利用透鏡組實現近軸光學隱身

潘 剛,石純喆,敬 棚,陳文娟

(合肥工業(yè)大學 基礎部,安徽 宣城 242000)

光學中有很多實現隱身的方法,例如通過構造折射率梯度讓光線發(fā)生彎曲實現隱身,或者利用菲涅耳透鏡、光學透鏡組等實現隱身[1-3]. 其中,通過構建透鏡組實現光學隱身已受到廣泛關注[4-6]. 本文通過實驗研究了雙凸透鏡的數量、焦距、口徑等參量對構建光學隱身系統(tǒng)的影響. 經由光學矩陣理論分析[7],建立了四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)、三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)、雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng)3種理論模型,并給出了上述透鏡組實現光學隱身應滿足的條件. 最后,針對不同的光學隱身系統(tǒng),通過實驗數據測量,驗證了理論模型的正確性.

1 預實驗

實驗器材:光具座1套、雙凸透鏡(口徑為33.0 mm,焦距為75.0 mm)若干、卷尺1把、10 cm×10 cm的方格墻紙.

通過改變光具座上雙凸透鏡的種類、數量及相對位置,觀察該透鏡系統(tǒng)是否能實現光學隱身. 構建4個相同且共軸共焦點擺放的雙凸透鏡的透鏡組實現近軸光學隱身. 通過將卷尺分別橫置在兩兩透鏡之間,發(fā)現在第一二透鏡及第三四透鏡之間形成了較大的隱身區(qū)域,其隱身效果如圖1所示.

圖1 4個相同透鏡構成系統(tǒng)的隱身效果

2 理論分析

2.1 相關定義及分析方法

從透鏡組的一側透過物體可直接觀察到透鏡組另一側的景,景的形貌不發(fā)生改變,且觀察視野不發(fā)生擴大或縮小的現象稱為“隱身”或“隱形”. 由于透鏡組本身存在透光區(qū)域,若要找出物體的隱身區(qū)域,只需求解該透鏡組的透光區(qū)域,再在空間中將其減去即可.

根據幾何光學中光學矩陣的相關知識,任意位置的近軸光線可表示為列矩陣:

(1)

其中,r為光線離軸的距離,r′為光線在該點的斜率.如圖2所示,若該光線在厚度為d的均勻各向同性介質中傳播,則有:

圖2 光學矩陣計算方法

(2)

2.2 四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)

由預實驗中的實驗結論,可以構建出四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的基本模型,如圖3所示.平行光入射四薄透鏡組,薄透鏡組中的每個雙凸透鏡完全相同(口徑、焦距等),且共軸共焦點擺放.根據光路分析,易知圖3中綠色區(qū)域即為物體隱身區(qū)域.

圖3 四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的基本模型

要使成像正立且觀察視野不發(fā)生縮放,根據光路可逆性,該光學隱身系統(tǒng)擺放的透鏡需前后對稱.為了方便分析,僅取前2個雙凸透鏡進行計算.計算部分光路圖如圖4所示,設兩共軸等大薄凸透鏡的焦距分別為f1和f2,間距為d(d≠0),則

圖4 四薄透鏡系統(tǒng)計算部分光路圖

(3)

可以解得:

(4)

由式(4)可知觀察視野隨兩薄凸透鏡焦距的比值變化而變化.下面對兩薄凸透鏡的焦距關系做如下討論:

1)若f1

圖5 f1

2)若f1>f2,即大焦距凸透鏡在前,小焦距凸透鏡在后.這種情況與前者類似,觀察視野也會發(fā)生變化,不符合隱身定義,本文不做討論.

3)若f1=f2,系統(tǒng)為對稱的四薄透鏡系統(tǒng),其光路示意圖如圖6所示.根據分析和預實驗結果,此時雙凸透鏡之間出現隱身區(qū)域,實驗效果較好.

