考慮預(yù)防性維護(hù)的二維基礎(chǔ)質(zhì)保策略與價(jià)格聯(lián)合優(yōu)化

李龍輝,劉子先,張兆民,董方岐

(1.天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部,天津 300072;2.中國(guó)民航大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院,天津 300300;3.中國(guó)汽車技術(shù)研究中心有限公司,天津 300300)

0 引言

產(chǎn)品質(zhì)量保證(簡(jiǎn)稱質(zhì)保)是指制造商在銷售產(chǎn)品時(shí)和顧客簽訂的一種合同協(xié)議[1-2]。按照質(zhì)保期的不同,可以將質(zhì)保分為一維質(zhì)保和二維質(zhì)保。其中,一維質(zhì)保主要以時(shí)間維度為限制,而二維質(zhì)保以時(shí)間維度和使用量維度組成的二維平面區(qū)域作為產(chǎn)品保證期限[3],如大多數(shù)家用汽車的質(zhì)保期為3年或6×104km,以先到者為準(zhǔn)。同時(shí),產(chǎn)品質(zhì)保又可以分為基礎(chǔ)質(zhì)保和延長(zhǎng)質(zhì)保[4-5]。基礎(chǔ)質(zhì)保通常與產(chǎn)品銷售進(jìn)行綁定,當(dāng)產(chǎn)品在質(zhì)保期內(nèi)出現(xiàn)故障時(shí),制造商向顧客提供免費(fèi)維修或更換服務(wù)。隨著顧客消費(fèi)觀念的轉(zhuǎn)變,基礎(chǔ)質(zhì)保和產(chǎn)品價(jià)格在市場(chǎng)上的關(guān)聯(lián)更加緊密。在市場(chǎng)營(yíng)銷中,優(yōu)質(zhì)的質(zhì)保服務(wù)能夠提升產(chǎn)品的銷售量,但同時(shí)會(huì)增加相應(yīng)的成本投入[6]。因此,在產(chǎn)品的生命周期內(nèi),如何對(duì)產(chǎn)品的價(jià)格和基礎(chǔ)質(zhì)保策略進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化是制造商關(guān)心的重要問(wèn)題之一。

產(chǎn)品的價(jià)格和質(zhì)保期對(duì)產(chǎn)品銷量具有重要影響。特別對(duì)于新產(chǎn)品而言,為了消除顧客對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的擔(dān)心,制造商往往會(huì)提供較長(zhǎng)的質(zhì)保期,以促進(jìn)產(chǎn)品銷售。例如,廣汽新能源為顧客提供三電系統(tǒng)的終身質(zhì)保服務(wù)[7]。當(dāng)前,國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)質(zhì)保期與價(jià)格的聯(lián)合決策問(wèn)題展開(kāi)研究,如GLICKMAN等[8]最早提出了以質(zhì)保時(shí)間和價(jià)格為決策變量的對(duì)數(shù)線性需求函數(shù),目前該函數(shù)已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。KAPUR等[9]構(gòu)建了動(dòng)態(tài)市場(chǎng)需求函數(shù),將產(chǎn)品價(jià)格和質(zhì)保時(shí)間作為動(dòng)態(tài)決策變量進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。在二維質(zhì)保研究中,部分學(xué)者在以質(zhì)保時(shí)間和價(jià)格為決策變量的需求函數(shù)基礎(chǔ)上,同時(shí)考慮了質(zhì)保中使用量限制對(duì)產(chǎn)品需求的影響。如CHEONG等[10]構(gòu)建了同時(shí)考慮質(zhì)保時(shí)間和使用量限制的動(dòng)態(tài)需求函數(shù),研究在免費(fèi)最小維修或更換條件下的產(chǎn)品定價(jià)和二維質(zhì)保期的動(dòng)態(tài)聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題。在二維質(zhì)保期內(nèi),由于高產(chǎn)品使用率的顧客更容易達(dá)到廠商規(guī)定的使用量限制,MANNA[11]提出了以顧客的實(shí)際二維質(zhì)保期結(jié)束時(shí)間代替二維質(zhì)保中規(guī)定的使用時(shí)間限制,對(duì)Glickman-Berger需求函數(shù)[8]進(jìn)行了擴(kuò)展研究。以上研究主要通過(guò)構(gòu)建事后維修策略模型與基于價(jià)格彈性和質(zhì)保彈性的需求模型,在此基礎(chǔ)上對(duì)質(zhì)保期與價(jià)格進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化,沒(méi)有考慮預(yù)防性維護(hù)對(duì)質(zhì)保策略設(shè)計(jì)的影響。

