“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索

張慶月

（天津理工大學(xué)，天津 300384）

伴隨著網(wǎng)絡(luò)、信息技術(shù)的不斷發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)等技術(shù)已應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域[1-5]。這讓傳統(tǒng)的教學(xué)模式迎接機遇的同時面臨著挑戰(zhàn)。在人類改造自然的活動中，很多問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的方式進行研究進而得以解決。高等數(shù)學(xué)在傳統(tǒng)教學(xué)模式的束縛下，制約教師培養(yǎng)學(xué)生的知識應(yīng)用能力、邏輯和思維，留下教育培養(yǎng)的缺陷。且新冠感染疫情的特殊背景下，高等數(shù)學(xué)教學(xué)不得不轉(zhuǎn)向線上教學(xué)，在網(wǎng)絡(luò)平臺上拓展高等數(shù)學(xué)教學(xué)空間[6]。這要求高等數(shù)學(xué)課程需要運用現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，與線下的實體課堂教學(xué)結(jié)合起來，開展教學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和實踐運用能力。

一 高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握不牢固，自主學(xué)習(xí)意識低迷。高中階段，數(shù)學(xué)教學(xué)大多采用題海戰(zhàn)術(shù)、練習(xí)出成績的應(yīng)試教學(xué)模式。學(xué)生在教師的指揮下，終日埋頭題海耕耘題庫，無暇思考數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，思維僵硬，更沒有養(yǎng)成主動思考問題的習(xí)慣。這導(dǎo)致學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意識較為單薄，主動運用數(shù)學(xué)解決生活實際問題的意識薄弱甚至缺乏。進入大學(xué)，學(xué)生依然用慣性的思維、固定的邏輯來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不免遠離生活實際，又耗時傷神，事倍功半。無形中，這種思維模式在煎熬學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的自信心，減損學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。

教師教法單一、死板、單調(diào)?；ヂ?lián)網(wǎng)迅速發(fā)展的今天，傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)課堂仍然是“PPT+課堂+粉筆”的教學(xué)模式。高等數(shù)學(xué)的課堂，以教師講授為主，甚至講授貫穿始終?！肮噍斒健薄疤铠喪健苯虒W(xué)是高等數(shù)學(xué)經(jīng)常采用的模式。課堂上，學(xué)生往往是緊跟老師教學(xué)步驟，忙著形成課堂筆記，被動地學(xué)習(xí)知識，無暇深入的思考與理解。在有限的課堂時間內(nèi)，師生之間缺少知識點方面的交流與探討。用課件上課，雖然可以代替粉筆，減免板書，似乎存在著節(jié)省課堂時間的優(yōu)勢，但也存在弊端。PPT 演示過快，學(xué)生不能迅速牢固地理解知識點，更無暇記錄筆記，只能拍照留存材料。課后，慧心善學(xué)的同學(xué)或許能拿出課件照片尋找知識點前后之間的聯(lián)系，仔細思索一番。懶惰的同學(xué)則存有僥幸心理，抱著“明日復(fù)明日”的態(tài)度得過且過，忙向其他的“當務(wù)之急”。留存的課件照片也就隨之進入了手機記憶模式，或許直到考試之前，學(xué)生“急來抱佛腳”時才能重見天日。課件演示過慢，給同學(xué)們留足了時間思考問題得出結(jié)論、形成課堂筆記，但在有限的教學(xué)時間內(nèi)，影響教學(xué)效率最大化，甚至無法完成教學(xué)任務(wù)。從高等數(shù)學(xué)學(xué)科的角度衡量，這種方式不能最大效率地發(fā)揮教師針對知識點的細致系統(tǒng)的講解。教師也不能及時掌握學(xué)生對知識點的理解運用情況。傳統(tǒng)的教學(xué)則是教師板書示例、推導(dǎo)公式、證明習(xí)題，畢竟書寫占用較多的課堂時間，且不能長久保存，坐在教室后排的學(xué)生容易受到影響。由此可見，傳統(tǒng)的教學(xué)模式不利于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識，也不利于培養(yǎng)學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，也不能因?qū)W生的個體差異而靈活地調(diào)整教學(xué)策略。

學(xué)生結(jié)業(yè)評價方式注重成績。傳統(tǒng)教學(xué)對學(xué)生的評價中，比例最大的部分是測試成績。有部分學(xué)生為60 分而學(xué)習(xí)，為測試過關(guān)而學(xué)習(xí)，為獲取一紙畢業(yè)證書而學(xué)習(xí)。因此，具有這種學(xué)習(xí)動機的學(xué)生是被動地參與到教學(xué)活動中來。臨近考試，急抱“佛腳”的學(xué)生們，翻出埋入歷史的筆記或照片，或者死記硬背，或者臨陣磨槍，甚至準備小抄，企圖考場作弊，蒙混過關(guān)。這樣的學(xué)習(xí)方式不能真實地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

