超空泡航行體深度跟蹤串級控制策略

孫明瑋,周 瑜,張建宏,陳增強(qiáng)

(1. 南開大學(xué) 人工智能學(xué)院, 天津 300350; 2. 北京機(jī)電工程研究所, 北京 100074)

超空泡是通過安裝在水下航行體頭部的空化器生成的單體空泡,可以將航行體包裹起來實現(xiàn)與水分離[1-3]。沾濕面積的降低可以減少航行體90%的摩擦阻力,使航行體的運行速度達(dá)到100 m/s量級[4-6]。與完全浸濕的航行體不同,由于缺少與水的接觸,超空泡航行體喪失了大部分浮力[7-9]。因此,航行體重力需要通過空化器和舵面產(chǎn)生的升力來平衡,這對執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能提出了嚴(yán)格要求。另外,在重力或者外界擾動等作用之下,航行體與空泡壁發(fā)生碰撞產(chǎn)生復(fù)雜的非線性滑行力會直接影響航行體的穩(wěn)定運動,這些都給超空泡航行體的穩(wěn)定控制帶來挑戰(zhàn)[10-12]。

Dzielski等提出了一個超空泡航行體模型[13],該模型既能充分反映被控對象主要特性又相對簡潔,因此作為基準(zhǔn)模型被廣泛引用。文獻(xiàn)[14-21]等均是在Dzielski模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的非線性動力學(xué)分析與控制研究。在超空泡航行體穩(wěn)定控制方面,Dzielski較早提出了線性狀態(tài)反饋方法,雖然能實現(xiàn)超空泡航行體的穩(wěn)定控制,但控制效果并不理想,尾拍現(xiàn)象明顯。Lin等[16]在線性反饋控制基礎(chǔ)上設(shè)計了切換控制策略,在無滑行力階段采用線性反饋,在有滑行力階段采用反饋線性化將滑行力進(jìn)行補(bǔ)償。Mao等[17]和Zhao等[18]研究了魯棒性較強(qiáng)的超空泡航行體變結(jié)構(gòu)控制,由于變結(jié)構(gòu)控制本質(zhì)上是一種不連續(xù)控制,容易出現(xiàn)抖振問題導(dǎo)致控制性能下降。陳超倩等[19]和王京華等[20]也利用平衡點處線性化方法分別設(shè)計了最優(yōu)控制器和預(yù)測控制器。這種線性化方法控制效果理想但對模型依賴嚴(yán)重,在實際中存在一定局限性。Li等通過徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對模型中不確定項進(jìn)行逼近并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論自適應(yīng)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)重,保證了系統(tǒng)收斂性[21]。

圓判據(jù)繼承了經(jīng)典控制論中Nyquist判據(jù)思想,同時可以處理多種非線性特性,能夠從理論層面給出確切的穩(wěn)定邊界[22],因此在控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析以及飽和吸引域估計等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[23-26]。范輝等[27]和韓云濤等[28]基于圓判據(jù)定理分析了超空泡航行體絕對穩(wěn)定控制魯棒性問題。

本文結(jié)合超空泡航行體模型特性設(shè)計出內(nèi)-外環(huán)串級控制結(jié)構(gòu),推導(dǎo)了串級誤差狀態(tài)方程,基于圓判據(jù)定理分析了具有非線性滑行力的內(nèi)環(huán)絕對穩(wěn)定性問題。最后利用Nelder-Mead算法對內(nèi)環(huán)反饋參數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化,并通過仿真實驗驗證該控制方法的優(yōu)越性。

1 超空泡航行體數(shù)學(xué)模型及圓判據(jù)定理

1.1 超空泡航行體數(shù)學(xué)模型

Dzielski模型的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

(1)

(2)

式中:α′為航行體尾部與空泡接觸形成的浸入角;Rc為空泡與航行體碰撞位置的半徑,簡稱空泡半徑;h′為航行體浸入水中深度與航行體半徑之比,稱為相對浸入深度。相對浸入深度與浸入角是影響滑行力的關(guān)鍵物理量。

然后得到的空泡半徑的公式:

1.2 圓判據(jù)定理

為引出圓判據(jù)定理先給出以下定義[23]:

定義1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖前向通道為線性定常系統(tǒng),反饋部分為非線性靜態(tài)環(huán)節(jié),稱該連接形式為Lur′e形式反饋連接,如圖1所示。

圖1 Lur′e形式反饋連接Fig.1 Lur′e feedback connection

定義2無記憶函數(shù)ψ:[0,∞)×P→P,若有[ψ(t,yl)-Kl1yl]T[Kl2yl-ψ(t,yl)]≤0且則稱非線性函數(shù)ψ屬于扇形區(qū)域[Kl1,Kl2],即滿足扇形條件。

定義3考慮Lur′e形式反饋連接,假設(shè)外部輸入r=0,系統(tǒng)狀態(tài)方程為:

(3)

其中:xl∈n;ul,yl∈P;(Al,Bl)可控,(Al,Cl)可觀測;ψ:[0,∞)×P→P滿足扇形區(qū)域條件。如果對于給定的扇形區(qū)域內(nèi)的所有非線性特性,原點都是全局一致漸進(jìn)穩(wěn)定的,則系統(tǒng)是絕對穩(wěn)定的。

