產(chǎn)能約束下領(lǐng)導(dǎo)者具有雙目標(biāo)的產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)研究

林志炳,王貴用

(福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福建 福州 350116)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,市場(chǎng)多樣化和個(gè)性化需求日愈凸顯,企業(yè)面臨著巨大的挑戰(zhàn)(需要在控制成本的前提下迎合不同市場(chǎng)中的顧客需求)。因此,傳統(tǒng)的大規(guī)模生產(chǎn)模式已越來越不適應(yīng)快速多變的市場(chǎng)需求。以客戶需求為導(dǎo)向的產(chǎn)品族設(shè)計(jì)及生產(chǎn)模式充分結(jié)合了規(guī)模經(jīng)濟(jì)性與范圍經(jīng)濟(jì)性,在保證產(chǎn)品質(zhì)量和成本效益的前提下,快速、靈活、可靠地交付客戶認(rèn)可的產(chǎn)品或服務(wù),已經(jīng)逐漸成為企業(yè)競(jìng)相選用的一種高效競(jìng)爭(zhēng)手段。MEYER等[1]最早提出了產(chǎn)品族的概念(以產(chǎn)品平臺(tái)為基礎(chǔ),可以滿足不同客戶個(gè)性化需求的一系列產(chǎn)品)。在產(chǎn)品族生產(chǎn)模式下,企業(yè)在市場(chǎng)中的競(jìng)爭(zhēng)主體不再是單一產(chǎn)品,而是一組功能相近、結(jié)構(gòu)相似、工藝相當(dāng)?shù)漠a(chǎn)品族[1]。產(chǎn)品族通過使用相同的公共產(chǎn)品模塊,添加不同的個(gè)性化模塊,不僅可以滿足不同客戶個(gè)性化需求,還可以提高產(chǎn)品的多樣性?；诋a(chǎn)品族的生產(chǎn)策略,可以提高產(chǎn)品模塊的通用性,而且通用性越高,生產(chǎn)供應(yīng)各產(chǎn)品變體的邊際成本越低[2-3],它的發(fā)展被認(rèn)為是一種優(yōu)化制造企業(yè)內(nèi)部生產(chǎn)復(fù)雜性和外部需求多樣性的手段,相關(guān)研究已成為當(dāng)前的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

目前,圍繞產(chǎn)品族的研究主要聚焦于模塊化分析[4-5]、產(chǎn)品平臺(tái)規(guī)劃[1,6-9]、產(chǎn)品族配置[10-11]、產(chǎn)品族演化[12-14]、產(chǎn)品族供應(yīng)鏈設(shè)計(jì)[15-17]等主題,針對(duì)產(chǎn)品族市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的研究則相對(duì)較少?，F(xiàn)實(shí)中,產(chǎn)品族涉及的產(chǎn)品變體較多,而且市場(chǎng)中生產(chǎn)相互競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)品族的企業(yè)數(shù)量也相對(duì)較多。例如,三廂小型轎車豐田威馳產(chǎn)品族,每一種產(chǎn)品變體均具有相同的車身、底盤、座椅等公共模塊,但根據(jù)顧客的個(gè)性化需求,可對(duì)變速箱、發(fā)動(dòng)機(jī)等可選模塊選用不同的配置,得到不同的產(chǎn)品變體:1.5L手動(dòng)前行版、1.5L手動(dòng)創(chuàng)行版、1.5LCVT創(chuàng)行版、1.5LCVT智行版、1.5LCVT舒行版。長(zhǎng)安悅翔、現(xiàn)代瑞納和起亞煥馳等三廂小型轎車也生產(chǎn)供應(yīng)類似的產(chǎn)品族。因此,需要通過網(wǎng)絡(luò)的方式對(duì)產(chǎn)品族的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題進(jìn)行描述和分析。此外,在有些現(xiàn)實(shí)的網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)中,經(jīng)常存在個(gè)別的寡頭企業(yè)作為行業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)者,而其它企業(yè)作為跟隨者。豐田汽車在燃油車的生產(chǎn)制造方面,掌握著相比其他企業(yè)更多的先進(jìn)制造技術(shù)及專利,其市場(chǎng)銷售量也占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)(根據(jù)車主指南網(wǎng)站上的數(shù)據(jù)(1)https://www.icauto.com.cn/rank/car_441.html;,豐田威馳、長(zhǎng)安悅翔、現(xiàn)代瑞納、起亞煥馳在中國(guó)2021年的銷售量分別為52 993輛、32 566輛、10 723輛、29 389輛),可見豐田汽車在三箱小型轎車銷售市場(chǎng)上占主導(dǎo)優(yōu)勢(shì)。作為燃油車行業(yè)的領(lǐng)軍企業(yè),追求利潤(rùn)并非豐田汽車的唯一目標(biāo),其在生產(chǎn)銷售過程中還關(guān)注企業(yè)社會(huì)責(zé)任這一目標(biāo),特別是對(duì)于消費(fèi)者利益的關(guān)注。例如,豐田在《Toyota Way 2020》中提出了“量產(chǎn)幸福”的企業(yè)使命(2)https://www.sohu.com/a/421214305_122143;,以及豐田一直以來遵從“顧客第一”的企業(yè)理念(3)http://www.toyota.com.cn/toyotatimes/special_report/20210625-1.php。,說明豐田希望通過提升消費(fèi)者的效用,從而履行企業(yè)社會(huì)責(zé)任。對(duì)于這種不對(duì)稱的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及領(lǐng)導(dǎo)者的雙目標(biāo)決策問題,可能會(huì)影響到整個(gè)產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)的均衡,對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的企業(yè)和消費(fèi)者產(chǎn)生不可忽略的影響,具有重要的研究意義。此外,產(chǎn)品族市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中也經(jīng)常存在產(chǎn)能受限的情況。比如,近年來疫情導(dǎo)致的汽車芯片短缺現(xiàn)象,使得各汽車廠商不得不調(diào)整生產(chǎn)供應(yīng)策略,以應(yīng)對(duì)產(chǎn)能約束。在產(chǎn)能受限的情況下,企業(yè)會(huì)將產(chǎn)能用于生產(chǎn)供應(yīng)利潤(rùn)更高的產(chǎn)品變體,而減少供應(yīng)利潤(rùn)更低的產(chǎn)品變體,使各產(chǎn)品變體的供應(yīng)量產(chǎn)生內(nèi)生的關(guān)聯(lián),因此產(chǎn)能約束對(duì)網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)的影響比單一市場(chǎng)的影響更復(fù)雜,使得企業(yè)進(jìn)行供應(yīng)決策時(shí)面臨更大的挑戰(zhàn)。同時(shí),在產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中,存在企業(yè)的總產(chǎn)能約束與各產(chǎn)品變體的產(chǎn)能約束,它們對(duì)于網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)又會(huì)產(chǎn)生不一樣的影響,因此研究其影響對(duì)企業(yè)和市場(chǎng)監(jiān)管者具有重要意義。具體而言,本文嘗試解決以下研究問題:對(duì)于產(chǎn)能約束下領(lǐng)導(dǎo)者具有雙目標(biāo)的產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解?對(duì)于網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,其均衡結(jié)果存在哪些特性?領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)各目標(biāo)的不同側(cè)重程度會(huì)對(duì)均衡結(jié)果產(chǎn)生什么樣的影響?企業(yè)的產(chǎn)能約束會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)競(jìng)爭(zhēng)帶來哪些影響?領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)和跟隨者企業(yè)在網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)拓展及聯(lián)盟中存在怎樣的區(qū)別?