二 混合式教學(xué)模式分析

在這樣的時代背景和教學(xué)現(xiàn)狀下，作者提出了混合式教學(xué)模式，并實踐到教學(xué)中去[7-9]?；旌鲜浇虒W(xué)把網(wǎng)絡(luò)公開課、微課等線上教學(xué)理念與課堂教學(xué)相結(jié)合，將網(wǎng)絡(luò)軟硬件資源化為課堂教學(xué)資源，應(yīng)用于教學(xué)當中，是在信息技術(shù)應(yīng)用于教學(xué)并促進教學(xué)改革背景下產(chǎn)生的一種整合在線學(xué)習(xí)與傳統(tǒng)課堂學(xué)習(xí)，是有效實現(xiàn)雙主體的互動教學(xué)模式。這種教學(xué)模式，靈活地運用時間和空間，既有利于學(xué)生知識點學(xué)習(xí)與掌握，又利于學(xué)生將思考與疑惑、學(xué)習(xí)的靈感記錄下來并與師生交流。同時，這種教學(xué)模式也能使教師及時了解學(xué)生知識點的掌握情況，為學(xué)生解疑答惑，及時調(diào)整教學(xué)策略和計劃，促進課堂教學(xué)效率的提升。這種教學(xué)模式調(diào)整了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，同時又保留了高等數(shù)學(xué)課的特點。

這種混合式教學(xué)模式下，課堂中師生的重心產(chǎn)生了變化。傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)課堂中，教師是課堂的主導(dǎo)者和占有者，全程定義課堂的程序和內(nèi)容，決定課堂內(nèi)容的復(fù)制刪除和進退變化。學(xué)生是知識的被動接受者，被動地跟著教師的步驟和思路，全盤接受教師講授的公式推導(dǎo)、定理證明和練習(xí)題?；旌鲜浇虒W(xué)模式中，學(xué)生成為了課堂的中心實踐者，主動地學(xué)習(xí)本次課的知識點，積極探索重點，深入研究難點，自覺地產(chǎn)生疑惑，從而形成創(chuàng)新思維。教師則從課堂的主導(dǎo)者和知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)者和合作者，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)模塊的先后順序、程序設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生層層深入地掌握知識體系，啟發(fā)學(xué)生形成思維，帶領(lǐng)學(xué)生將高等數(shù)學(xué)融入生活、聯(lián)系工程，探討并解決生活中的實際問題[7]。課堂則從“一言堂”轉(zhuǎn)變成了師生時空交流、探討問題的場所，成為學(xué)生形成思維、發(fā)現(xiàn)問題、創(chuàng)新解答的陣地。

這種混合式教學(xué)模式下，課堂學(xué)習(xí)的程序也有所變化。傳統(tǒng)的教學(xué)課堂，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生按部就班地學(xué)習(xí)知識點。隨著教師教學(xué)內(nèi)容的深入，學(xué)生收獲的內(nèi)容也從點到線，再逐漸積累成面。面面結(jié)合，最后形成知識體系。混合式教學(xué)模式下，教師先將有關(guān)的教學(xué)視頻、PPT 等材料發(fā)送給學(xué)生。學(xué)生可在課前完成本次課的預(yù)習(xí)，不僅預(yù)知將要講授的內(nèi)容，還可以知曉自己存在的困惑。這就為課堂中學(xué)生探討、研究準備了必要條件。課堂主要是學(xué)生談收獲、談疑惑、生生交流。在師生交流中，學(xué)生自然而然地探索高等數(shù)學(xué)聯(lián)系生活的奧秘，解決生活中的實際問題。由此可見，傳統(tǒng)教學(xué)模式是師教生學(xué)，生惑師解，而混合式教學(xué)模式則是生學(xué)生思，生惑同解。

這種混合式教學(xué)模式以網(wǎng)絡(luò)、電腦和手機等設(shè)備為依托，充分發(fā)揮了線上教學(xué)的靈活性、時空性，又能增加學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的趣味性，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、積極性和熱情。在課前充分準備的基礎(chǔ)上，線下交流的實體課堂中，學(xué)生能夠集中精力，探討研究，豁然開朗的同時，生發(fā)創(chuàng)造性思維。線上教學(xué)與線下教學(xué)共同開展，相互補充，相輔相成。經(jīng)過一年的教學(xué)實踐，這種教學(xué)模式顯現(xiàn)出了良好的教學(xué)效果。

三 混合式教學(xué)模式的具體操作流程

教學(xué)內(nèi)容應(yīng)選取簡單或者難度適中的知識點。這樣，以學(xué)生的知識積累為出發(fā)點，明確教學(xué)目標，標識重點難點，才能充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和積極性。

