具［13］。記零息票為不同信用等級(jí)下的零息票價(jià)值，P1代表低等級(jí)，低等級(jí)下t時(shí)刻的利率為，利率的波動(dòng)率為σ1；P2代表高等級(jí)，高等級(jí)下t時(shí)刻的利率為，利率的波動(dòng)率為σ2，T'為到期日，面值為1。為了保證在每個(gè)時(shí)刻都能夠充分對(duì)沖掉公司債券的風(fēng)險(xiǎn)，本文假設(shè)T'＞T。由于零息票的利率與資產(chǎn)波動(dòng)率方差變化相一致，于是

這里的k、θ、、σi同假設(shè)（4），于是Pi=Pi(vt，t；σi，T')，再由于Pi是一張零息票，因此它在t時(shí)刻的價(jià)值等于到期日面值按利率的折現(xiàn)，即

由方程（2）和（3）以及Feynman-Kac 公式［14］，可以推導(dǎo)出在鞅測(cè)度下，Pi滿足的Cauchy 問(wèn)題，并得到Pi的解析式為

式中：Ai(t；σi)，Bi(t；σi)滿足

1.2.2 偏微分方程的推導(dǎo)

利用1.2.1中引入的特殊的對(duì)沖工具Pi以及公司本身的權(quán)益資產(chǎn)St來(lái)對(duì)沖掉債券的風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)做多一份公司債券的同時(shí)做空份的St以及份的Pi來(lái)構(gòu)造高、低等級(jí)下的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合。根據(jù)Pi的解析式、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利原理和多元Ito公式可以得到份額的表達(dá)式以及U和V滿足的偏微分方程，份額表達(dá)式如下：

結(jié)合假設(shè)（3）和假設(shè)（5）以及偏微分方程，U(S，v，t)和V(S，v，t)是以下邊界耦合線性偏微分方程組的解：

事實(shí)上，在利用Δ-對(duì)沖推導(dǎo)偏微分方程的時(shí)候，對(duì)遷移邊界可以做相似的處理，可以推導(dǎo)出在遷移邊界處的邊值條件，這個(gè)條件方程是一個(gè)關(guān)于高、低等級(jí)債券價(jià)值對(duì)波動(dòng)率的一階偏導(dǎo)和時(shí)間的函數(shù)，結(jié)合這個(gè)特殊的方程和公式（6）才構(gòu)成了本文完整的具有隨機(jī)波動(dòng)率方差的信用等級(jí)遷移模型。

1.2.3 信用等級(jí)遷移邊界上條件的推導(dǎo)

本文與文獻(xiàn)［13］同樣是基于Heston 模型，但后者的信用等級(jí)遷移體現(xiàn)在長(zhǎng)期均值上，本文的信用等級(jí)遷移則是體現(xiàn)在波動(dòng)率方差的波動(dòng)率上，因此過(guò)信用等級(jí)遷移邊界的條件不同。根據(jù)市場(chǎng)無(wú)套利，高、低等級(jí)下的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合價(jià)值在S=K處連續(xù)，即

由于高、低等級(jí)債券價(jià)值在遷移邊界處連續(xù)U|S=K=V|S=K，根據(jù)前面推導(dǎo)出的的表達(dá)式，代入式（7）可以得到

由Pi的表達(dá)式（4），可以得到Pi關(guān)于v的導(dǎo)數(shù)為

結(jié)合Bi(t；σi)的表達(dá)式，得到

將式（10）代入式（8），得到遷移邊界處的邊值條件為

結(jié)合式（11）和方程組（6），就構(gòu)成了完整的二階拋物型偏微分方程的定解問(wèn)題，于是得到了具有隨機(jī)波動(dòng)率方差的信用等級(jí)遷移模型，即

其中

2 數(shù)值結(jié)果及參數(shù)分析

2.1 蛻化邊界的處理

Fichera條件［15］是對(duì)具有非負(fù)特征的方程在邊界上是否應(yīng)該配置邊界條件給定的判定法則?？梢钥闯?，v=0 為定解問(wèn)題（12）的蛻化邊界，根據(jù)Fichera函數(shù)的定義，在邊界v=0上，方程的Fichera函數(shù)為

由 前 面 的λi(v，t) 表 達(dá) 式 ，λi(0，t)=可以證明λi(0，t)是關(guān)于t的單調(diào)遞減的函數(shù)，于是B(t，S，0)在t=T處取最小值。當(dāng)

B(t，S，0)是恒非負(fù)的，于是在條件（14）下，不需要在v=0上額外添加邊界條件。

2.2 隱差分格式的推導(dǎo)

對(duì)于一般的拋物型偏微分方程數(shù)值解法如顯示格式和隱式格式，前者計(jì)算較為簡(jiǎn)單，卻無(wú)法保證解是穩(wěn)定的，而后者可以保證微分方程的解絕對(duì)穩(wěn)定，且不依賴于步長(zhǎng)的選取，還有諸如交替方向隱格式（ADI法）、Crank-Nicolson格式［16］等推廣方法也是無(wú)條件穩(wěn)定的。本文采取隱差分格式來(lái)對(duì)問(wèn)題求取數(shù)值解。