目前,網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn),涌現(xiàn)出一些對(duì)本文具有重要參考價(jià)值的文獻(xiàn),這些文獻(xiàn)主要基于博弈的視角展開研究。有些學(xué)者從同時(shí)博弈的視角出發(fā),研究網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題。BIMPIKIS等[18]研究了多家企業(yè)在多個(gè)地區(qū)的古諾競(jìng)爭(zhēng)問題,分析了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)均衡結(jié)果、企業(yè)消費(fèi)者剩余和社會(huì)福利的影響。ALSABAH等[19]在BIMPIKIS等[18]研究的基礎(chǔ)上,考慮企業(yè)存在產(chǎn)能約束的情況,分析產(chǎn)能約束對(duì)網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)生的影響。HUANG等[20]在BIMPIKIS等[18]工作的基礎(chǔ)上,研究了網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)規(guī)劃者參與古諾博弈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,分析了網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)社會(huì)福利的變化情況。與這些研究不同的是,本文從多家企業(yè)多種產(chǎn)品變體的角度出發(fā)研究網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題。有兩篇文獻(xiàn)與本文的研究類似,分析多家企業(yè)多產(chǎn)品的網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)。FARAHAT等[21]分析了多產(chǎn)品網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中,影響網(wǎng)絡(luò)效率的因素。KLUBERG等[22]針對(duì)多產(chǎn)品網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,分析了競(jìng)爭(zhēng)相比聯(lián)盟造成的企業(yè)利潤(rùn)、消費(fèi)者剩余的損失,從而得到競(jìng)爭(zhēng)的影響。這兩篇文獻(xiàn)不是分析產(chǎn)品族問題,沒有考慮產(chǎn)品模塊的通用性,生產(chǎn)成本均假設(shè)為線性成本函數(shù),但本文研究的是產(chǎn)品模塊存在通用性的非線性成本問題。此外,上述網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)研究均考慮參與者同時(shí)決策的同時(shí)博弈問題,并未考慮網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)中存在不同決策順序的序貫博弈問題。有3篇文獻(xiàn)從序貫博弈視角出發(fā),基于雙層規(guī)劃研究網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,對(duì)本文具有重要參考價(jià)值。MOTALLEB等[23]基于序貫博弈,研究了能源運(yùn)營(yíng)商與儲(chǔ)能企業(yè)在多個(gè)市場(chǎng)的能源(同質(zhì)商品)供應(yīng)問題。GE等[24]基于雙層規(guī)劃,研究了兩個(gè)不同地位的制造商在多個(gè)零售渠道的網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題。PALSULE-DESAI等[25]基于雙層規(guī)劃,研究了中介機(jī)構(gòu)對(duì)于網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的影響。與這些研究不同的是,本文不僅考慮網(wǎng)絡(luò)中領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者的序貫博弈,同時(shí)也考慮多個(gè)跟隨者的同時(shí)博弈。此外,本文還考慮了網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)中領(lǐng)導(dǎo)者具有雙目標(biāo)的情況。

近年來,雙目標(biāo)優(yōu)化在市場(chǎng)運(yùn)營(yíng)管理中得到廣泛的應(yīng)用。其中大部分研究均是集中于單層規(guī)劃問題的雙目標(biāo)優(yōu)化。例如,WU等[26]針對(duì)產(chǎn)品族供應(yīng)鏈設(shè)計(jì)問題,構(gòu)建雙目標(biāo)優(yōu)化模型,采用NSGA-Ⅱ算法求解近似Pareto解集。MOHAMMADI等[27]針對(duì)供應(yīng)鏈中的調(diào)度和路徑規(guī)劃問題,構(gòu)建雙目標(biāo)混合整數(shù)規(guī)劃模型,采用混合粒子群算法求解近似Pareto解集。MOHEBALIZADEHGASHTI等[28]針對(duì)綠色肉類供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問題,建立雙目標(biāo)混合整數(shù)規(guī)劃模型,并設(shè)計(jì)一種ε-constraint算法求解其Pareto解集。也有部分研究與本文類似,分析雙層規(guī)劃中的雙目標(biāo)優(yōu)化問題。例如,蹇潔等[29]分析了上層制造商考慮利潤(rùn)和環(huán)境效益雙目標(biāo),下層零售商考慮利潤(rùn)最大化的雙層規(guī)劃問題。夏暉等[30]研究了上層政府考慮環(huán)境效益和經(jīng)濟(jì)效益雙目標(biāo),下層企業(yè)追求利潤(rùn)最大化的雙層規(guī)劃問題。但是這兩篇文獻(xiàn)均是基于權(quán)重法,給定上層目標(biāo)的權(quán)重值,先將上層雙目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo),然后再按單目標(biāo)方式進(jìn)行求解,并未得到其Pareto解集。此外,這兩篇文獻(xiàn)均未考慮企業(yè)存在產(chǎn)能約束的情況,但是產(chǎn)能約束對(duì)網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)具有重要影響。

