設(shè)計挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，讓“素養(yǎng)生長”看得見
——以《三角形的三邊關(guān)系》教學(xué)為例

文 林小平

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中指出：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。這里的核心素養(yǎng)指的是“三會”，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。這就要求數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要從僅僅獲得事實性知識向真實生活背景下的應(yīng)用知識轉(zhuǎn)變，課堂教學(xué)要以素養(yǎng)為導(dǎo)向，以解決問題為核心，以挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)為驅(qū)動，設(shè)計結(jié)構(gòu)化的活動路徑，讓學(xué)生自主尋求數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正意義，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正價值。

這里的挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)是指教師設(shè)計提供給學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的問題、活動或習(xí)題等。它可以是一個（或幾個）具有結(jié)構(gòu)化的問題，也可以是一項（或幾項）具有挑戰(zhàn)性的實踐活動，還可以是一道（或一組）具有綜合性的習(xí)題。挑戰(zhàn)性是學(xué)習(xí)任務(wù)最大的特點，能夠帶動學(xué)生展開有目標(biāo)、有價值、有方法、有能力的有意義學(xué)習(xí)。那么，如何設(shè)計挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，才能讓“素養(yǎng)生長”看得見呢？下面，筆者以《三角形的三邊關(guān)系》教學(xué)為例，談?wù)勅绾芜\用“尺規(guī)作圖”和“兩點之間線段最短”這個基本事實進(jìn)行挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計。

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入，問題驅(qū)動

師：星期天，老師和朋友一起去體育中心打羽毛球。來到體育中心大門口，發(fā)現(xiàn)去羽毛球場有兩條路。走哪條路最近？你是怎樣想的？

教師把示意圖抽象成“點”和“線”，學(xué)生根據(jù)“兩點之間線段最短”進(jìn)行解釋。

師：透過“點”和“線”，我們進(jìn)一步看到了“形”，“兩點之間線段最短”放在整個三角形中觀察，你又能發(fā)現(xiàn)什么？

生：AC+CB＞AB。

師：是的，這樣我們就發(fā)現(xiàn)了三角形三條邊之間的一種關(guān)系。那三角形的三條邊之間究竟有什么關(guān)系呢？我們繼續(xù)來研究。

【思考：三角形的三邊關(guān)系是三角形特征研究的一個分支。本著“解決真實問題、學(xué)有用的數(shù)學(xué)”的原則，設(shè)計具有挑戰(zhàn)性的真實情境任務(wù)包裹真實問題，以解決路線問題的方式提煉數(shù)學(xué)核心問題。這里，將場館抽象成點，路線抽象成線段，從路線選擇引出“兩點之間線段最短”，進(jìn)而根據(jù)這一數(shù)學(xué)事實引導(dǎo)學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)三角形三條邊之間存在一定的關(guān)系，由此提出數(shù)學(xué)核心問題。這樣設(shè)計，有利于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生持續(xù)探究的欲望，同時從點、線、形的視角將學(xué)生的學(xué)習(xí)引到探究三角形三邊關(guān)系的“最近發(fā)展區(qū)”?！?/p>

二、探究新知，自主建構(gòu)

1.操作和體驗，初步感知三角形的三邊關(guān)系

（1）初探：三條同樣長的線段能否圍成三角形？

出示例1：

師：研究復(fù)雜的問題，先從簡單的開始。三條同樣長的線段，能圍成三角形嗎？請從上面4 條線段中任選一種，用直尺和圓規(guī)畫一畫，再與同學(xué)交流。

學(xué)生操作后組織交流。

師：你選擇的是哪種線段？能不能圍成三角形？是怎樣畫出這個三角形的？

生：我選擇的是3 條4cm 的線段，能圍成三角形。先畫一條4cm 長的線段，以左端點為圓心、4cm 長的線段為半徑畫??；再以右端點為圓心、4cm 長的線段為半徑畫弧，兩條弧相交于一點；最后將這個交點分別與左右兩個端點相連，就畫成了一個三角形。

