整合問題情境凸顯思維印記
——《集合（重疊問題）》教學(xué)與思考（一）

文|張小麗

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版三年級(jí)上冊(cè)第104、105 頁(yè)。

【課前思考】

解讀教材：編者想體現(xiàn)的意圖是，面對(duì)需要解決的問題“參加這兩項(xiàng)比賽的共有多少人？”，學(xué)生的不同答案有可能引發(fā)“沖突”。教師抓住這一“沖突”，追問“你能確定有17 人嗎？”“你能證明為什么不是17 人嗎？”，以此來激發(fā)學(xué)生的探究欲望、推動(dòng)深度研究。然而，從筆者多年教學(xué)該課的經(jīng)驗(yàn)來看，學(xué)生對(duì)于“先一一列舉出參加兩項(xiàng)比賽的學(xué)生姓名，再把重復(fù)出現(xiàn)的姓名連起來，最后介紹韋恩圖”這樣的“三部曲”并不感興趣。因?yàn)檫@樣的教學(xué)更多的是“教師要學(xué)生探究”，而非源自學(xué)生內(nèi)心的“我要探究”，缺乏引發(fā)深度學(xué)習(xí)的條件——挑戰(zhàn)性。基于以上分析，本課將利用學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化問題情境設(shè)置，讓學(xué)生在情境中產(chǎn)生疑惑，激活熱情，引發(fā)思維，使學(xué)生的思維過程真實(shí)可見。

【教學(xué)過程】

一、激趣導(dǎo)入

師：一年一度的校園足球節(jié)要開始了，下面是各班參加比賽的人數(shù)要求。

師：根據(jù)要求，每班需要派幾人參加比賽？

生：需要10 人參加比賽，因?yàn)?＋6＝10（人）。

師：可三（1）班只派出了8 人參加比賽，這又是怎么回事呢？

【思考：教師以學(xué)生熟悉的足球節(jié)情境引入，在參賽學(xué)生的人數(shù)上打破了學(xué)生的思維定勢(shì)，引發(fā)了認(rèn)知沖突。這樣的導(dǎo)入，既能活躍課堂氣氛，激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，又能激發(fā)學(xué)生探究的欲望?！?/p>

二、探究新知

1.聚焦問題，引出“重疊”

師：根據(jù)要求需要派10 人參加比賽，為什么三（1）班只派了8人呢？

生：會(huì)不會(huì)有兩人受傷棄權(quán)了？

生：受傷了肯定有替補(bǔ)的，否則白白浪費(fèi)了名額，太可惜了。

生：也有可能是顛球和繞樁的同學(xué)有2 人重復(fù)了，這2 人既顛球又繞樁。

生：是的，我的想法與他一樣。

師：看來，同學(xué)們都想到了有2 人既要參加顛球比賽，又要參加繞樁比賽，所以三（1）班只需要派8 人參加足球節(jié)。那么，你能不能用自己喜歡的方法把這種含有重疊部分的情況清楚地表示出來呢？

【思考：概念的學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單、機(jī)械的傳遞過程。在師生對(duì)話中，揭示矛盾的“真相”，將“只派了8 人”的原因鎖定在“重疊問題”上，并開啟“尋證”之旅。】

2.多元表征，畫出“重疊”

（1）學(xué)生用自己喜歡的方式獨(dú)立完成作品。

（2）教師在學(xué)生的操作活動(dòng)后，收集學(xué)生的作品并反饋交流。

作品1 學(xué)生：我是把4 個(gè)圓形兩個(gè)兩個(gè)連起來的。

師：連起來表示什么意思呢？

作品1 學(xué)生：表示他們既參加顛球又參加繞樁。

作品2 學(xué)生：圈起來的4 個(gè)圓形表示他們既參加顛球又參加繞樁，不過只能算2 個(gè)圓形。

作品3 學(xué)生：我和第二位同學(xué)的想法差不多。我用“足球”和“樁”的示意圖代表參賽隊(duì)員，一個(gè)方格代表1 個(gè)人。其中有2 個(gè)格子既有足球又有樁，只能算2 個(gè)人。

作品4 學(xué)生：我用小人來代表，其中中間2 個(gè)小人既顛球又繞樁，這樣一共有8 人。

作品5 學(xué)生：這里2 個(gè)圓相交的部分就是重疊部分，表示這2個(gè)同學(xué)既參加顛球又參加繞樁。

作品6 學(xué)生：我直接用數(shù)字來代表，中間的數(shù)字2 表示這2個(gè)同學(xué)既參加顛球又參加繞樁，所以我畫了一個(gè)箭頭。

師：同學(xué)們真能干，不僅用自己喜歡的方法把重疊部分表示出來，還能清楚地向大家解釋圖中的意思。

【思考：如何走進(jìn)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使不同水平的學(xué)生都主動(dòng)參與，產(chǎn)生豐富的教學(xué)資源呢？這就需要教師舍得花時(shí)間，讓學(xué)生通過自己喜歡的方法畫出“重疊”，從生活化到數(shù)學(xué)化，初步建構(gòu)“集合”的數(shù)學(xué)模型?！?/p>