關(guān)于網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中產(chǎn)能約束的研究?jī)H有兩篇文獻(xiàn)。ALSABAH等[19]基于二部圖網(wǎng)絡(luò),開發(fā)了一個(gè)單一商品且具有產(chǎn)能約束的多企業(yè)多區(qū)域網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)模型,分析了產(chǎn)能約束對(duì)網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的影響。KLUBERG等[22]針對(duì)線性成本及產(chǎn)能約束下多企業(yè)多產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)問題,分析了企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)的影響。但是這兩篇文獻(xiàn)僅針對(duì)企業(yè)的總產(chǎn)能約束,并未分析多種產(chǎn)品變體均存在產(chǎn)能約束的情況,而這兩種產(chǎn)能約束會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)生不一樣的影響。此外,他們均研究企業(yè)生產(chǎn)成本為線性成本的古諾市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,并未分析非線性成本,以及網(wǎng)絡(luò)中存在領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)的情況。

通過上述相關(guān)文獻(xiàn)的梳理,發(fā)現(xiàn)有眾多學(xué)者基于博弈論、雙層規(guī)劃或雙目標(biāo)優(yōu)化研究網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)及優(yōu)化問題,但尚未在雙層規(guī)劃模型中考慮上層領(lǐng)導(dǎo)者的雙目標(biāo)決策,以及下層多個(gè)跟隨者的古諾博弈問題,而這種情景確實(shí)存在于現(xiàn)實(shí)中。此外,大多數(shù)研究沒有考慮企業(yè)的產(chǎn)能約束問題,但是產(chǎn)能約束又是企業(yè)運(yùn)營(yíng)過程中必定存在的約束條件,而且會(huì)對(duì)決策產(chǎn)生重要影響。因此,本文構(gòu)建產(chǎn)能約束下領(lǐng)導(dǎo)者具有雙目標(biāo)、跟隨者進(jìn)行古諾博弈的產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)模型,然后結(jié)合NSGA-Ⅱ、雙層規(guī)劃算法和古諾博弈模擬算法設(shè)計(jì)含博弈的雙層規(guī)劃算法(Two-Level Programming Algorithm with Games,TLPAWG),求解該問題的Pareto解集,并對(duì)算法的有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)?；谠撍惴ǚ治龈黝惍a(chǎn)品變體需求斜率、企業(yè)各類產(chǎn)品變體的產(chǎn)能約束和企業(yè)的總產(chǎn)能約束對(duì)網(wǎng)絡(luò)均衡的影響;并對(duì)比分析網(wǎng)絡(luò)中領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)和跟隨者企業(yè)的市場(chǎng)拓展行為和聯(lián)盟策略。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要有以下4點(diǎn):①?gòu)木W(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)角度,分析產(chǎn)品族的決策問題;②結(jié)合雙目標(biāo)、古諾博弈和雙層規(guī)劃思想,設(shè)計(jì)了TLPAWG算法求解產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題;③考慮了網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)中,領(lǐng)導(dǎo)者具有雙目標(biāo)和企業(yè)存在產(chǎn)能約束的情況;④構(gòu)建了網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)中企業(yè)聯(lián)盟的模型,并對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者分別進(jìn)行企業(yè)聯(lián)盟的策略分析。

1 問題描述與數(shù)學(xué)模型

1.1 問題描述

網(wǎng)絡(luò)中存在一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者,不失一般性假設(shè)企業(yè)f1為領(lǐng)導(dǎo)者,其他企業(yè)為跟隨者。領(lǐng)導(dǎo)者除了考慮自身利潤(rùn)的最大化,還會(huì)考慮整個(gè)網(wǎng)絡(luò)總消費(fèi)者剩余的最大化,是一個(gè)雙目標(biāo)決策主體。在領(lǐng)導(dǎo)者進(jìn)行決策后,所有跟隨者企業(yè)間會(huì)進(jìn)行古諾博弈,追求各自利潤(rùn)的最大化。整個(gè)產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)是一個(gè)雙層規(guī)劃問題,其中上層為一個(gè)雙目標(biāo)優(yōu)化問題,下層為一個(gè)古諾博弈問題。圖1為某個(gè)產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)二部圖示例。

1.2 數(shù)學(xué)模型

1.2.1 各企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)模型

參考文獻(xiàn)[18],假設(shè)產(chǎn)品變體vk的價(jià)格如下:

(1)

(2)

(3)

1.2.2 總消費(fèi)者剩余函數(shù)模型

參考文獻(xiàn)[32],整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的總消費(fèi)者剩余函數(shù)設(shè)置如下:

(4)

1.2.3 上層領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型

不失一般性,假設(shè)企業(yè)f1為領(lǐng)導(dǎo)者。它除了追求自身利潤(rùn)的最大化,還追求整個(gè)網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)總消費(fèi)者剩余最大化,因此它有以下兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)及相應(yīng)的約束條件:

(5)

(6)

s.t.