定義4D(α,β)是復(fù)平面中的閉圓盤,其直徑是連接-(1/α)+j0和-(1/β)+j0兩點的線段。

圓判據(jù)定理[23]的具體內(nèi)容如下:

考慮形如式(3)的系統(tǒng),這里{Al,Bl,Cl,Dl}是G(s)的一個最小實現(xiàn),且ψ∈[α,β]。如果滿足以下條件之一,則系統(tǒng)絕對穩(wěn)定。

條件1:如果0<α<β,G(jω)的奈奎斯特曲線不進(jìn)入圓盤D(α,β)內(nèi),且沿逆時針方向環(huán)繞τ次,其中τ是G(s)具有正實部的極點數(shù)。

條件2:如果0=α<β,G(s)是赫爾維茨的,且G(jω)的奈奎斯特曲線位于直線Re[s]=-1/β右側(cè)。

條件3:如果α<0<β,G(s)是赫爾維茨的,且G(jω)的奈奎斯特曲線位于圓盤D(α,β)內(nèi)部。如果僅在一個區(qū)間[a,b]內(nèi)滿足扇形區(qū)域條件,則上述條件保證了系統(tǒng)在有限區(qū)域內(nèi)絕對穩(wěn)定。

注:考慮圓判據(jù)條件③,當(dāng)β無限接近0時,圓盤D(α,β)半徑會隨著-(1/β)+j0而無限增大,因此當(dāng)β=0時可以得到一個類似圓判據(jù)條件②的推論——如果α<β=0,G(s)是赫爾維茨的,且G(jω)的奈奎斯特曲線位于直線Re[s]=-1/α左側(cè),則系統(tǒng)絕對穩(wěn)定。

圓判據(jù)提供了一個僅通過G(jω)的奈奎斯特曲線就可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,同樣給出G(jω)的奈奎斯特曲線,也可確定系統(tǒng)絕對穩(wěn)定所允許的扇形區(qū)域。

2 超空泡航行體穩(wěn)定控制

根據(jù)超空泡航行體Dzielski模型,如式(1)所示,控制量可以直接作用到狀態(tài)[w,q]T,狀態(tài)[w,q]T又可以直接影響狀態(tài)[z,θ]T,因此可以將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)-外環(huán)串級控制結(jié)構(gòu),外環(huán)通過比例控制生成虛擬指令作為內(nèi)環(huán)系統(tǒng)的參考輸入。超空泡航行體串級控制結(jié)構(gòu)如圖2所示,其中K1、K2為2×2反饋增益矩陣。

圖2 超空泡航行體串級控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Cascade control structure of the supercavitating vehicle

原Dzielski模型可以轉(zhuǎn)化為:

(4)

為研究跟蹤問題,將式(4)轉(zhuǎn)化為誤差狀態(tài)方程。設(shè)狀態(tài)誤差ηe=η-ηd,ξe=ξ-ξd,其中ηd、ξd分別為狀態(tài)設(shè)定值。則

(5)

由式(5)可以看出,重新推導(dǎo)的誤差狀態(tài)方程并非典型的串級控制形式,為此對式(5)進(jìn)行等價變換。外環(huán)采用狀態(tài)反饋控制律,設(shè)ξd=-K1ηe,并令

(6)

則

(7)

對χe求導(dǎo)可得:

(8)

將式(5)、式(6)和ξd=-K1ηe代入式(8),并令

則

(9)

通過設(shè)置控制量,使u=-B′-1(E′+λ)+υ,將常數(shù)項補(bǔ)償?shù)?則有:

(10)

式中,υ為內(nèi)環(huán)誤差狀態(tài)方程的參考輸入。為方便起見,令M=A11-A12K1,N=K1A12+A22,聯(lián)立式(7)、式(10)可得具有典型串級控制形式的誤差狀態(tài)方程

(11)

一般來說,外環(huán)狀態(tài)反饋矩陣K1要保證M為赫爾維茲矩陣,選擇范圍比較大。另一個重要問題是如何設(shè)計內(nèi)環(huán)控制律保證χe能收斂為0。

(a) WFp曲線(a) WFp curve

(b) WFp與縱向速度比值(b) WFp ratio to vertical speed圖3 非線性反饋環(huán)節(jié)WFp曲線及其與縱向速度的比值Fig.3 Nonlinear feedback WFp curve and its ratio to vertical speed

(12)

3 基于Nelder-Mead算法反饋參數(shù)優(yōu)化

為進(jìn)一步輔助內(nèi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù)整定使其避免陷入執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和,這里提出一種基于Nelder-Mead算法的反饋參數(shù)優(yōu)化方法。Nelder-Mead算法是針對無確定解或求解復(fù)雜度高的問題所提出的一種單純形搜索算法,該算法通過問題自身的信息進(jìn)行擴(kuò)展,向最有利的方向探索問題的解,具有較高搜索效率[29]。對κ維待優(yōu)化向量,選擇κ+1個參數(shù)點,每個參數(shù)點是一個κ維向量(表示對待優(yōu)化向量的估計)。這些參數(shù)點作為κ維向量空間中單純形的頂點,每個點對應(yīng)一個目標(biāo)函數(shù)值。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值的大小自主改變單純形的邊長和頂點,使單純形向著目標(biāo)函數(shù)值減小的方向演化,直到單純形的各頂點對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值無明顯差異[30]。選擇二次型指標(biāo)函數(shù):