圖6 f1>f2情況光路示意圖

以上為光線平行入射的情況,若光線不平行入射,式(3)應改為

(5)

可以解得:

(6)

因為d≠0,所以此時f2→∞,f1→∞,意味著此時透鏡為平面鏡,這種情況下的透光區(qū)域會充滿鏡間區(qū)域,導致隱身區(qū)域為零,故物體無法隱身.

實際上,由于透鏡對不同波長的光的折射率不同,因此無法在實驗中實現絕對平行的入射光,尤其是白光(復色光). 但本文構建的透鏡系統(tǒng)對于近平行光(與光軸成3～5°的入射光)也能實現很好的隱身效果,且對于白光光源而言,其在穿過多個透鏡后仍未發(fā)生明顯的色散現象.

2.3 三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)

穿過薄透鏡二倍焦距點的光線經過透鏡折射后仍能回到其二倍焦距點. 根據此原理,設計了三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)基本模型如圖7所示. 平行光射入三薄透鏡組[透鏡組中的第一、第三雙凸透鏡完全相同(口徑、焦距等),第二雙凸透鏡以自身的2倍焦距點與其他透鏡共軸共點擺放] ,首先經由第一透鏡作用后會聚到其焦距點處,又因第二透鏡是以自身2倍焦距點與兩側透鏡共軸共點擺放,故光線會被再次會聚到右側第三透鏡的焦距點處,最后經由第三雙凸透鏡平行出射. 根據光路分析可知,圖7中綠色區(qū)域為物體隱身區(qū)域.

圖7 三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的基本模型

三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)中間透鏡的作用相當于四薄透鏡系統(tǒng)中第二、第三透鏡的作用,與四薄透鏡系統(tǒng)原理一致,該系統(tǒng)中雙凸透鏡的焦距和口徑也相互關聯(lián),且中間透鏡口徑小于兩側透鏡時,構成的隱身區(qū)域較好.

2.4 雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng)

由四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的討論可知,若雙凸透鏡能會聚平行光線,則可由光路可逆性設計雙凸透鏡光學隱身系統(tǒng). 將2個特定的厚凸透鏡共軸對稱擺放,即可構建雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng).如圖8所示,2個厚度為l的雙凸透鏡共軸對稱擺放,記空氣折射率為n,透鏡材質的折射率為n1,前后球面曲率半徑分別為R1和R2,且定義光線傳播遇到凸面時R>0,遇到凹面時R<0.通過推導,可以得到該系統(tǒng)隱身所需的條件.

對于第一個厚透鏡有R1>0,R2<0,其光學矩陣方程為

(7)

解得

(8)

(9)

3 實驗探究

前文的討論給出了各透鏡系統(tǒng)要實現隱身應滿足的理想條件. 但實際上,某些具有特定屬性的透鏡并不常見,例如厚透鏡. 因此,本文主要就如何構建四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)(見圖9)和三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)(見圖7)開展實驗.

圖9 四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)示意圖

圖10 通過描點法測定透鏡組的透光區(qū)域

實驗器材與預實驗器材基本相同. 平行光源采用可調焦的強光手電筒,可以在一定范圍內保持較好的準直性.

3.1 四薄透鏡光學隱身實驗

3.1.1 實驗1:相同薄凸透鏡共軸共焦擺放

采用4個雙凸透鏡(口徑Φ=33.0 mm,焦距f=75.0 mm)共軸共焦擺放,測定該四薄透鏡系統(tǒng)的隱身區(qū)域. 數據記錄以平行光經過第一個透鏡的中心為坐標原點,光軸為x軸,光線傳播方向為正方向,建立坐標系. 將光線經過第一二透鏡之間的區(qū)域稱為第一區(qū)域,第二三透鏡之間的區(qū)域稱為第二區(qū)域,第三四透鏡之間的區(qū)域稱為第三區(qū)域. 測量數據圖如圖11所示,由此可見,若采用4個相同的雙凸透鏡構建四薄透鏡光學隱身系統(tǒng),其第一區(qū)域、第三區(qū)域可形成較好的隱身區(qū)域.