(7)

(8)

(9)

其中:式(5)表示企業(yè)f1的利潤(rùn)最大化;式(6)表示企業(yè)f1追求整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的總消費(fèi)者剩余最大化;式(7)和式(8)為企業(yè)f1生產(chǎn)供應(yīng)產(chǎn)品變體vk的產(chǎn)能約束;式(9)是企業(yè)f1的總產(chǎn)能約束。

1.2.4 下層跟隨者企業(yè)的古諾博弈模型

除f1以外的其他所有企業(yè)為跟隨者,它們之間進(jìn)行古諾博弈,追求各自利潤(rùn)的最大化。每一個(gè)跟隨者企業(yè)的目標(biāo)函數(shù)及約束條件如下:

(10)

s.t.

(11)

(12)

(13)

其中:式(10)表示企業(yè)fi(i≠1)的利潤(rùn)最大化;式(11)和式(12)為企業(yè)fi(i≠1)生產(chǎn)供應(yīng)產(chǎn)品變體vk的產(chǎn)能約束;式(13)為企業(yè)fi(i≠1)的總產(chǎn)能約束。

1.2.5 雙層規(guī)劃模型

領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)f1與其他跟隨者企業(yè)fi(i≠1)之間進(jìn)行Stackelberg博弈,因此可將其建模為雙層規(guī)劃模型:

(14)

?

?

(15)

其中:式(14)是雙層規(guī)劃模型中上層的兩個(gè)目標(biāo),求解結(jié)果是一個(gè)Pareto解集,對(duì)應(yīng)的約束條件為式(7)～式(9);式(15)為雙層規(guī)劃模型中下層多個(gè)博弈主體的目標(biāo),求解結(jié)果是一個(gè)均衡解集,對(duì)應(yīng)的約束條件為式(11)～式(13)。

1.2.6 Pareto均衡解集的存在性與唯一性

命題1的證明參考附錄。

2 TLPAWG算法

2.1 算法求解步驟

上述模型涉及雙層規(guī)劃、雙目標(biāo)優(yōu)化和古諾博弈等問題,且模型的上下層中又含有約束條件,目前尚無(wú)專門求解這類模型的算法。本節(jié)基于雙層規(guī)劃思想;NSGA-Ⅱ算法和古諾博弈模擬算法,設(shè)計(jì)一種含博弈的雙層規(guī)劃算法TLPAWG。具體求解流程如下:

(1)種群初始化 基于上下層變量的約束條件,隨機(jī)生成初始種群。

(2) 選擇進(jìn)入下層求解的種群 計(jì)算各個(gè)體的上層目標(biāo)函數(shù)值,然后計(jì)算個(gè)體違背約束的個(gè)數(shù)和違背約束值的總和,從而判斷是否為有效個(gè)體,再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值和個(gè)體違背約束的個(gè)數(shù)及違背約束值的總和對(duì)個(gè)體進(jìn)行排序,選取精英個(gè)體進(jìn)入下層進(jìn)行求解。

(3) 迭代求解下層均衡解 通過古諾博弈模擬算法,迭代求解下層均衡解,直到迭代誤差小于允許范圍或迭代次數(shù)大于最大迭代次數(shù),則停止迭代。

(4) 判斷是否為有效解 檢查每個(gè)個(gè)體的下層解是否違背相應(yīng)的約束條件,計(jì)算每個(gè)個(gè)體違背約束條件的個(gè)數(shù)及違背約束值的總和,然后將種群帶入上層。

(5)對(duì)種群進(jìn)行評(píng)價(jià) 基于上層目標(biāo)的函數(shù)值和個(gè)體的有效性,對(duì)個(gè)體進(jìn)行重新評(píng)價(jià)。

(6) 終止條件檢驗(yàn) 判斷是否達(dá)到最大遺傳代數(shù),若達(dá)到最大遺傳代數(shù),則輸出Pareto均衡解集;若尚未達(dá)到最大遺傳代數(shù),則基于NSGA-Ⅱ?qū)ΨN群進(jìn)行選擇、交叉、變異操作,從而生成子代種群。

(7) 進(jìn)入下一輪循環(huán) 將生成的子代種群與父代種群進(jìn)行合并,然后轉(zhuǎn)步驟(2)開始新一輪的循環(huán)。

TLPAWG算法流程圖如圖2所示。

2.2 染色體設(shè)計(jì)

根據(jù)模型的特點(diǎn)和算法求解過程,染色體采用雙層實(shí)數(shù)編碼。上層染色體長(zhǎng)度為上層決策變量個(gè)數(shù),每一個(gè)基因表示一個(gè)上層決策變量取值。下層染色體長(zhǎng)度為下層決策變量個(gè)數(shù),每一個(gè)基因表示一個(gè)下層決策變量取值,染色體編碼如圖3所示。

2.3 精英選擇策略

在算法步驟(2)中采用精英選擇策略,提高算法擇優(yōu)性能。首先,根據(jù)解的有效性和目標(biāo)函數(shù)值確定每個(gè)個(gè)體的支配關(guān)系,如圖4所示。所有有效解均支配所有無(wú)效解,有效解的支配關(guān)系、Pareto前沿線等級(jí)及擁擠度計(jì)算方式與NSGA-Ⅱ一致。無(wú)效解的支配關(guān)系按照個(gè)體違背約束條件個(gè)數(shù)及違背約束值的總和進(jìn)行確定,違背約束條件個(gè)數(shù)越少及違背約束值總和越小的個(gè)體Pareto前沿線等級(jí)越高。違背約束條件個(gè)數(shù)相同且違背約束值總和相等的處于同一等級(jí)Pareto前沿線,其擁擠程度與有效解計(jì)算一致。