（一）課前——線上自主教學(xué)

課前教學(xué)材料準備：PPT、微視頻和文字材料。

PPT 要求：①由生活中的實際問題導(dǎo)入，這能激發(fā)學(xué)生的共鳴，引導(dǎo)學(xué)生迅速地進入情境。②知識點學(xué)習(xí)步驟設(shè)置由淺入深，由易到難，層層深入又環(huán)環(huán)相扣。③適當設(shè)置動畫，增加課堂生動、鮮明的同時，留給學(xué)生思考的空間。④給學(xué)生設(shè)計課堂探討的問題，不宜過難。

微視頻要求：①時長在20 分鐘左右，可一次性錄制，也可多段錄制。②畫面、文字和符號清晰。③選用比較小的視頻格式。

文字材料要求：①列出所需要的書籍、練習(xí)冊等資料名稱。②列出所要學(xué)習(xí)的知識點。③展示出學(xué)習(xí)目標、重點和難點。④寫明學(xué)習(xí)步驟。

自學(xué)內(nèi)容都是較為基礎(chǔ)或難度適宜的知識點，學(xué)生自主學(xué)習(xí)能夠獨立完成。知識點的選擇忌多、忌難，以保護學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。教師將這些材料推送給學(xué)生之后，隨時了解學(xué)生自學(xué)的情況，預(yù)設(shè)課堂交流探討的問題，思考并準備課堂教學(xué)需要的材料。

（二）課堂——集中探討，針對性講解

學(xué)生通過課前自學(xué)，對課堂即將講授的內(nèi)容已有一定的認知與理解，也能夠確定自己學(xué)習(xí)的收獲與疑惑。課堂中，學(xué)生就可以有選擇的學(xué)習(xí)，準備材料參與探討內(nèi)容，各抒己見。在了解學(xué)生自學(xué)情況的基礎(chǔ)上，教師有針對性地引導(dǎo)學(xué)生探究知識點，適當?shù)卣{(diào)整詳簡難易的程度與步驟。教師可適時拋出探討的問題，也可引導(dǎo)學(xué)生提出研究的問題。在師生交流、生生溝通中，教師營造探究氛圍，引導(dǎo)學(xué)生提出解決具體問題的方案，聯(lián)系實際，聯(lián)系生活。到此，教師可依據(jù)學(xué)生探究的情況設(shè)置課后練習(xí)題，以鞏固當堂知識點的理解與運用。

（三）課后——檢測答疑

為有效加強學(xué)生對知識點的理解，課后的鞏固與答疑是十分必要的。有針對性地答疑，不僅可以幫助學(xué)生解決當前困惑的問題、補齊短板，還可以啟迪學(xué)生的思維，堅定學(xué)生善學(xué)善思的意志，提升學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的信心。教師可設(shè)定固定的時間在固定的場所，為學(xué)生答疑解惑。如此，學(xué)生可將積累的疑惑與教師面對面地交流探討。同時，教師還可以借助多種互聯(lián)網(wǎng)平臺，例如騰訊、微信、雨課堂等平臺跨越時空和地域，與學(xué)生時時處處共同學(xué)習(xí)探究。

（四）階段型——知識點系統(tǒng)化

在前三個階段的程序完美執(zhí)行后，學(xué)生對每個知識點的理解已經(jīng)較為深刻。高數(shù)課堂是知識、理論聯(lián)系生活的中轉(zhuǎn)站。但有時單一的知識點未必能解決與之相關(guān)的生活實際問題，而是需要幾個前后相應(yīng)的知識點有機聯(lián)系起來，融會貫通，系統(tǒng)地形成一個模塊，這樣才能正確地應(yīng)用到生活中的問題。如此，學(xué)生就需要一個時間，將一個模塊內(nèi)的知識點系統(tǒng)化，需要老師引導(dǎo)學(xué)生尋找各小知識點間的聯(lián)系、前后鋪墊關(guān)系，需要教師指導(dǎo)學(xué)生認識知識點中部分與整體的鑲嵌與交織，理解整個模塊的應(yīng)用范圍與功能，從而實踐到生活中。

四 混合式教學(xué)模式教學(xué)實踐

（一）以曲率的講解為例

課前教學(xué)材料準備：PPT、砂輪打磨動畫視頻和文字材料。

文字材料：由曲率的定義、弧微分公式、曲率的計算公式和曲率半徑的計算公式興趣導(dǎo)入，引出教學(xué)目標為在實際工程設(shè)計問題中，常用砂輪將某一平面物體邊界打磨成符合要求的曲線，如圖1 所示。給定曲線后，應(yīng)該選擇直徑多大的砂輪？