2.2.1 偏微分方程的差分化

原問(wèn)題（12）的變量取值區(qū)間為Ω={0 ＜S＜∞，0 ＜v＜∞，0 ＜t＜T}，為了方便求解，取截?cái)噙吔鏢∞=v∞=4K，對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行剖分，并記

定義如下差分算子：

對(duì)式（12）的PDE（partial differential equation）方程進(jìn)行隱格式差分，得到如下差分方程：

2.2.2 邊值條件和終值條件的差分化

（1）v=0、v∞=4K

接下來(lái)對(duì)邊界進(jìn)行差分化處理。由于v=0 是蛻化邊界，且在條件（14）下，不需要在v=0 上額外添加邊界條件，于是本文對(duì)原始PDE 方程取v=0，可以得到如下的蛻化后的一階偏微分方程：

同樣地，根據(jù)上面定義的差分算子式（15）對(duì)式（17）進(jìn)行差分得到v=0上債券價(jià)值的差分表達(dá)式為

在截?cái)噙吔鐅∞=4K處，可以認(rèn)為波動(dòng)率趨于無(wú)窮時(shí)，波動(dòng)率的微小變化對(duì)債券價(jià)值的影響不大，因此取

（2）t=T

在終值時(shí)刻t=T，根據(jù)條件可以得到

（3）S=0、S∞=4K以及遷移邊界S=K

在S趨于0 時(shí)，可以認(rèn)為公司處于破產(chǎn)清算階段，于是取=0，在S∞=4K時(shí)，公司不會(huì)有違約風(fēng)險(xiǎn)，因此

在信用等級(jí)遷移邊界S=K處，即i=M時(shí)，根據(jù)式（11）可以得到

此處的Bi(t)的定義見(jiàn)式（4），對(duì)上式進(jìn)行移項(xiàng)處理得到

根據(jù)前面差分后的偏微分方程、終值和邊值條件以及各參數(shù)間滿足的關(guān)系，對(duì)參數(shù)取值。首先設(shè)定公司債券的到期日T=1 年，T'＞T，因此假設(shè)對(duì)沖工具零息票的到期日T'=1.07；公司債券面值F=1 元，K＞F，于是假設(shè)信用等級(jí)遷移邊界K=1.2；固定波動(dòng)率方差的波動(dòng)率σ1=0.6，σ2=0.000 7［17］，根據(jù)交易所的數(shù)據(jù)顯示，歷史年化隱含波動(dòng)率在股災(zāi)期間可超過(guò)100%，在這里設(shè)定波動(dòng)率方差的長(zhǎng)期均值θ=0.5，根據(jù)2kθ≥σ2，于是假設(shè)均值回歸系數(shù)k=0.9；根據(jù)市場(chǎng)情況，在大多數(shù)時(shí)候，1年期國(guó)庫(kù)券的實(shí)際利率在3%上下浮動(dòng)，因此假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.03；兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)系數(shù)ρ=0.2；經(jīng)過(guò)驗(yàn)算，以上參數(shù)取值滿足Fichera條件。得到的數(shù)值結(jié)果如圖1～6所示。

圖2 債券價(jià)值隨時(shí)間t的變化Fig. 2 Change in the value of bond with time t

圖3 債券價(jià)值隨資產(chǎn)S的變化Fig. 3 Change in the value of bond with S

從圖1可以看出，債券價(jià)值關(guān)于資產(chǎn)S是單調(diào)遞增的，并且在低等級(jí)下債券價(jià)值隨著S的增大而快速增大，在高等級(jí)下，隨著S的增大而增長(zhǎng)緩慢。

從圖1～6 可以看出，債券價(jià)值是隨著時(shí)間的增大而增大的，并且含信用等級(jí)遷移的債券的價(jià)值是介于一直處于同一等級(jí)的高、低等級(jí)債券價(jià)值之間。從圖4 可以看出，在信用等級(jí)遷移邊界S=K處，債券價(jià)值關(guān)于S的一階導(dǎo)數(shù)有一個(gè)下凹的尖角，符合模型在邊界處帶跳的情況，但是由于參數(shù)的取值需滿足式（19），因此在S=K處的跳數(shù)值較小，下凹現(xiàn)象不是特別明顯。

圖4 含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 4 Change of credit rating migration bond with S

圖5 債券價(jià)值隨波動(dòng)率v的變化Fig. 5 Change in the value of bond with v

圖6 是初始時(shí)刻不同波動(dòng)率方差v下債券價(jià)值隨資產(chǎn)S的變化曲線，可以看出，在同樣的資產(chǎn)S下，債券價(jià)值隨著波動(dòng)率的增大而減小。

圖6 不同波動(dòng)率下含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 6 Change of bond with credit rating migration as asset S changes at different volatilities