預(yù)防性維護(hù)可以提高產(chǎn)品在使用過(guò)程中的可靠性。通常設(shè)計(jì)與優(yōu)化在質(zhì)保期內(nèi)的預(yù)防性維護(hù)策略(如維護(hù)程度、維護(hù)次數(shù)等)能夠降低產(chǎn)品的質(zhì)保成本[12-13]。在考慮預(yù)防性維護(hù)的二維質(zhì)保期與價(jià)格聯(lián)合優(yōu)化研究中,蘇春等[14]采用Copula函數(shù)對(duì)二維質(zhì)保產(chǎn)品故障過(guò)程進(jìn)行建模,綜合考慮了基礎(chǔ)質(zhì)保時(shí)間、產(chǎn)品價(jià)格和顧客滿意度對(duì)產(chǎn)品銷量的影響,以制造商利潤(rùn)最大化為目標(biāo),首先對(duì)預(yù)防性維護(hù)策略進(jìn)行優(yōu)化,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行基礎(chǔ)質(zhì)保時(shí)間與價(jià)格的聯(lián)合優(yōu)化研究。HUANG等[15]采用邊際分析方法對(duì)二維質(zhì)保產(chǎn)品故障過(guò)程進(jìn)行建模,在基于可靠性的非周期預(yù)防性維護(hù)策略基礎(chǔ)上,對(duì)特定可靠性閾值下的二維質(zhì)保期與價(jià)格進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。由于質(zhì)保時(shí)間和使用量限制均會(huì)影響顧客的購(gòu)買需求,HUANG等[16]構(gòu)建考慮質(zhì)保時(shí)間和使用量限制的線性需求函數(shù),采用二元失效分布法對(duì)二維質(zhì)保產(chǎn)品故障過(guò)程進(jìn)行建模,研究了預(yù)防性維護(hù)策略和產(chǎn)品價(jià)格對(duì)二維質(zhì)保期的影響。

綜合來(lái)看,上述關(guān)于二維質(zhì)保期與價(jià)格的聯(lián)合優(yōu)化研究主要集中在對(duì)產(chǎn)品價(jià)格、二維質(zhì)保時(shí)間和使用量限制的聯(lián)合優(yōu)化研究上。在考慮預(yù)防性維護(hù)的二維質(zhì)保期與價(jià)格的聯(lián)合優(yōu)化研究中,大多將預(yù)防性維護(hù)策略作為已知條件,沒(méi)有考慮同時(shí)對(duì)質(zhì)保期內(nèi)的預(yù)防性維護(hù)策略進(jìn)行優(yōu)化?；谝陨戏治?本文以二維質(zhì)保產(chǎn)品為研究對(duì)象,對(duì)產(chǎn)品的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期、預(yù)防性維護(hù)策略和價(jià)格進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化研究。以制造商期望利潤(rùn)最大化為目標(biāo),構(gòu)建考慮預(yù)防性維護(hù)次數(shù)和水平的質(zhì)保成本模型,同時(shí)構(gòu)建考慮不同顧客使用率的二維質(zhì)保需求模型。在此基礎(chǔ)上求解最優(yōu)的產(chǎn)品價(jià)格、基礎(chǔ)質(zhì)保時(shí)間和使用量限制組合,以及相應(yīng)的預(yù)防性維護(hù)策略。該研究有助于制造商進(jìn)行產(chǎn)品定價(jià)和制定更有效的二維質(zhì)保期以及維修策略,為二維質(zhì)保策略與價(jià)格的系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了理論支撐和實(shí)踐指導(dǎo)。

1 問(wèn)題描述與模型假設(shè)

制造商考慮向顧客提供一個(gè)具有二維質(zhì)保期的產(chǎn)品,二維基礎(chǔ)質(zhì)保范圍是以質(zhì)保時(shí)間T和使用量限制U構(gòu)成的矩形框架Ω(T,U),其中T>0,U>0。假設(shè)在質(zhì)保期內(nèi)每位顧客的產(chǎn)品使用率r保持不變,根據(jù)產(chǎn)品的名義使用率r0=U/T,可以將顧客的基礎(chǔ)質(zhì)保期結(jié)束時(shí)間分為以下兩種情況:在r≤r0的情況下,顧客的基礎(chǔ)質(zhì)保期結(jié)束時(shí)間為T;在r>r0的情況下,顧客的基礎(chǔ)質(zhì)保期結(jié)束時(shí)間為U/r。