師：如果選擇其他長度的線段，也能像這樣畫出三角形嗎？

生：都能。

教師課件演示尺規(guī)作圖的方法，結(jié)合“找交點”，解釋作圖原理。

師：可以得到什么結(jié)論？

生：三條同樣長的線段，都能圍成三角形。

（2）再探：三條不同長度的線段能否圍成三角形？

出示例2：

師：三條不同長度的線段，都能圍成三角形嗎？猜一猜。

生：都能圍成。

生：有的能圍成，有的不能圍成。

師：從4 條線段中任選3 條，有哪些不同的選法？

生：有四種不同的選法：①3、4、5；②3、4、8；③3、5、8；④4、5、8。

出示活動要求，學(xué)生操作。

展示尺規(guī)作圖結(jié)果，組織匯報交流，重點說一說為什么能圍成或不能圍成三角形。

生：①和④能圍成。第①種，3cm 和4cm 加起來超過5cm，兩條弧有交點，能圍成三角形，可以用關(guān)系式3＋4＞5 表示。第④種，4cm 和5cm 加起來超過8cm，兩條弧也有交點，能圍成三角形，可以用關(guān)系式4＋5＞8 表示。

生：②和③不能圍成。第②種3cm、4cm 的線段太短了，兩條弧沒有交點，這三條線段不能首尾相接圍成三角形，關(guān)系式是3＋4＜8。第③種3cm、5cm 的線段也短了一點，兩條弧的交點剛好在8cm 的線段上，把上面兩條線段連接起來，剛好與下面的線段重合，也不能圍成三角形，關(guān)系式是3＋5＝8。

2.抽象和概括，探索發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關(guān)系

師：繼續(xù)觀察例2 尺規(guī)作圖的結(jié)果，能圍成三角形的三條線段有什么共同的特點？小組討論。

生：能圍成的，兩條較短線段長度的和大于最長線段。不能圍成的，兩條較短線段長度的和小于或等于最長線段。

師：（出示例1 中圍成的等邊三角形）這里沒有“較短線段”和“最長線段”，符合我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？

生：符合。

師：再看看能圍成的①和④，它們符合“任意兩條線段長度的和都大于第三條線段”這個結(jié)論嗎？

生：符合。第①種可以得到三個關(guān)系式3＋4＞5、3＋5＞4、4＋5＞3。第④種可以得到三個關(guān)系式4＋5＞8、4＋8＞5、5＋8＞4，兩種都符合“任意兩條線段長度的和都大于第三條線段”。

師：大家從一種關(guān)系看到了另外兩種關(guān)系，真厲害！通過研究，我們發(fā)現(xiàn)“兩條較短線段長度的和大于最長線段”其實就是“任意兩條線段長度的和都大于第三條線段”。

師：再來看看不能圍成的情況(出示②和③)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？討論后交流。

生：第②種，雖然3＋8＞4、4＋8＞3，但3＋4＜8。第③種，雖然3＋8＞5、5＋8＞3，但3＋5＝8。我們發(fā)現(xiàn)，只要不是“任意兩條線段長度的和大于第三條線段”的，都不能圍成三角形。

師：是的。這些線段圍成三角形后，就成為了三角形的邊。那三角形的三條邊之間有什么關(guān)系？

生：三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。

3.想象和推理，加深理解三角形的三邊關(guān)系

師：是不是所有三角形三條邊之間都存在這樣的關(guān)系呢？我們繼續(xù)來研究。

教師操作幾何畫板動態(tài)演示可任意變化的三角形，學(xué)生觀察三角形三邊長度的變化，同時通過舉例、估算、驗證等方法判斷得出三角形三邊關(guān)系始終不變。