2.4 算法設(shè)置

設(shè)置種群數(shù)量為40,最大遺傳代數(shù)為60,每位基因的交叉率為0.05,變異率為0.05,交叉方式如式(16)所示,變異方式如式(17)所示,下層古諾博弈模擬算法的最大迭代次數(shù)為30。

(16)

q1·(newchild)=q1·(child)+mutFlag°randN。

(17)

其中:°表示哈達(dá)瑪積(矩陣點(diǎn)乘),即維數(shù)相同的兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)位置的數(shù)相乘,得到新的矩陣;randN為一組0-1之間的隨機(jī)數(shù);croFlag為一組0-1變量,當(dāng)某位基因被選中進(jìn)行交叉時(shí),該位置為1;否則為0;mutFlag為一組0-1變量,當(dāng)某位基因被選中進(jìn)行變異時(shí),該位置為1;否則為0。

2.5 算法運(yùn)行結(jié)果

基于TLPAWG算法,求得領(lǐng)導(dǎo)者Pareto近似均衡解集如圖6所示,其中圖6a為原始數(shù)據(jù)近似均衡解集,圖6b為經(jīng)過高斯加權(quán)移動(dòng)平均濾波器對(duì)近似均衡解集進(jìn)行平滑處理后的圖形。為了減少個(gè)別近似解誤差帶來的影響,以及圖形顯示的效果,后文中的圖形均采用高斯加權(quán)移動(dòng)平均濾波器處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行繪制。

圖7為均衡解集中,方案A和方案B的均衡結(jié)果。方案A為領(lǐng)導(dǎo)者總利潤(rùn)最優(yōu)方案,其中企業(yè)f1至f6的總利潤(rùn)分別為0.470 9,0.105 5,0.187 4,0.189 3,0.089 7,0.001 7;產(chǎn)品變體vA～vF的價(jià)格分別為2.569 6,1.455 5,2.169 4,2.139 9,2.179 9,1.172 4;總消費(fèi)者剩余為1.431 7。方案B為總消費(fèi)者剩余最優(yōu)方案,其中企業(yè)f1～f6的總利潤(rùn)分別為0.317 2,0.086 5,0.189 7,0.187 4,0.107 9,0.013 9;產(chǎn)品變體vA～vF的價(jià)格分別為1.000 0,1.065 2,2.184 2,2.140 1,2.168 4,1.486 9;總消費(fèi)者剩余為1.698 8。

2.6 算法有效性評(píng)價(jià)

現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)于雙層規(guī)劃中,上層為雙目標(biāo)優(yōu)化問題的求解方法,一般是基于線性加權(quán)法先將上層的雙目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo),然后再進(jìn)行求解[29-30]。因此,本文在[0 1]之間均勻地取40組權(quán)重值將上層的雙目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo),然后上層采用遺傳算法,下層采用古諾博弈模擬算法,求解圖5網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,得到40個(gè)均衡結(jié)果,再?gòu)闹羞x取得到其Pareto解集,如圖6所示。此外,本文還將TLPAWG算法的上層改用多目標(biāo)粒子群算法(Multi-Objective Particle Swarm Optimization,MOPSO),下層仍用古諾博弈模擬算法,求解圖5網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,得到其Pareto解集,如圖6所示。這兩種算法的參數(shù)設(shè)置與2.4節(jié)的參數(shù)設(shè)置一致。

通過評(píng)價(jià)Pareto解集的廣泛性、收斂性和均勻性對(duì)3種算法的有效性進(jìn)行評(píng)價(jià),分別選取多樣化指標(biāo)(DM)、平均理想距離(MID)和間距度量指標(biāo)(SM)進(jìn)行評(píng)估。

多樣化指標(biāo)DM如式(18)所示,其中g(shù)i是第i個(gè)目標(biāo)的函數(shù)值。DM所求的值為圖6中各Pareto解集最左邊非劣解與最右邊非劣解的歐式距離,其值越大說明Pareto解集廣泛性越好。

(18)

(19)

(20)

由3種算法求解得到的Pareto解集,分別計(jì)算各指標(biāo)值,如表1所示。通過比較可以發(fā)現(xiàn)TLPAWG算法的DM值相對(duì)較大,說明其Pareto均衡解集的廣泛性更好。此外,TLPAWG算法的MID和SM值相對(duì)較小,說明其Pareto均衡解集的收斂性和均勻性更好。由此,可以看出TLPAWG算法求解上層為雙目標(biāo),下層為多主體古諾博弈的雙層規(guī)劃模型具有較好的性能。

表1 3種算法各評(píng)價(jià)指標(biāo)值比較分析

3 敏感性分析

對(duì)于圖8中的網(wǎng)絡(luò),βA和βD均分別取12、16、20,其他參數(shù)取值不變,求解相應(yīng)的近似均衡解集,然后用高斯加權(quán)移動(dòng)平均濾波器對(duì)近似均衡解集進(jìn)行平滑處理,繪制各企業(yè)利潤(rùn)變化圖,如圖9所示。由圖9可知:

(1)網(wǎng)絡(luò)中存在漣漪效應(yīng)。由圖9a～圖9c可以看出,隨著企業(yè)f1、f2和f3離產(chǎn)品變體pA的距離越來越遠(yuǎn),βA的變化對(duì)企業(yè)f1利潤(rùn)的影響最大,對(duì)企業(yè)f2利潤(rùn)的影響次之,對(duì)企業(yè)f3利潤(rùn)的影響最小;同樣,由圖9d～圖9f可以看出,βD對(duì)于企業(yè)f1、f2和f3利潤(rùn)的影響也存在漣漪效應(yīng)。