當(dāng)產(chǎn)品在質(zhì)保期內(nèi)發(fā)生故障時(shí),制造商采用最小維修的方式對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行維修,維修前后不改變產(chǎn)品的故障率。同時(shí),在質(zhì)保期內(nèi)制造商采用不完全修復(fù)的方式對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行n次周期預(yù)防性維護(hù),其中對(duì)產(chǎn)品的修復(fù)程度體現(xiàn)在預(yù)防性維護(hù)工作的水平上,故將預(yù)防性維護(hù)水平記為m。當(dāng)r≤r0時(shí),制造商向顧客提供時(shí)間間隔為H的預(yù)防性維護(hù)服務(wù),其中H=T/(n+1);當(dāng)r>r0時(shí),制造商向顧客提供使用量間隔為F的預(yù)防性維護(hù)服務(wù),其中F=U/(n+1)。由圖1可知,若顧客的產(chǎn)品使用率不同,則周期預(yù)防性維護(hù)的時(shí)間間隔存在差異。對(duì)于產(chǎn)品使用率為r的顧客來(lái)說(shuō),實(shí)際的周期預(yù)防性維護(hù)時(shí)間間隔為:

(1)

針對(duì)二維質(zhì)保產(chǎn)品,顧客通常會(huì)傾向于更長(zhǎng)的質(zhì)保時(shí)間和使用量限制[17-18],但延長(zhǎng)二維基礎(chǔ)質(zhì)保期W(T,U)會(huì)增加制造商的成本壓力。在基礎(chǔ)質(zhì)保政策設(shè)計(jì)中,制造商的利潤(rùn)主要涉及質(zhì)保成本、生產(chǎn)成本、產(chǎn)品價(jià)格和基礎(chǔ)質(zhì)保期,其中通過(guò)調(diào)整預(yù)防性維護(hù)水平m和維護(hù)次數(shù)n,可以對(duì)質(zhì)保成本進(jìn)行優(yōu)化。此外,產(chǎn)品價(jià)格對(duì)制造商利潤(rùn)和顧客的購(gòu)買決策具有重要影響[19]。因此,在市場(chǎng)營(yíng)銷中制造商面臨的問(wèn)題是:如何將二維基礎(chǔ)質(zhì)保期W(T,U)、價(jià)格P和預(yù)防性維護(hù)策略[m,n]進(jìn)行聯(lián)合設(shè)計(jì)與優(yōu)化,在質(zhì)保成本增加與市場(chǎng)需求增加之間進(jìn)行有效權(quán)衡,以實(shí)現(xiàn)制造商期望利潤(rùn)的最大化。

本文的主要假設(shè)條件如下:

(1)顧客在整個(gè)質(zhì)保期內(nèi)產(chǎn)品使用率保持不變,不同顧客的產(chǎn)品使用率存在差異,但是顧客整體使用率分布,可以通過(guò)歷史維修數(shù)據(jù)或銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)[20-21];

(2)與質(zhì)保期相比,由于最小維修和預(yù)防性維護(hù)服務(wù)時(shí)間較短,可忽略不計(jì)[22]。

本文的主要符號(hào)描述如表1所示。

表1 主要符號(hào)與含義

2 模型構(gòu)建

2.1 可靠性建模

在二維產(chǎn)品質(zhì)保中,使用時(shí)間和使用量是影響產(chǎn)品故障率的兩個(gè)重要因素。目前有3種方法可以對(duì)二維質(zhì)保產(chǎn)品故障過(guò)程進(jìn)行建模,即復(fù)合標(biāo)度法(composite)、二元失效分布法(bivariate)和邊際方法(marginal approach)[23-24],其中邊際方法是通過(guò)產(chǎn)品使用率將使用量轉(zhuǎn)化為與時(shí)間相關(guān)的函數(shù),能夠有效將二維質(zhì)保數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為一維,目前該方法已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。因此,本文沿用邊際方法進(jìn)行故障過(guò)程建模。已知t,u分別為產(chǎn)品的使用時(shí)間和使用量,其中u=rt,對(duì)于實(shí)際使用率為r的顧客來(lái)說(shuō),產(chǎn)品故障率函數(shù)λ(t|r)可以表示為以下多項(xiàng)式:

λ(t|r)=θ0+θ1r+(θ2+θ3r)t。

(2)

其中θi為故障率函數(shù)的常數(shù)系數(shù),θi>0,i=0,1,2,3。

2.2 質(zhì)保成本建模

二維基礎(chǔ)質(zhì)保期內(nèi)產(chǎn)生的質(zhì)保成本主要由最小維修成本和預(yù)防性維護(hù)成本構(gòu)成?？紤]到預(yù)防性維護(hù)策略對(duì)產(chǎn)品故障率的影響,本文參照KIM等[25]利用役齡回退因子δ(m)對(duì)預(yù)防性維護(hù)效果進(jìn)行描述,δ(m)=(1+m)e-m,其中,δ(m)∈[0,1],m為預(yù)防性維護(hù)水平,且m=1,2,…,M。對(duì)于實(shí)際使用率為r的產(chǎn)品,第j次預(yù)防性維護(hù)后產(chǎn)品的虛擬壽命為:

vj(m)=vj-1(m)+δ(m)L,v0(m)=0。

(3)

根據(jù)式(3)可將t時(shí)刻產(chǎn)品的虛擬壽命表示為:

v(t)=vj-1(m)+t-(j-1)L。

(4)

式中(j-1)L≤t

假設(shè)預(yù)防性維護(hù)和最小維修時(shí)間均忽略不計(jì),則可以使用服從非齊次泊松過(guò)程(Non-Homogeneous Poisson Process,NHPP)的條件故障強(qiáng)度進(jìn)行建模,具體條件故障函數(shù)見(jiàn)式(2)。因此,對(duì)于實(shí)際使用率為r的顧客,在二維基礎(chǔ)質(zhì)保期內(nèi)其產(chǎn)品的故障次數(shù)為:

(5)

式中W0表示基礎(chǔ)質(zhì)保期結(jié)束時(shí)間,W0=min{T,U/r}。

當(dāng)給定單位最小維修成本Cr和預(yù)防性維護(hù)成本CPM時(shí),可將單位產(chǎn)品的期望質(zhì)保成本表示為:

(6)

式中g(shù)(r)為使用率的概率密度函數(shù),rl≤r≤ru,其中ru和rl分別為產(chǎn)品使用率的上限和下限。

2.3 考慮不同顧客使用率的產(chǎn)品需求建模

市場(chǎng)需求主要受到質(zhì)保期、產(chǎn)品價(jià)格等因素的影響。對(duì)于二維質(zhì)保產(chǎn)品,單一的質(zhì)保服務(wù)時(shí)間長(zhǎng)短并不能夠有效反映產(chǎn)品的實(shí)際市場(chǎng)需求。在此基礎(chǔ)上,HUANG等[16]和HE等[4]分別采用線性和對(duì)數(shù)線性函數(shù)構(gòu)造產(chǎn)品銷量隨質(zhì)保時(shí)間和使用量限制變動(dòng)的二維質(zhì)保需求函數(shù)。然而,上述模型忽略了二維質(zhì)保期設(shè)計(jì)不合理的情況:①對(duì)于任意二維質(zhì)保產(chǎn)品而言,都存在使用時(shí)間和使用量上限;②當(dāng)質(zhì)保時(shí)間或使用量限制為零時(shí),產(chǎn)品銷量不一定為零。

對(duì)于二維質(zhì)保產(chǎn)品,產(chǎn)品的失效同時(shí)受到使用時(shí)間和使用量的影響。顧客可以使用的質(zhì)保區(qū)域的面積越大,說(shuō)明在質(zhì)保期內(nèi)顧客可以獲得更多的免費(fèi)維修或更換機(jī)會(huì),對(duì)顧客越有利[4-18]。因此,本文以可用質(zhì)保面積作為影響市場(chǎng)需求的重要因素。由于顧客產(chǎn)品使用率的異質(zhì)性,不同顧客的可用質(zhì)保面積存在差異。如圖2所示,當(dāng)r>r0時(shí),顧客的可用質(zhì)保面積為(U/r)×U;當(dāng)r≤r0時(shí),顧客的可用質(zhì)保面積為T×(T×r)。則對(duì)于實(shí)際產(chǎn)品使用率為r的顧客來(lái)說(shuō),可用質(zhì)保面積為:

(7)

根據(jù)式(7),可將產(chǎn)品使用率為r的顧客能夠感受到的可用質(zhì)保面積所產(chǎn)生的質(zhì)保效用表示為:

E(T,U|r)=D(T,U|r)φ3。

(8)

式中φ3為質(zhì)保面積感知因子,并且0<φ3<1。

由圖3可知,該函數(shù)可以有效地反映不同顧客可感知的可用質(zhì)保面積對(duì)顧客質(zhì)保效用的影響,并且能夠衡量不同產(chǎn)品使用率下的顧客實(shí)際質(zhì)保效用大小。已知顧客的產(chǎn)品使用率概率密度函數(shù)為g(r),則單位產(chǎn)品的期望質(zhì)保效用可以表示為:

(9)

基于以上分析,本文在Glickman-Berger需求函數(shù)[8]的基礎(chǔ)上,構(gòu)建了考慮質(zhì)保時(shí)間和使用量限制的需求函數(shù),結(jié)合式(9),可以將二維質(zhì)保的需求函數(shù)表示為:

Q(P,T,U)=ω1P-φ1(ω2+A(T,U))φ2。

(10)

式中:ω1>0,ω2>0,φ1>1和0<φ2<1。ω1為振幅因子,ω2為常數(shù),保證制造商不提供質(zhì)保時(shí),產(chǎn)品需求不為零。

3 二維基礎(chǔ)質(zhì)保期、價(jià)格和預(yù)防性維護(hù)策略聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)

制造商希望通過(guò)對(duì)產(chǎn)品價(jià)格P、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期W(T,U)、預(yù)防性維護(hù)水平m和維護(hù)次數(shù)n的系統(tǒng)設(shè)計(jì),以實(shí)現(xiàn)制造商期望利潤(rùn)的最大化。假設(shè)產(chǎn)品的需求量等于產(chǎn)品的銷售量,制造商制造單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為CM,則可將二維基礎(chǔ)質(zhì)保期、價(jià)格和預(yù)防性維護(hù)策略聯(lián)合優(yōu)化模型表示為:

max{π(P,T,U,n,m)}=Q(P,T,U)(P-

CM-EC(T,U,n,m))。

(11)

s.t.

m≤M,m∈N。

(12)

根據(jù)式(11)和式(12),可知若取得期望利潤(rùn)函數(shù)中價(jià)格的最大值點(diǎn),需要滿足:

(13)

基于以上分析,則可將二維基礎(chǔ)質(zhì)保期、價(jià)格和預(yù)防性維護(hù)策略聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化為:

max{π(T,U,n,m)}=

(14)

在二維基礎(chǔ)質(zhì)保期、價(jià)格和預(yù)防性維護(hù)策略聯(lián)合優(yōu)化模型中,需要對(duì)預(yù)防性維護(hù)水平m與維護(hù)次數(shù)n、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期W(T,U)與價(jià)格P進(jìn)行系統(tǒng)優(yōu)化。根據(jù)式(14)可知,在滿足模型約束條件的固定二維基礎(chǔ)質(zhì)保期W(T,U)組合下,預(yù)防性維護(hù)策略的優(yōu)化可以使該二維基礎(chǔ)質(zhì)保期W(T,U)下的期望質(zhì)保成本最小化,從而使制造商期望利潤(rùn)最大。因此,在二維基礎(chǔ)質(zhì)保期W(T,U)內(nèi),只有滿足預(yù)防性維護(hù)策略[m,n]是使期望質(zhì)保成本最小化的最優(yōu)維護(hù)策略時(shí),才能實(shí)現(xiàn)制造商期望利潤(rùn)最大化的目標(biāo)。由于該模型是一個(gè)非線性混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題,存在分段積分、連續(xù)性和離散性決策變量并存等特點(diǎn),很難得出決策變量的有效解析解。而在實(shí)際情況中,二維基礎(chǔ)質(zhì)保期W(T,U)、預(yù)防性維護(hù)水平m和維護(hù)次數(shù)n都是離散取值的,故本文采用網(wǎng)格搜索的方法,以二維基礎(chǔ)質(zhì)保期和價(jià)格為主要決策變量,預(yù)防性維護(hù)策略為跟隨決策變量,得到模型的滿意解。