師：（出示課始的問題情境）上課一開始，根據(jù)兩點之間線段最短，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了三角形三條邊之間的一種關(guān)系A(chǔ)C＋CB＞AB。如果換兩個點進(jìn)行觀察，你還能發(fā)現(xiàn)什么？

生：AB＋BC＞AC、BA＋AC＞BC。

師：觀察這三種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：就是“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”。

【思考：建構(gòu)主義教學(xué)理論強調(diào)：學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)興趣和動機要以探索問題來驅(qū)動和維持。因此學(xué)生的學(xué)習(xí)活動須與任務(wù)或問題相結(jié)合。探究新知講究層次性，通過提出挑戰(zhàn)性問題、設(shè)置結(jié)構(gòu)化任務(wù)、開展關(guān)聯(lián)性活動、進(jìn)行想象和推理，讓學(xué)生在知情連續(xù)、意義關(guān)聯(lián)、螺旋進(jìn)階的學(xué)習(xí)過程中感悟尺規(guī)作圖的原理，提高觀察、操作和抽象概括的能力，發(fā)展推理意識和幾何直觀。第一層次，通過感知和體驗、初探和再探，引導(dǎo)學(xué)生初步感知能圍成三角形的三條線段需要滿足一定的條件。第二層次，通過抽象和概括，經(jīng)歷“一式”到“三式”，引導(dǎo)學(xué)生充分感悟“任意”的含義，發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關(guān)系。第三層次，通過想象和推理，引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的形狀和大小發(fā)生變化時，三邊關(guān)系始終不變，并能根據(jù)“兩點之間線段最短”的基本事實，聯(lián)系舊知完整推理出三角形的三邊關(guān)系。這樣設(shè)計，使得活動模塊化、知識系統(tǒng)化、思維結(jié)構(gòu)化，彰顯了結(jié)構(gòu)化活動任務(wù)的整體性、關(guān)聯(lián)性、生長性和有效性?！?/p>

三、應(yīng)用內(nèi)化，拓展提升

1.基礎(chǔ)性練習(xí)

學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)判斷、說理，想象尺規(guī)作圖結(jié)果并進(jìn)行驗證。

師：有沒有發(fā)現(xiàn)快速判斷的方法？

生：只要兩條較短線段之和大于最長線段就能圍成三角形。第3 組線段，2＋5＞6，能圍成三角形。第1 組線段，2＋4＝6，不能圍成三角形。第2 組線段，2＋2＜5，不能圍成三角形。

師：觀察第2 組線段，如果改變其中一條線段的長度，使它們能圍成一個等腰三角形，可以怎么變？

生：可以把5cm 的線段變成3cm，也可以把其中的一條2cm 變成5cm。

師：把5cm 的線段變成3cm，這個方法是把5cm 的線段變短。除了變成3cm，還能變成幾厘米？

生：還能把5cm 變成1cm、1.2cm 等等。只要是符合三邊關(guān)系的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)都可以。

師：符合這樣條件的等腰三角形有多少種？

生：無數(shù)種。

2.拓展性練習(xí)

師：剛才的問題難不倒大家，下面來挑戰(zhàn)更復(fù)雜的問題。（課件出示）

師：誰來選一選？

生：我選6cm。如果選3cm，3＋8＜12，不能圍成三角形。如果選20cm，12＋8=20，不能圍成三角形。如果選25cm，12＋8＜25，也不能圍成三角形。

師：思考得很全面！除了6cm，第三條邊還可以是多長？

生：我覺得大于4cm，小于20cm 的長度都可以。

師：很有想法！我們通過圖形來驗證一下。如果設(shè)第三條邊是xcm，想一想，最短是怎樣的情況？最長呢？（演示動態(tài)圖驗證）

生：最短要大于4cm，最長要小于20cm。這個方法可以用來確定第三條邊的取值范圍。

師：真會思考！下面老師把題目變一變，你還能確定這兩條邊的長度嗎？（課件出示，學(xué)生分組討論后交流）（3）三角形一條邊的長為12cm，其余兩條邊的長度和是14cm。這兩條邊的長度分別可以是（ ）cm 和（ ）cm。