圖1 砂輪直徑的選擇

這和曲線的彎曲程度有關(guān)。顯然，對于圖中曲線，A砂輪是不合適的，應(yīng)該選擇B 砂輪。那么就需要解決以下兩個問題：

1）應(yīng)該怎么刻畫曲線的彎曲程度？

2）應(yīng)該怎么根據(jù)曲線的彎曲程度選擇合適的砂輪？

課堂集中探討：學(xué)生在回顧曲率的定義、弧微分公式、曲率的計算公式和曲率半徑的計算公式的基礎(chǔ)上，通過動畫演示——怎樣將平面物體的邊界打磨成給定的曲線。進入課堂集中探討的問題：怎樣將一空間物體的邊界打磨成給定的曲面。教師適時點撥，學(xué)生總結(jié)：解決方法是將給定曲面分解成若干條曲線，然后把各條曲線打磨出來。教師從旁指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生由淺入深，由易到難，層層深入。

課堂檢測練習(xí)題：

反饋答疑：

如圖2 所示，受力分析F=Q-P，視飛行員在點O 作勻速圓周運動，所以F=（N），其中ρ 為O 點處拋物線軌道的曲率半徑。因此

圖2 飛機飛行路線

Q≈700 N+5 714 N=6 414 N。

答：飛行員對座椅的壓力為6 414 N。

（二）以無窮級數(shù)收斂性講解為例

課前教學(xué)材料準備：PPT、Koch 雪花生成過程圖片和文字材料。

文字材料：由部分和序列的概念引出教學(xué)目標為無窮級數(shù)的收斂性，最后通過Koch 雪花生成過程圖片給出無窮級數(shù)收斂性的例子。如圖3 所示。

圖3 Koch 雪花的生成過程

Koch 雪花的生成方法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱地產(chǎn)生邊長為原邊長1/3 的小正三角形。如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch 雪花”。

結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界。

五 混合式教學(xué)模式反思

將互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)融合到課堂教學(xué)，采用混合式教學(xué)模式，將新元素、新感官融入課堂，不僅能夠進一步提高課堂教學(xué)質(zhì)量，而且實現(xiàn)了翻轉(zhuǎn)課堂，還能增加課堂的新鮮感，很大程度上提高學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性，有助于打造精彩高等數(shù)學(xué)課堂目標的實現(xiàn)。這種教學(xué)模式也并非完美，需要一分為二地認識它的利與弊。運用這種教學(xué)模式時需要應(yīng)注意以下問題。

（一）不是所有高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容都適用混合式教學(xué)模式

教學(xué)內(nèi)容中較為簡單，易于同學(xué)們自學(xué)的教學(xué)內(nèi)容是這種教學(xué)模式的首選。對于這些內(nèi)容，學(xué)生們具有自學(xué)的基礎(chǔ)，經(jīng)過思考能夠展開計算，得出結(jié)論。教師備課時要思考知識點的獨立性、難易程度、前后聯(lián)系等，以便選擇的知識點能有助于教學(xué)效率的最大化。較難和全新的知識點適合于線下師生面面講授。

（二）交流的課堂，是學(xué)生發(fā)揮主動性、探索新知的陣地

混合式教學(xué)模式中，教師的作用在于啟發(fā)學(xué)生思考的方向，指導(dǎo)學(xué)生步步認知、環(huán)環(huán)思考，細致演算，引導(dǎo)學(xué)生得出正確的結(jié)論。課堂，教師應(yīng)耐心地聽取學(xué)生們的交流探討，琢磨學(xué)生思考的出發(fā)點和邏輯，在關(guān)鍵點適時點撥。課堂不再是教師的“領(lǐng)地”，而是學(xué)生訓(xùn)練思維、培養(yǎng)創(chuàng)新意識的場所，是學(xué)生自覺探索、形成結(jié)論的陣地。

（三）這種教學(xué)模式不能保證調(diào)動所有學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性

部分學(xué)生讀大學(xué)是為通過一紙證書獲取理想的工作，所以讀書的初衷不在學(xué)習(xí)，又談何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。再者，還有學(xué)生為了獲取平時成績而學(xué)習(xí)。所以，在學(xué)業(yè)評價體系中，教師應(yīng)適時設(shè)置簡單的測驗，以成績督促學(xué)生更好地投入到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中去。

六 結(jié)束語

緊跟時代發(fā)展的步伐，依據(jù)高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，本文提出線上線下相結(jié)合的混合式教學(xué)模式，具體闡述了這種教學(xué)模式的操作方法，并附以具體事例說明，以及操作中需要注意的事項。理論指導(dǎo)實踐，因師、因生、因時制宜。這種教學(xué)模式同樣需要在教學(xué)實踐進程中多次檢驗并逐步完善，以期達成激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)興趣、提高課堂效率的目標。