4 算例分析

以某品牌汽車制造商的A型號(hào)汽車為例,該制造商制定的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期為3年或6萬(wàn)公里,預(yù)防性維護(hù)策略組合為[m=3,n=5]。A型號(hào)汽車的參考售價(jià)P0為12萬(wàn)元,生產(chǎn)單個(gè)產(chǎn)品的平均成本CM為6萬(wàn)元。產(chǎn)品故障率函數(shù)λ(t|r)的參數(shù)設(shè)置為θ0=0.1,θ1=0.2,θ2=0.3和θ3=0.3[26]。通過(guò)對(duì)A型號(hào)汽車在2015年～2017年的顧客產(chǎn)品使用率數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn),由于產(chǎn)品使用率極高的顧客較少,顧客的產(chǎn)品使用率r服從區(qū)間[rl,ru]上的截?cái)嗤紶柗植糩22],其中rl和ru分別為0×104km/a和6×104km/a,產(chǎn)品使用率r的概率密度函數(shù)為:

g(r)=βη(rη)-1+βe-(rη)β。

(15)

4.1 模型有效性分析

為驗(yàn)證所提模型的有效性,本文對(duì)不同預(yù)防性維護(hù)水平與維護(hù)次數(shù)、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格進(jìn)行組合分析,得到了不同預(yù)防性維護(hù)策略下的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格優(yōu)化組合,以及對(duì)應(yīng)的制造商期望利潤(rùn)值。在實(shí)際中,顧客能夠接受的預(yù)防性維護(hù)的最短時(shí)間間隔和使用量間隔分別為Hmin=2個(gè)月和Fmin=0.5萬(wàn)公里。在此基礎(chǔ)上,對(duì)質(zhì)保時(shí)間和使用量進(jìn)行離散取值,其中質(zhì)保時(shí)間以月為最小單位,使用量以千公里為最小單位。考慮到預(yù)防性維護(hù)策略具有離散性、有限性等特點(diǎn),本文對(duì)所有預(yù)防性維護(hù)策略下的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格優(yōu)化進(jìn)行分析,得到了不同預(yù)防性維護(hù)策略下的最優(yōu)制造商期望利潤(rùn),以及對(duì)應(yīng)的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格最優(yōu)解,聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表2 不同預(yù)防性維護(hù)策略下二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果

在表2中,本文選取了部分預(yù)防性維護(hù)策略下的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果。研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)預(yù)防性維護(hù)策略組合為[m=4,n=7],質(zhì)保時(shí)間、使用量限制和價(jià)格分別為T=59個(gè)月、U=12×104km和P=13.192萬(wàn)元時(shí),制造商的期望利潤(rùn)取得最大值為π=79.223億元。該方案能夠?qū)⒍S基礎(chǔ)質(zhì)保期、價(jià)格與預(yù)防性維護(hù)策略進(jìn)行有效聯(lián)合,使預(yù)防性維護(hù)策略、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。

此外,本文還將預(yù)防性維護(hù)策略、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格進(jìn)行不同優(yōu)化組合,得到三類優(yōu)化質(zhì)保方案,其中二維基礎(chǔ)質(zhì)保期優(yōu)化方案PL2(W*,P,PM)和二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格聯(lián)合優(yōu)化方案PL3(W*,P*,PM)是在給定預(yù)防性維護(hù)策略條件下的兩類比較質(zhì)保方案,方案PL4(W*,P*,PM*)是本文提出的預(yù)防性維護(hù)策略、價(jià)格和二維基礎(chǔ)質(zhì)保期聯(lián)合優(yōu)化方案。不同二維質(zhì)保方案的結(jié)果如表3所示。表3中方案PL1(W,P,PM)為優(yōu)化前的質(zhì)保方案,即由制造商制定的初始質(zhì)保方案。通過(guò)將方案PL2(W*,P*,PM*)、方案PL3(W*,P,PM)和方案PL4(W*,P*,PM)對(duì)比分析,發(fā)現(xiàn)預(yù)防性維護(hù)策略的優(yōu)化有利于制造商制定二維質(zhì)保期更長(zhǎng)的基礎(chǔ)質(zhì)保策略,并且有利于提高制造商的期望利潤(rùn)。與制造商原有的質(zhì)保方案PL1(W,P,PM)相比,方案PL4(W*,P*,PM*)使制造商的利潤(rùn)提高了3%,證明了本文提出模型的有效性。