(2)領(lǐng)導(dǎo)者參與的產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)βk越大,對(duì)關(guān)注總消費(fèi)者剩余的領(lǐng)導(dǎo)者越有利;但是對(duì)關(guān)注自身利潤(rùn)的領(lǐng)導(dǎo)者越不利。由圖9a可知,隨著βA的增大,企業(yè)f1具有更寬泛的總消費(fèi)者剩余調(diào)節(jié)范圍,使其能夠更好地控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的總消費(fèi)者剩余,但是其利潤(rùn)會(huì)降低。因此,對(duì)于更加關(guān)注網(wǎng)絡(luò)總消費(fèi)者剩余目標(biāo)的領(lǐng)導(dǎo)者,βA的增大對(duì)其是有利的,但是對(duì)于更加關(guān)注總利潤(rùn)目標(biāo)的領(lǐng)導(dǎo)者,βA的增大對(duì)其是不利的。但是對(duì)于領(lǐng)導(dǎo)者不參與的產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng),βk的影響與領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)兩個(gè)目標(biāo)的關(guān)注程度無(wú)關(guān),如圖9d中βD的增大對(duì)企業(yè)f1的影響。

4 產(chǎn)能約束影響分析

對(duì)于圖8中的網(wǎng)絡(luò),Q2分別取0.05、0.1、0.3,其他參數(shù)取值不變,求解得到相應(yīng)的近似均衡解集,然后用高斯加權(quán)移動(dòng)平均濾波器對(duì)近似均衡解集進(jìn)行平滑處理,繪制圖12和圖13,可以發(fā)現(xiàn)企業(yè)總產(chǎn)能約束不僅沒有抑制網(wǎng)絡(luò)的漣漪效應(yīng),反而加大了網(wǎng)絡(luò)的漣漪效應(yīng)。如圖12和圖13,當(dāng)Q2=0.3時(shí),隨著企業(yè)f1追求總消費(fèi)者剩余CS的增大,企業(yè)f1、f2和f3的各類產(chǎn)品變體供應(yīng)量和利潤(rùn)呈現(xiàn)波動(dòng)幅度逐級(jí)減小的趨勢(shì);當(dāng)Q2=0.1時(shí),f3的供應(yīng)量q3C和利潤(rùn)π3波動(dòng)反而變大了;當(dāng)Q2=0.05時(shí),企業(yè)f3的供應(yīng)量q3C和利潤(rùn)π3的波動(dòng)更大了。因此,總產(chǎn)能約束不僅沒有抑制漣漪效應(yīng),反而更緊的總產(chǎn)能約束會(huì)加大網(wǎng)絡(luò)的漣漪效應(yīng)。這主要是因?yàn)槠髽I(yè)的總產(chǎn)能約束在網(wǎng)絡(luò)中起到類似“蓄水池”的作用。當(dāng)某產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)的需求突然增大,由于企業(yè)的總產(chǎn)能約束較緊,則它對(duì)于需求突然的增大,不能通過擴(kuò)大自身的產(chǎn)能來消化這種沖擊,只能將這個(gè)沖擊傳遞到相鄰的市場(chǎng)和企業(yè)當(dāng)中,因此更緊的總產(chǎn)能約束,反而加大了網(wǎng)絡(luò)的漣漪效應(yīng)。

此外,存在一個(gè)特別有趣的現(xiàn)象,在某些情況下,企業(yè)存在更緊的總產(chǎn)能約束對(duì)其自身卻是有利的。由圖12可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)企業(yè)f1追求利潤(rùn)最大化,而不考慮總消費(fèi)者剩余時(shí)(即方案A,各曲線最左邊的點(diǎn)),企業(yè)f2總產(chǎn)能約束為0.1的利潤(rùn)高于總產(chǎn)能約束為0.3的利潤(rùn),而且企業(yè)f1和企業(yè)f3的利潤(rùn)也更高。這主要是由于企業(yè)f2更緊的總產(chǎn)能約束在一定程度上限制其與其他企業(yè)的惡性競(jìng)爭(zhēng),從而提高了自身和其它企業(yè)的利潤(rùn)?？梢?企業(yè)存在更緊的總產(chǎn)能約束對(duì)自身也可能是有利的。

5 企業(yè)市場(chǎng)拓展及聯(lián)盟

5.1 企業(yè)增加供應(yīng)新產(chǎn)品變體

如圖14所示,為了研究領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者在市場(chǎng)拓展時(shí)的差異,分別計(jì)算圖8網(wǎng)絡(luò)中企業(yè)f1或企業(yè)f3拓展供應(yīng)所有產(chǎn)品變體的近似均衡解集,然后用高斯加權(quán)移動(dòng)平均濾波器對(duì)近似均衡解集進(jìn)行平滑處理,繪制圖15和圖16。

由圖15和圖16可以發(fā)現(xiàn),領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)f1的市場(chǎng)拓展,更具有侵略性,在領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)f1完成各類產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)的拓展后,其各產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)占有率和總利潤(rùn)均大幅度提升;但是跟隨者企業(yè)f3完成拓展后,各類產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)占有率和總利潤(rùn)提升相對(duì)較小。這說明領(lǐng)導(dǎo)者的先動(dòng)優(yōu)勢(shì),在市場(chǎng)拓展中具有重要作用,會(huì)急劇增加其各類產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)占有率和利潤(rùn),從而進(jìn)一步加強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)者的壟斷地位。跟隨者的市場(chǎng)拓展,雖然也能增加其各類產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)占有率和利潤(rùn),但是相比于領(lǐng)導(dǎo)者增加較小。