3.迭代表征，理解“重疊”

（1）出示韋恩圖。

師：數(shù)學(xué)家也有一種表示方法。這幅圖是數(shù)學(xué)家韋恩最先使用的，所以叫韋恩圖。與上面的作品比一比，看和誰(shuí)的比較相似？

生：和5 號(hào)同學(xué)的作品很相似。

師：你真是火眼金睛。5 號(hào)同學(xué)的韋恩圖內(nèi)用圓形來表示參賽人數(shù)，而這里直接用數(shù)來表示。那你們還能看懂這張韋恩圖嗎？

生：左邊這個(gè)完整的圈表示參加顛球比賽的人數(shù)，右邊這個(gè)完整的圈表示參加繞樁的人數(shù)，而中間這個(gè)重疊部分則表示兩個(gè)比賽都參加的人數(shù)。

師：你不僅觀察得仔細(xì)，表達(dá)得也非常清晰。這幅圖上還隱藏著兩個(gè)信息，能找到嗎？

生：左邊這個(gè)月牙形的部分表示只參加顛球比賽的人數(shù)。

師：那哪一部分表示只參加繞樁的人數(shù)？可以用手比劃一下。

（2）列出算式。

師：接下來，就請(qǐng)同學(xué)們利用找到的這些信息算出參加比賽的人數(shù)吧。

（3）全班交流方法。

生1：我的算式是4＋6－2＝8（人），表示參加顛球比賽的人數(shù)加上參加繞樁比賽的人數(shù)再減去既參加顛球比賽又參加繞樁比賽的人數(shù)。

生2：我的算式是2＋4＋2＝8（人），把只參加顛球比賽的人數(shù)和只參加繞樁比賽的人數(shù)加起來，再加上既參加顛球比賽又參加繞樁比賽的人數(shù)。

生3：我的算式是（4－2）＋6＝8（人），把只參加顛球比賽的人數(shù)和參加繞樁比賽的人數(shù)加起來。

生4：我的方法和上面的同學(xué)差不多，算式是4＋（6－2）＝8（人），是把參加顛球比賽的人數(shù)和只參加繞樁比賽的人數(shù)加起來。

師：為了讓大家看得更清楚，張老師把同學(xué)們介紹的幾種方法羅列出來了。大家看，雖然這四道算式各不相同，但是都解決了三（1）班同學(xué)參加兩種比賽的人數(shù)。剛才同學(xué)們不僅列出了算式，還能清楚地介紹算式中每步表示的含義，真不簡(jiǎn)單。

【思考：教師鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度觀察韋恩圖，提取不同集合的元素信息，讓學(xué)生用計(jì)算解決參賽人數(shù)的問題。學(xué)生列出了四種不同算式，有基本的方法“4＋6－2”，也有把韋恩圖分解成沒有交集的多個(gè)集合的方法。學(xué)生思維的延展性得到訓(xùn)練，同時(shí)數(shù)形結(jié)合思想、集合思想得到進(jìn)一步滲透?！?/p>

4.情境拓展，內(nèi)化“重疊”

（1）拓展情境。

師：想一想，如果條件允許，三（1）班還可以派幾人參加比賽，也符合4 人顛球、6 人繞樁的參賽要求？請(qǐng)你分別用韋恩圖及相應(yīng)的算式表示出來。

（2）學(xué)生獨(dú)立思考并反饋。

生：沒有重復(fù)時(shí)，算式是4＋6＝10（人）；重復(fù)1 人時(shí)，算式是4＋6－1＝9（人）；重復(fù)3 人時(shí)，算式是4＋6－3＝7（人）；重復(fù)4 人時(shí)，算式是4＋6－4＝6（人）。

師：有沒有可能是重復(fù)5 人呢？

生：不可能，因?yàn)閰⒓宇嵡虮荣惖囊还仓挥? 人。

（3）總結(jié)梳理。

兩個(gè)比賽共需要10 人參賽，可以有五種不同的參賽情況。不重復(fù)時(shí)，兩個(gè)圈是分開的，且此時(shí)參賽總?cè)藬?shù)最多為10 人；若有重復(fù)，兩個(gè)圈是交叉的：重復(fù)人數(shù)最多時(shí)，大圈完全包含小圈，且此時(shí)總?cè)藬?shù)最少，只需要6 人參賽。

【思考：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)“不重疊問題”和“重疊問題”的解題區(qū)別。不重疊問題的解題策略是“幾部分直接相加”，重疊問題的解題策略是“兩部分相加再減去重復(fù)部分或分類連加等”?！?/p>