表3 不同二維質(zhì)保方案的結(jié)果

4.2 敏感性分析

在預(yù)防性維護(hù)策略、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格聯(lián)合優(yōu)化的研究中,產(chǎn)品使用率分布和需求函數(shù)相關(guān)參數(shù)是影響預(yù)防性維護(hù)策略、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格聯(lián)合優(yōu)化方案的重要因素。

首先,分析產(chǎn)品使用率分布對(duì)最終優(yōu)化結(jié)果的影響。已知顧客的產(chǎn)品使用率服從威布爾分布,可以通過(guò)調(diào)整尺度參數(shù)η的大小,在維持分布形狀大致不變的情況下,改變分布的方差和期望。因此,本文保持形狀參數(shù)β不變,對(duì)尺度參數(shù)η進(jìn)行等百分比調(diào)整,調(diào)整間隔為10%,得到聯(lián)合優(yōu)化方案如圖4所示。研究表明,隨著尺度參數(shù)η值的增加,產(chǎn)品使用率低的顧客增多,為了吸引更多的顧客,需要增加產(chǎn)品的質(zhì)保時(shí)間,同時(shí)需要縮減質(zhì)保產(chǎn)品的使用量限制,以使制造商的利潤(rùn)最大化。

其次,保持質(zhì)保期彈性因子φ2和其他參數(shù)不變,對(duì)價(jià)格彈性因子φ1從2～2.5進(jìn)行離散取值,調(diào)整間隔為0.1,得到聯(lián)合優(yōu)化方案如圖5所示。價(jià)格彈性因子φ1的值越大,說(shuō)明價(jià)格對(duì)市場(chǎng)需求的影響越大。研究結(jié)果表明,二維基礎(chǔ)質(zhì)保期、售價(jià)、銷量和期望利潤(rùn)均隨著價(jià)格彈性因子的增加而減小。當(dāng)價(jià)格彈性因子φ1的值較低時(shí),制造商可以通過(guò)提高產(chǎn)品售價(jià)的方式,增加制造商利潤(rùn),隨著二維基礎(chǔ)質(zhì)保期的延長(zhǎng),同時(shí)需要適當(dāng)增加預(yù)防性維護(hù)的次數(shù),以最大程度地降低質(zhì)保成本,從而有利于獲取更高的期望利潤(rùn);當(dāng)價(jià)格彈性因子φ1的值較高時(shí),售價(jià)的提升對(duì)銷量的影響過(guò)大,不利于制造商獲取更高的利潤(rùn),此時(shí),制造商可以通過(guò)縮減二維基礎(chǔ)質(zhì)保期和減少預(yù)防性維護(hù)次數(shù),同時(shí)降低產(chǎn)品售價(jià)的方式來(lái)穩(wěn)定收益。

然后,保持價(jià)格彈性因子φ1和其他參數(shù)不變,對(duì)質(zhì)保期彈性因子φ2進(jìn)行等比例調(diào)整,調(diào)整間隔為10%。根據(jù)本文提出的預(yù)防性維護(hù)策略、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期和產(chǎn)品價(jià)格聯(lián)合優(yōu)化方法,可以得到優(yōu)化結(jié)果如圖6所示。研究表明,質(zhì)保期彈性因子對(duì)產(chǎn)品銷量具有促進(jìn)作用。隨著質(zhì)保期彈性因子φ2的增加,二維基礎(chǔ)質(zhì)保期、售價(jià)、銷量和期望利潤(rùn)均出現(xiàn)上升趨勢(shì),同時(shí)需要適當(dāng)調(diào)整預(yù)防性維護(hù)策略以應(yīng)對(duì)基礎(chǔ)質(zhì)保期延長(zhǎng)帶來(lái)的質(zhì)保成本增加。因此,當(dāng)質(zhì)保期彈性因子較高時(shí),制造商應(yīng)延長(zhǎng)產(chǎn)品的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期,提高產(chǎn)品的售價(jià),并增加維護(hù)次數(shù),以獲取更高的期望利潤(rùn)。