(13)

式中,Q、T均為實對稱矩陣,分別表示跟蹤誤差和控制量輸入的權(quán)重。采用Nelder-Mead搜索方法求解流程如算法1所示。

4 仿真驗證與對比分析

算法1 反饋參數(shù)優(yōu)化算法

圖4 帶有狀態(tài)反饋的超空泡航行體Lur′e形式Fig.4 Lur′e feedback connection of supercavitating vehicle with state feedback

圖5 帶有狀態(tài)反饋的前向傳遞函數(shù)奈奎斯特曲線Fig.5 Nyquist plot of forward transfer function with state feedback

(a) 航行體深度曲線(a) Depth curve of the supercavitating vehicle

(b) 航行體垂直速度曲線(b) Speed curve of the supercavitating vehicle

(c) 航行體俯仰角曲線(c) Pitch curve angle of the supercavitating vehicle

(d) 航行體俯仰角速度曲線(d) Pitch rate curve of the supercavitating vehicle 圖6 狀態(tài)反饋控制航行體狀態(tài)曲線Fig.6 State curve of the supercavitating vehicle under state feedback control

圖7 內(nèi)環(huán)Lur′e形式前向傳遞函數(shù)奈奎斯特曲線Fig.7 Nyquist plot of inner-loop Lur′e forward transfer function

圖8 隨外環(huán)反饋矩陣變化的滑行力曲線Fig.8 Planing force curve under different outer-loop control parameters

(a) 航行體深度曲線(a) Depth curve of the supercavitating vehicle

(b) 航行體垂直速度曲線(b) Speed curve of the supercavitating vehicle

(c) 航行體俯仰角曲線(c) Pitch curve angle of the supercavitating vehicle

(d) 航行體俯仰角速度曲線(d) Pitch rate curve of the supercavitating vehicle under different outer-loop control parameters圖9 隨外環(huán)反饋矩陣變化的航行體狀態(tài)曲線Fig.9 State curve of the supercavitating vehicle under different outer-loop control parameters

(a) 空化器偏轉(zhuǎn)曲線(a) Cavitator deflection curve

(b) 尾舵偏轉(zhuǎn)曲線(b) Elevator deflection curve圖10 隨外環(huán)反饋矩陣變化的執(zhí)行器偏轉(zhuǎn)曲線Fig.10 Actuator deflection curve under different outer-loop control parameters

圖11 優(yōu)化前后內(nèi)環(huán)Lur′e形式前向傳遞函數(shù)奈奎斯特曲線Fig.11 Nyquist plot comparison of inner-loop forward transfer function without and with optimization

(a) 超空泡航行體深度曲線(a) Depth curve of the supercavitating vehicle

(c) 超空泡航行體俯仰角曲線(c) Pitch angle comparison of the supercavitating vehicle

(d) 超空泡航行體俯仰角速度曲線(d) Pitch rate curve of the supercavitating vehicle圖12 優(yōu)化前后超空泡航行體狀態(tài)對比Fig.12 States contrast of the supercavitating vehicle without and with optimization

(a) 超空泡航行體空化器偏轉(zhuǎn)曲線(a) Cavitator deflection curve of the supercavitating vehicle

(b) 超空泡航行體尾舵偏轉(zhuǎn)曲線(b) Elevator deflection curve of the supercavitating vehicle圖13 優(yōu)化前后超空泡航行體執(zhí)行器偏轉(zhuǎn)變化Fig.13 Actuator deflections contrast of the supercavitating vehicle without and with optimization

圖14 Nelder-Mead算法目標(biāo)函數(shù)值變化曲線Fig.14 Loss function value variation curve with Nelder-Mead algorithm

5 結(jié)論

本文基于圓判據(jù)理論和Nelder-Mead算法提出了超空泡航行體深度跟蹤串級控制方法。根據(jù)Dzielski模型特性將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)-外環(huán)串級控制結(jié)構(gòu),使得參數(shù)調(diào)節(jié)更加靈活。內(nèi)環(huán)系統(tǒng)可以根據(jù)圓判據(jù)定理保證其絕對穩(wěn)定性,并利用Nelder-Mead算法對內(nèi)環(huán)反饋參數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化,充分利用有限控制量實現(xiàn)對深度的穩(wěn)定跟蹤。對比仿真結(jié)果驗證了本文所提方法的有效性。由于采用串級控制結(jié)構(gòu),為保證整個系統(tǒng)穩(wěn)定,內(nèi)環(huán)系統(tǒng)要求具有較高帶寬。在將來的研究工作中,將重點研究超空泡航行體串級控制結(jié)構(gòu)下的全局穩(wěn)定性問題。