三、鞏固提升

1.出示題目

三個(gè)小朋友比賽看誰(shuí)寫出帶“春”字的成語(yǔ)多。小剛寫出了15個(gè)，小佳寫出了8 個(gè)，小紅寫出了10 個(gè)。小佳寫出的8 個(gè)成語(yǔ)小剛都寫出來了，小紅寫出的成語(yǔ)中有5 個(gè)小剛也寫出來了。小剛和小佳一共寫出多少個(gè)成語(yǔ)？小剛和小紅一共寫出多少個(gè)成語(yǔ)？

2.學(xué)生嘗試解決

3.講清解題思路

師：小剛和小佳一共寫出多少個(gè)成語(yǔ)？

生：要解決這個(gè)問題，首先需要找到和小剛、小佳相關(guān)的信息，分別是“小剛寫出了15 個(gè)”“小佳寫出了8 個(gè)”“小佳寫出的8 個(gè)成語(yǔ)小剛都寫出來了”。從中可以看出，小佳和小剛有8 個(gè)成語(yǔ)是重復(fù)的，并且小佳寫的8 個(gè)成語(yǔ)都包含在了小剛寫出的成語(yǔ)里。因此算式是：15＋8－8＝15（個(gè)），所以小剛和小佳一共寫出了15 個(gè)成語(yǔ)。

師：那小剛和小紅一共寫出多少個(gè)成語(yǔ)呢？

生：從“小紅寫出的成語(yǔ)中有5個(gè)小剛也寫出來了”這句話中可以知道小紅和小剛有5 個(gè)成語(yǔ)是重復(fù)的。算式是10＋15－5＝20（個(gè)）。

師：同學(xué)們分析得很好。當(dāng)我們遇到信息比較復(fù)雜的題目時(shí)，一方面要耐心地讀懂信息，也要善于請(qǐng)圖形幫忙，因?yàn)橛卯媹D的方法可以讓復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單明了。

【思考：應(yīng)用模型解決生活中的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察實(shí)際問題的能力和用數(shù)學(xué)的思維解決實(shí)際問題的能力。同時(shí)，進(jìn)一步體會(huì)韋恩圖對(duì)解決“重疊問題”的價(jià)值，再次感受數(shù)形結(jié)合思想可以將抽象問題直觀化、繁難問題簡(jiǎn)潔化?！?/p>

四、視野拓展

師：同學(xué)們，今天的課堂上我們認(rèn)識(shí)了集合圖。借助集合圖，可以讓我們更直觀地觀察到事物之間的關(guān)系，幫助我們更好地解決問題。那么，如下這樣的集合圖你看到過嗎？在解決哪類問題的時(shí)候需要用到這個(gè)圖呢？同學(xué)們可以課后去查閱資料，尋求答案。

【課后感悟】

1.注重聯(lián)系實(shí)際，素材選取生活化

從導(dǎo)入環(huán)節(jié)的“意想不到”，到探索新知的情境設(shè)置，再到鞏固環(huán)節(jié)的練習(xí)設(shè)計(jì)等，這些素材的選取都來自于學(xué)生身邊發(fā)生的事例，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)和生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待實(shí)際問題的能力。

2.注重?cái)?shù)學(xué)思考，情境設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化

本節(jié)課設(shè)計(jì)了“根據(jù)要求需要派10 人參加比賽，為什么三（1）班只派了8 人呢？”這一問題，這是一個(gè)觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、觸動(dòng)思維內(nèi)核的核心問題。接著，用問題串為導(dǎo)向“逼迫”學(xué)生“創(chuàng)造”韋恩圖，“你能不能用自己喜歡的方法把這種含有重疊部分的情況清楚地表示出來呢？”“這幅圖上還隱藏著兩個(gè)信息，能找到嗎？”“如果條件允許，三（1）班還可以派幾人參加比賽，也符合4 人顛球、6 人繞樁的參賽要求？”。在解決問題的過程中，激發(fā)了學(xué)生自主“創(chuàng)造”的欲望，引領(lǐng)學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

3.注重?cái)?shù)學(xué)表達(dá)，思維過程可視化

通過畫出“重疊”，讓學(xué)生真實(shí)的想法以不同的表征方式暴露出來，這樣學(xué)生之間就能展開對(duì)話，學(xué)生的作品就能成為學(xué)習(xí)的資源。在出示“韋恩圖”后，學(xué)生利用自己喜歡的方法計(jì)算參賽人數(shù)并解釋算式的意義，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)韋恩圖的認(rèn)知。最后的情境拓展，更深化了學(xué)生對(duì)韋恩圖的意義理解。“數(shù)形結(jié)合”很好地把思維媒介和表達(dá)方式有機(jī)聯(lián)系，讓解決問題的過程變得可視化。而這種可視化，正符合三年級(jí)學(xué)生的年齡特征和思維水平。