此外,產(chǎn)品的可靠性和維修成本對(duì)預(yù)防性維護(hù)策略、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期與價(jià)格聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果具有重要影響。在模型參數(shù)θi(i=0,1,2)和CPM已知的情況下,分析參數(shù)θ3和Cr對(duì)制造商期望利潤(rùn)的影響。當(dāng)其他分參數(shù)不變時(shí),隨著θ3的值增加,產(chǎn)品的可靠性降低,即產(chǎn)品的故障率增加。由表4可知,參數(shù)θ3的值越大,制造商的期望利潤(rùn)將會(huì)越小,與此同時(shí)優(yōu)化后的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期逐漸減小,在預(yù)防性維護(hù)策略不變的情況下,受到二維基礎(chǔ)質(zhì)保期減小的影響,產(chǎn)品的質(zhì)保成本和最優(yōu)價(jià)格將會(huì)逐漸減小,在一定程度上彌補(bǔ)了由二維基礎(chǔ)質(zhì)保期縮減造成的產(chǎn)品銷量的下滑,從而有利于抑制制造商期望利潤(rùn)的下降。因此,當(dāng)參數(shù)θ3的值增加時(shí),制造商應(yīng)適當(dāng)縮減產(chǎn)品的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期,以彌補(bǔ)由產(chǎn)品的可靠性下降造成的制造商期望利潤(rùn)的下滑。

表4 故障率函數(shù)的常數(shù)系數(shù)θ3的敏感性分析

不同維修成本Cr下的優(yōu)化結(jié)果如表5所示。由表5可知,隨著維修成本Cr的增加,質(zhì)保成本和價(jià)格的變化并不規(guī)律,這是由于質(zhì)保成本同時(shí)受到二維基礎(chǔ)質(zhì)保期、維修成本Cr和預(yù)防性維護(hù)策略的影響造成的。從總體趨勢(shì)來(lái)看,隨著維修成本Cr的增加,產(chǎn)品的二維基礎(chǔ)質(zhì)保期逐漸縮減,銷量和制造商期望利潤(rùn)呈現(xiàn)出下滑趨勢(shì)。

表5 維修成本Cr的敏感性分析

5 結(jié)束語(yǔ)

在二維質(zhì)保研究中,預(yù)防性維護(hù)策略設(shè)計(jì)與二維質(zhì)保期優(yōu)化密切相關(guān)。本文基于產(chǎn)品市場(chǎng)需求,將預(yù)防性維護(hù)策略、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期和產(chǎn)品價(jià)格進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化研究。首先,采用虛擬年齡方法描述周期預(yù)防性維護(hù)的效果,構(gòu)建了考慮預(yù)防性維護(hù)水平和次數(shù)的質(zhì)保成本模型。并根據(jù)不同顧客的產(chǎn)品使用率差異,提出了基于二維質(zhì)保期的需求模型。然后,以制造商期望利潤(rùn)最大化為目標(biāo),采用網(wǎng)格搜索方法確定了最優(yōu)的產(chǎn)品價(jià)格、二維基礎(chǔ)質(zhì)保期和預(yù)防性維護(hù)策略。結(jié)合算例分析,比較了同時(shí)對(duì)預(yù)防性維護(hù)策略優(yōu)化和給定預(yù)防性維護(hù)策略兩種情形下的二維基礎(chǔ)質(zhì)保方案。研究結(jié)果表明,在二維基礎(chǔ)質(zhì)保范圍內(nèi),對(duì)預(yù)防性維護(hù)策略的優(yōu)化有利于制造商制定二維質(zhì)保期更長(zhǎng)的基礎(chǔ)質(zhì)保策略,同時(shí)有利于提高制造商的期望利潤(rùn)。

本文主要對(duì)二維質(zhì)保產(chǎn)品的基礎(chǔ)質(zhì)保策略與價(jià)格優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行研究,沒(méi)有考慮不同顧客對(duì)延長(zhǎng)質(zhì)保服務(wù)的需求,如何實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)質(zhì)保與延長(zhǎng)質(zhì)保的整體優(yōu)化有待進(jìn)一步研究。此外,隨著顧客個(gè)性化質(zhì)保需求的增加,產(chǎn)品質(zhì)保方案的定制化設(shè)計(jì)成為一種發(fā)展趨勢(shì),考慮產(chǎn)品使用率差異性的定制化質(zhì)保方案設(shè)計(jì)是下一步研究工作的重點(diǎn)。