圖11 光斑平均半徑測量數據1

根據對稱性可知,第一區(qū)域、第三區(qū)域形成的透光區(qū)域近似為“沙漏體”,且越靠近焦距重合點,透光區(qū)域越小,隱身效果越好. 第二區(qū)域由于其光斑平均半徑接近雙凸透鏡的半徑(16.5 mm),故該區(qū)域的隱身效果較差.

3.1.2 實驗2:不同參量薄凸透鏡共軸共焦擺放

采用焦距為150.0 mm和75.0 mm,對應口徑為50.0 mm和33.0 mm的雙凸透鏡共軸共焦擺放,測定該四薄透鏡系統(tǒng)的隱身區(qū)域. 其中大焦雙凸透鏡擺兩側,小焦雙凸透鏡擺中間. 采用描點法記錄數據,得到圖12所示的數據圖.

圖12 光斑平均半徑測量數據圖2

由圖12可知,若采用不同參量的雙凸透鏡構建四薄透鏡光學隱身系統(tǒng),其第一區(qū)域、第三區(qū)域的情況與實驗1基本一致,但其第二區(qū)域的情況與實驗1有所不同. 由于兩側雙凸透鏡半徑為25.0 mm,而該區(qū)域光斑平均半徑僅在11.8 mm左右,故在此區(qū)域中可形成一空心圓柱體的隱身區(qū)域. 即物體距光軸一定距離范圍(11.8 mm

圖13 不同參量薄凸透鏡構成系統(tǒng)的隱身效果

3.2 三薄透鏡光學隱身實驗

采用焦距分別為350.0 mm和75.0 mm,對應口徑分別為50.0 mm和33.0 mm的雙凸透鏡共軸共點擺放,測定該三薄透鏡系統(tǒng)的隱身區(qū)域. 該系統(tǒng)中大焦雙凸透鏡擺在兩側,小焦雙凸透鏡擺在中間,得到如圖14所示的測量數據圖.

圖14 光斑平均半徑測量數據圖3

該三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)于第一、第二區(qū)域中均形成沙漏狀透光區(qū)域,故在2個區(qū)域中均可實現較好的隱身效果. 值得一提的是,三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的中間透鏡是與兩側透鏡以自身2倍焦距共軸共點擺放,如果中間雙凸透鏡焦距過小,則導致該透鏡過厚,不滿足“薄凸透鏡”的前提條件. 故三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)對中間雙凸透鏡的要求較高. 該透鏡系統(tǒng)形成的隱身效果如圖15所示.

圖15 三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的隱身效果

4 結束語

本文研究了如何利用雙凸透鏡構建透鏡組來實現近軸光學隱身. 從雙凸透鏡的數目、焦距、口徑等參量出發(fā),討論了透鏡組實現近軸光學隱身所應滿足的條件,并建立了四薄透鏡、三薄透鏡和雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng)3種理論模型,并做了實驗探究(由于雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng)的實驗現象不明顯,故未對其進行實驗探究). 通過理論分析和實驗探究,得到以下結論:

1)對于四薄透鏡光學隱身系統(tǒng),若要構成隱身區(qū)域,擺放的雙凸透鏡需前后對稱,前2個透鏡需共軸共焦擺放. 且大焦透鏡在兩側,小焦透鏡在中間,這樣構成的透鏡組隱身效果較好.

2)對于三薄透鏡光學隱身系統(tǒng),若要構成隱身區(qū)域,中間小口徑透鏡需以自身2倍焦距點與兩側大口徑透鏡焦距點共軸共點擺放.

通過構建透鏡組實現光學隱身的技術操作簡單,效果明顯. 因此,本研究可作為學生學習光學知識的實操實驗設計[7-8].