5.2 企業(yè)聯(lián)盟

對(duì)于企業(yè)聯(lián)盟,由于網(wǎng)絡(luò)中領(lǐng)導(dǎo)者具有雙目標(biāo),但跟隨者僅有一個(gè)目標(biāo),因此定義一種新的聯(lián)盟決策方式。對(duì)于聯(lián)盟的企業(yè),它們均追求聯(lián)盟企業(yè)總利潤(rùn)的最大化,然后分別決策各類產(chǎn)品變體的供應(yīng)量,如式(21)所示。產(chǎn)品生產(chǎn)技術(shù)對(duì)于企業(yè)來說具有一定的機(jī)密性,為此考慮聯(lián)盟并不會(huì)進(jìn)行技術(shù)共享,從而并不會(huì)影響各企業(yè)所能生產(chǎn)供應(yīng)產(chǎn)品變體的類型,即聯(lián)盟不改變網(wǎng)絡(luò)的供應(yīng)結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上,本文研究網(wǎng)絡(luò)中某兩個(gè)企業(yè)fi和fj之間的聯(lián)盟行為。企業(yè)fi和fj聯(lián)盟意味著它們以聯(lián)盟企業(yè)總利潤(rùn)最大化為目標(biāo),然后分別決策各自供應(yīng)產(chǎn)品變體類型的供應(yīng)量。此外,若領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者聯(lián)盟,則領(lǐng)導(dǎo)者以聯(lián)盟企業(yè)總利潤(rùn)最大化和總消費(fèi)者剩余最大化為雙目標(biāo),決策領(lǐng)導(dǎo)者供應(yīng)的各類產(chǎn)品變體供應(yīng)量;跟隨者以聯(lián)盟企業(yè)總利潤(rùn)最大化為目標(biāo),決策其供應(yīng)的各類產(chǎn)品變體供應(yīng)量。為了研究領(lǐng)導(dǎo)者與網(wǎng)絡(luò)中不同位置跟隨者之間聯(lián)盟的差異,給出如下定義。

定義1若某均衡中企業(yè)fi和fj能生產(chǎn)供應(yīng)相同的產(chǎn)品變體類型,則稱企業(yè)fi和fj為連通企業(yè);反之為非連通企業(yè)。

(21)

為了研究領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者聯(lián)盟時(shí)的聯(lián)盟策略,以及跟隨者與跟隨者之間的聯(lián)盟策略,分別對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者與連通跟隨者的聯(lián)盟、領(lǐng)導(dǎo)者與不連通跟隨者的聯(lián)盟、跟隨者與連通跟隨者的聯(lián)盟,以及跟隨者與不連通跟隨者之間的聯(lián)盟4種情況進(jìn)行分析。如圖17所示,參數(shù)取值與第3章一致,網(wǎng)絡(luò)中所有跟隨者企業(yè)除了與領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)位置關(guān)系不一致外,其他參數(shù)均一致;此外,網(wǎng)絡(luò)中所有產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)的參數(shù)也均一致。分別計(jì)算領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)f1與跟隨者企業(yè)f2或f3聯(lián)盟的均衡結(jié)果(企業(yè)f2和f3除了在網(wǎng)絡(luò)中的位置不一樣之外,其他因數(shù)均一樣),以及跟隨者企業(yè)f2與跟隨者企業(yè)f3或f4聯(lián)盟的均衡結(jié)果(企業(yè)f3和f4除了在網(wǎng)絡(luò)中的位置不同之外,其他因數(shù)均相同)。由圖18a和圖18b可以發(fā)現(xiàn),領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)f1與非連通企業(yè)f3聯(lián)盟帶來的總利潤(rùn)增加值和總消費(fèi)者剩余增加值均高于與連通企業(yè)f2聯(lián)盟。這說明領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)與跟隨者企業(yè)聯(lián)盟時(shí),更適合“遠(yuǎn)交近攻”的聯(lián)盟策略。這是因?yàn)轭I(lǐng)導(dǎo)者與連通企業(yè)的聯(lián)盟,主要是通過在相同產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)減緩競(jìng)爭(zhēng),從而提高聯(lián)盟企業(yè)的利潤(rùn);而與非連通企業(yè)的聯(lián)盟,則可以更好地發(fā)揮領(lǐng)導(dǎo)者的先動(dòng)優(yōu)勢(shì),有效搶占其與連通企業(yè)相同產(chǎn)品變體的市場(chǎng)份額,從而帶來更多的利潤(rùn)。但是對(duì)于跟隨者企業(yè)之間的聯(lián)盟,這種聯(lián)盟策略并不適用,由圖18c和圖18d可以發(fā)現(xiàn),跟隨者企業(yè)f2與連通跟隨者企業(yè)f3聯(lián)盟帶來的總利潤(rùn)增加值高于與非連通企業(yè)f4聯(lián)盟。這主要是因?yàn)楦S者企業(yè)與連通企業(yè)進(jìn)行聯(lián)盟時(shí),可以通過減緩相同產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng),使得聯(lián)盟利潤(rùn)得到提升;但是與非連通企業(yè)進(jìn)行聯(lián)盟時(shí),聯(lián)盟的均衡結(jié)果并不會(huì)發(fā)生改變。這說明跟隨者企業(yè)之間的聯(lián)盟,更適合采用“近交遠(yuǎn)攻”的聯(lián)盟策略。

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)產(chǎn)能約束下領(lǐng)導(dǎo)者具有雙目標(biāo)的產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,本文構(gòu)建上層為雙目標(biāo)優(yōu)化,下層為多個(gè)主體古諾博弈的雙層規(guī)劃模型。結(jié)合雙層規(guī)劃的思想、NSGA-Ⅱ和古諾博弈理論,設(shè)計(jì)TLPAWG算法,求解得到該模型的近似均衡解集。基于結(jié)果的敏感性分析、產(chǎn)能約束影響分析、企業(yè)的市場(chǎng)拓展及聯(lián)盟分析,發(fā)現(xiàn):

(1)領(lǐng)導(dǎo)者參與的產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)的需求斜率越大,則對(duì)關(guān)注總消費(fèi)者剩余的領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)越有利;需求斜率越小,則對(duì)關(guān)注自身利潤(rùn)的領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)越有利。這為關(guān)注不同目標(biāo)的領(lǐng)導(dǎo)者在選擇新產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)時(shí)提供依據(jù)。