生：11cm 和 3cm；10cm 和4cm；9cm 和5cm；8cm 和6cm；7cm和7cm。除了整數(shù)，還可以是符合條件范圍內(nèi)的小數(shù)或分?jǐn)?shù)，有無數(shù)種可能。

師：其中隱藏著什么規(guī)律呢？我們繼續(xù)來探究。（結(jié)合學(xué)生想象，教師用幾何畫板動態(tài)演示尺規(guī)作圖結(jié)果）

師：如果把這些三角形的第三個頂點都連起來，會是一個怎樣的圖形？

生：橢圓。

師：聰明的木工師傅就是運用這個知識畫出橢圓的，我們來欣賞。（播放視頻）

生：數(shù)學(xué)真是太神奇了！

【思考：練習(xí)任務(wù)承載著鞏固知識、熟練技能、積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升學(xué)習(xí)力的功能，更承載著學(xué)科育人的功能。因此，教師要精心設(shè)計練習(xí)任務(wù)，讓素養(yǎng)生長。第一題設(shè)計了基礎(chǔ)性練習(xí)任務(wù)，重點體現(xiàn)“判斷和解釋”。練習(xí)增加了想象尺規(guī)作圖的要求，通過數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生加深理解三角形的三邊關(guān)系。第二題設(shè)計了拓展性練習(xí)任務(wù)，重點體現(xiàn)“深化和延伸”。首先通過選擇正確答案、表述思考過程、尺規(guī)作圖驗證，深化理解三角形第三條邊的取值范圍。接著通過變一變，引導(dǎo)學(xué)生從整數(shù)范圍拓展至小數(shù)范圍，進(jìn)而想象尺規(guī)作圖結(jié)果并連點成線形成橢圓，最后觀看木工畫橢圓視頻，從中滲透軌跡思想，發(fā)展幾何直觀，鏈接生活實際，感悟數(shù)學(xué)神奇，獲得意義建構(gòu)?！?/p>

四、回顧總結(jié)，整體聯(lián)系

師：回顧三角形三邊關(guān)系的研究過程，想想是怎樣研究的？你有哪些收獲？

生：我知道了三角形任意兩邊長度之和大于第三邊。

生：研究時，我們經(jīng)歷了猜想、實驗、分析、推理等探究的過程。今后我們在研究類似問題時，可以采用這樣的方法。

生：我覺得用尺規(guī)作圖畫三角形，更能深刻理解三角形的三邊關(guān)系。

師：如果把這節(jié)課學(xué)習(xí)的知識放在整個三角形知識中，會是什么關(guān)系呢？猜一猜，今后還會學(xué)習(xí)什么呢？

根據(jù)學(xué)生的回答，逐步整理并形成樹形圖。

【思考：一段學(xué)程的結(jié)束意味著新一段學(xué)程的開始，如何提煉知識的生長脈絡(luò)，幫助學(xué)生建構(gòu)起系統(tǒng)的認(rèn)知體系？這就需要教師精心設(shè)計有品味的建構(gòu)任務(wù)，將已學(xué)和將學(xué)納入認(rèn)識三角形的完整背景中去感悟。之前，學(xué)生認(rèn)識了三角形的特征和分類，隨著三邊關(guān)系的進(jìn)入，啟發(fā)學(xué)生對三角關(guān)系、邊角關(guān)系等等的猜想。這樣設(shè)計，聚焦知識重點，突出學(xué)法指導(dǎo)，溝通縱橫聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向，助力后續(xù)學(xué)習(xí)，實現(xiàn)啟智增慧。文化潤心，實踐育人，建構(gòu)任務(wù)可以賦能學(xué)生無限的生長力，伴隨學(xué)生去擁抱高質(zhì)量數(shù)學(xué)教學(xué)的“星辰大?！薄！?/p>