2.3 參數(shù)分析

通過(guò)對(duì)各參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，分析不同參數(shù)取值對(duì)于債券價(jià)值的影響。

圖7 是在t=0，v=0.36 時(shí)的不同均值回歸速度k下債券價(jià)值隨資產(chǎn)S的變化曲線，可以看出，波動(dòng)率方差的均值回歸速度越大，債券價(jià)值越小。實(shí)際上，在現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)于利率來(lái)說(shuō)，回歸速度越快，波動(dòng)越小，即債券凸度帶來(lái)的收益越小，于是債券價(jià)值越低。

圖7 不同均值回歸速度下含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 7 Change of migration bonds with credit rating as asset S changes at different mean regression speeds

圖8 是t=0，v=0.36 時(shí)公司資產(chǎn)和波動(dòng)率方差滿足的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的不同相關(guān)系數(shù)ρ下的債券價(jià)值隨資產(chǎn)S變化的曲線，可以看出，相關(guān)系數(shù)ρ越大，債券價(jià)值越低，在Shimko等［18］的文章中，也有類(lèi)似結(jié)論。

圖8 不同相關(guān)系數(shù)下含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 8 Change of bonds with credit rating migration as asset S changes at different correlation coefficients

圖9是t=0，v=0.36時(shí)不同長(zhǎng)期均值θ下債券價(jià)值隨資產(chǎn)S的變化曲線，可以看出，在同一資產(chǎn)S的情況下，均值越大，債券價(jià)值越小，實(shí)際生活中，θ代表波動(dòng)率在未來(lái)達(dá)到穩(wěn)定后的水平，θ越大代表波動(dòng)越大，信用風(fēng)險(xiǎn)越大，于是信用利差也會(huì)變大，因此債券價(jià)值越低。

圖9 不同長(zhǎng)期均值下含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 9 Change of bonds with credit rating migration as asset S changes at different long-term means

3 結(jié)語(yǔ)

本文以公司債券定價(jià)為工具來(lái)評(píng)估信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)。公司的信用等級(jí)由公司資產(chǎn)決定，預(yù)先設(shè)定信用等級(jí)遷移邊界將公司分為高等級(jí)和低等級(jí)，通過(guò)將公司資產(chǎn)波動(dòng)率方差的波動(dòng)率在不同信用等級(jí)下設(shè)定為不同的常數(shù)，基于Heston 模型，通過(guò)債券定價(jià)方式，建立了具有隨機(jī)波動(dòng)率方差的信用等級(jí)遷移模型。然后基于市場(chǎng)無(wú)套利的假設(shè)，通過(guò)對(duì)沖的方法將隨機(jī)微分方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)二階的帶內(nèi)邊界的拋物型初邊值問(wèn)題。這個(gè)推導(dǎo)出來(lái)的定解問(wèn)題在信用等級(jí)遷移邊界處的條件不同于一般的邊界條件，遷移邊界處的跳是一個(gè)關(guān)于高、低等級(jí)債券價(jià)值對(duì)波動(dòng)率的一階偏導(dǎo)和時(shí)間的函數(shù)，這也是本模型的一個(gè)創(chuàng)新之處。后續(xù)本文采取了隱格式求取了這個(gè)PDE的數(shù)值解，并進(jìn)行了參數(shù)分析。

本文將Heston 隨機(jī)波動(dòng)率模型應(yīng)用到公司債券的信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的研究當(dāng)中，改進(jìn)了以Black Sholes模型為基礎(chǔ)的信用等級(jí)遷移模型中資產(chǎn)波動(dòng)率為常數(shù)的問(wèn)題。本文模型基于Heston 隨機(jī)波動(dòng)率模型，引入不同的“波動(dòng)率的波動(dòng)率”來(lái)刻畫(huà)不同信用等級(jí)下資產(chǎn)波動(dòng)率的波動(dòng)性，同時(shí)考慮了波動(dòng)率與資產(chǎn)價(jià)格之間的相關(guān)性，以此建立了信用等級(jí)遷移模型，也使得信用等級(jí)遷移模型更加符合實(shí)際。關(guān)于本文模型的數(shù)值結(jié)果，總結(jié)得到如下結(jié)論：公司處于高等級(jí)、公司資產(chǎn)越大、離到期日越近、資產(chǎn)波動(dòng)率越小、均值回歸速度越小、相關(guān)系數(shù)越小、長(zhǎng)期均值越小，都會(huì)使得債券價(jià)值越大，基本符合實(shí)際，因此在實(shí)際應(yīng)用中，要重點(diǎn)關(guān)注這幾項(xiàng)參數(shù)，只有正確估值，才能充分避險(xiǎn)。進(jìn)一步的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值會(huì)在以后的工作中進(jìn)行實(shí)證研究。

作者貢獻(xiàn)聲明：

梁 進(jìn)：提出研究選題與模型，研究思路、寫(xiě)作指導(dǎo)。

陶曉宇：負(fù)責(zé)模型推導(dǎo)，數(shù)值計(jì)算，論文撰寫(xiě)等。