(2)產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)中存在漣漪效應(yīng);企業(yè)的產(chǎn)品變體產(chǎn)能約束會(huì)抑制網(wǎng)絡(luò)的漣漪效應(yīng),但企業(yè)的總產(chǎn)能約束會(huì)加大網(wǎng)絡(luò)的漣漪效應(yīng);此外,企業(yè)的總產(chǎn)能約束對(duì)企業(yè)自身未必是不利的。當(dāng)擴(kuò)充產(chǎn)能會(huì)引起競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的劇烈反制,導(dǎo)致惡性競(jìng)爭(zhēng),不如適當(dāng)妥協(xié),不僅能使自身獲得更大利潤(rùn),同時(shí)也能提高網(wǎng)絡(luò)中其他成員的利潤(rùn)。

(3)領(lǐng)導(dǎo)者在市場(chǎng)拓展中相比跟隨者更具有侵略性,其進(jìn)入新產(chǎn)品變體市場(chǎng)將有更大的市場(chǎng)占有率。因此市場(chǎng)監(jiān)管者應(yīng)該出臺(tái)一些相應(yīng)的政策,以約束領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)進(jìn)入新產(chǎn)品變體市場(chǎng)的行為,避免出現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)壟斷網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)的情況。

(4)領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間更適合“遠(yuǎn)交近攻”的聯(lián)盟模式。具體而言,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)存在多個(gè)可聯(lián)盟的跟隨者企業(yè)時(shí),選擇與自身沒有相同產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)的跟隨者企業(yè)進(jìn)行聯(lián)盟更有利。跟隨者與跟隨者之間更適合“近交遠(yuǎn)攻”的聯(lián)盟模式,即當(dāng)跟隨者企業(yè)存在多個(gè)可聯(lián)盟的跟隨者企業(yè)時(shí),盡量選擇與自身具有相同產(chǎn)品變體細(xì)分市場(chǎng)的跟隨者企業(yè)進(jìn)行聯(lián)盟更有利。

本文研究了產(chǎn)能約束下領(lǐng)導(dǎo)者具有雙目標(biāo)的產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,但仍存在幾個(gè)方向值得進(jìn)一步深入研究。首先,本文只討論了存在一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的情況,但是有些產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)中存在雙領(lǐng)導(dǎo)者或多領(lǐng)導(dǎo)者的情況,因此有必要對(duì)雙領(lǐng)導(dǎo)者或多領(lǐng)導(dǎo)者的情況做進(jìn)一步討論。其次,本文只考慮了產(chǎn)品族供應(yīng)企業(yè)的網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng),并未考慮多層供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)競(jìng)爭(zhēng)的情況,對(duì)于產(chǎn)品族多層級(jí)供應(yīng)鏈中的競(jìng)爭(zhēng)問題有待進(jìn)一步探討。此外,本文未考慮政府監(jiān)管對(duì)于產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)的影響,對(duì)于考慮政府作為監(jiān)管者參與博弈的產(chǎn)品族網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)問題,也是一個(gè)具有重要意義的研究方向。

附錄

引理1的證明

所有企業(yè)各種產(chǎn)品變體的供應(yīng)量qik≥0,企業(yè)fi的總利潤(rùn)函數(shù)關(guān)于其決策變量qik的海塞矩陣Hi是一個(gè)|nVi|×|nVi|的矩陣,如式(1)所示。

(1)

其各項(xiàng)值如下所示:

(2)

令矩陣Fi為|nVi|×|nVi|矩陣,其各項(xiàng)值如式(3)所示。

(3)

令U(q,1)為|E|×|E|的矩陣,如式(4)所示。其中,|E|為網(wǎng)絡(luò)中邊的數(shù)量,U(q,1)各項(xiàng)值如式(5)所示。

(4)

(5)

令UB為|E|×|E|矩陣,其各項(xiàng)值如式(6)所示;令矩陣R為|nV|×|E|矩陣,其各項(xiàng)值如式(7)所示。

(6)

(7)

因?yàn)榫仃嘡為滿秩矩陣,且UB=-RTR,所以矩陣UB負(fù)定。

令分塊矩陣UC為:

(8)

(9)

則UC為負(fù)定矩陣。

令矩陣UD為|E|×|E|矩陣,其各項(xiàng)值如下所示:

(10)

矩陣UD為對(duì)角元素均非正的對(duì)角矩陣,即矩陣UD半負(fù)定,從而可知矩陣U(q,1)=UB+UC+UD負(fù)定,因此U(q,1)+UT(q,1)也負(fù)定。根據(jù)Bimpikis等[18]的研究,可知U(q,1)+UT(q,1)負(fù)定時(shí),博弈模型CG({Pk}1≤k≤nV,{Ci}1≤i≤nF,G)有且僅有一個(gè)納什均衡解。

命題1的證明

對(duì)于上層雙目標(biāo)規(guī)劃問題,根據(jù)Pareto最優(yōu)解的概念,可知只要上層雙目標(biāo)優(yōu)化問題存在可行解,就一定存在唯一的Pareto最優(yōu)解集。根據(jù)該雙層規(guī)劃問題的決策變量可行域,可知該雙層規(guī)劃問題至少存在一個(gè)解qi·=0,因此上層雙目標(biāo)規(guī)劃問題存在唯一的Pareto最優(yōu)解集。根據(jù)引理1可知下層存在唯一的子博弈完美納什均衡,因此當(dāng)上層解集存在的時(shí)候,下層解集也必將存在;上層解集唯一時(shí),下層解集也唯一。因此,該雙層規(guī)劃問題存在唯一的Pareto均衡解集。