利用透鏡組實現(xiàn)近軸光學隱身

潘 剛,石純喆,敬 棚,陳文娟

(合肥工業(yè)大學 基礎部,安徽 宣城 242000)

光學中有很多實現(xiàn)隱身的方法,例如通過構造折射率梯度讓光線發(fā)生彎曲實現(xiàn)隱身,或者利用菲涅耳透鏡、光學透鏡組等實現(xiàn)隱身[1-3]. 其中,通過構建透鏡組實現(xiàn)光學隱身已受到廣泛關注[4-6]. 本文通過實驗研究了雙凸透鏡的數(shù)量、焦距、口徑等參量對構建光學隱身系統(tǒng)的影響. 經(jīng)由光學矩陣理論分析[7],建立了四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)、三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)、雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng)3種理論模型,并給出了上述透鏡組實現(xiàn)光學隱身應滿足的條件. 最后,針對不同的光學隱身系統(tǒng),通過實驗數(shù)據(jù)測量,驗證了理論模型的正確性.

1 預實驗

實驗器材:光具座1套、雙凸透鏡(口徑為33.0 mm,焦距為75.0 mm)若干、卷尺1把、10 cm×10 cm的方格墻紙.

通過改變光具座上雙凸透鏡的種類、數(shù)量及相對位置,觀察該透鏡系統(tǒng)是否能實現(xiàn)光學隱身. 構建4個相同且共軸共焦點擺放的雙凸透鏡的透鏡組實現(xiàn)近軸光學隱身. 通過將卷尺分別橫置在兩兩透鏡之間,發(fā)現(xiàn)在第一二透鏡及第三四透鏡之間形成了較大的隱身區(qū)域,其隱身效果如圖1所示.

圖1 4個相同透鏡構成系統(tǒng)的隱身效果

2 理論分析

2.1 相關定義及分析方法

從透鏡組的一側透過物體可直接觀察到透鏡組另一側的景,景的形貌不發(fā)生改變,且觀察視野不發(fā)生擴大或縮小的現(xiàn)象稱為“隱身”或“隱形”. 由于透鏡組本身存在透光區(qū)域,若要找出物體的隱身區(qū)域,只需求解該透鏡組的透光區(qū)域,再在空間中將其減去即可.

根據(jù)幾何光學中光學矩陣的相關知識,任意位置的近軸光線可表示為列矩陣:

(1)

其中,r為光線離軸的距離,r′為光線在該點的斜率.如圖2所示,若該光線在厚度為d的均勻各向同性介質中傳播,則有:

圖2 光學矩陣計算方法

(2)

2.2 四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)

由預實驗中的實驗結論,可以構建出四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的基本模型,如圖3所示.平行光入射四薄透鏡組,薄透鏡組中的每個雙凸透鏡完全相同(口徑、焦距等),且共軸共焦點擺放.根據(jù)光路分析,易知圖3中綠色區(qū)域即為物體隱身區(qū)域.

圖3 四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的基本模型

要使成像正立且觀察視野不發(fā)生縮放,根據(jù)光路可逆性,該光學隱身系統(tǒng)擺放的透鏡需前后對稱.為了方便分析,僅取前2個雙凸透鏡進行計算.計算部分光路圖如圖4所示,設兩共軸等大薄凸透鏡的焦距分別為f1和f2,間距為d(d≠0),則

圖4 四薄透鏡系統(tǒng)計算部分光路圖

(3)

可以解得:

(4)

由式(4)可知觀察視野隨兩薄凸透鏡焦距的比值變化而變化.下面對兩薄凸透鏡的焦距關系做如下討論:

1)若f1

圖5 f1

2)若f1>f2,即大焦距凸透鏡在前,小焦距凸透鏡在后.這種情況與前者類似,觀察視野也會發(fā)生變化,不符合隱身定義,本文不做討論.

3)若f1=f2,系統(tǒng)為對稱的四薄透鏡系統(tǒng),其光路示意圖如圖6所示.根據(jù)分析和預實驗結果,此時雙凸透鏡之間出現(xiàn)隱身區(qū)域,實驗效果較好.

圖6 f1>f2情況光路示意圖

以上為光線平行入射的情況,若光線不平行入射,式(3)應改為

(5)

可以解得:

(6)

因為d≠0,所以此時f2→∞,f1→∞,意味著此時透鏡為平面鏡,這種情況下的透光區(qū)域會充滿鏡間區(qū)域,導致隱身區(qū)域為零,故物體無法隱身.

實際上,由于透鏡對不同波長的光的折射率不同,因此無法在實驗中實現(xiàn)絕對平行的入射光,尤其是白光(復色光). 但本文構建的透鏡系統(tǒng)對于近平行光(與光軸成3～5°的入射光)也能實現(xiàn)很好的隱身效果,且對于白光光源而言,其在穿過多個透鏡后仍未發(fā)生明顯的色散現(xiàn)象.

2.3 三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)

穿過薄透鏡二倍焦距點的光線經(jīng)過透鏡折射后仍能回到其二倍焦距點. 根據(jù)此原理,設計了三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)基本模型如圖7所示. 平行光射入三薄透鏡組[透鏡組中的第一、第三雙凸透鏡完全相同(口徑、焦距等),第二雙凸透鏡以自身的2倍焦距點與其他透鏡共軸共點擺放] ,首先經(jīng)由第一透鏡作用后會聚到其焦距點處,又因第二透鏡是以自身2倍焦距點與兩側透鏡共軸共點擺放,故光線會被再次會聚到右側第三透鏡的焦距點處,最后經(jīng)由第三雙凸透鏡平行出射. 根據(jù)光路分析可知,圖7中綠色區(qū)域為物體隱身區(qū)域.

圖7 三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的基本模型

三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)中間透鏡的作用相當于四薄透鏡系統(tǒng)中第二、第三透鏡的作用,與四薄透鏡系統(tǒng)原理一致,該系統(tǒng)中雙凸透鏡的焦距和口徑也相互關聯(lián),且中間透鏡口徑小于兩側透鏡時,構成的隱身區(qū)域較好.

2.4 雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng)

由四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的討論可知,若雙凸透鏡能會聚平行光線,則可由光路可逆性設計雙凸透鏡光學隱身系統(tǒng). 將2個特定的厚凸透鏡共軸對稱擺放,即可構建雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng).如圖8所示,2個厚度為l的雙凸透鏡共軸對稱擺放,記空氣折射率為n,透鏡材質的折射率為n1,前后球面曲率半徑分別為R1和R2,且定義光線傳播遇到凸面時R>0,遇到凹面時R<0.通過推導,可以得到該系統(tǒng)隱身所需的條件.

對于第一個厚透鏡有R1>0,R2<0,其光學矩陣方程為

(7)

解得

(8)

(9)

3 實驗探究

前文的討論給出了各透鏡系統(tǒng)要實現(xiàn)隱身應滿足的理想條件. 但實際上,某些具有特定屬性的透鏡并不常見,例如厚透鏡. 因此,本文主要就如何構建四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)(見圖9)和三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)(見圖7)開展實驗.

圖9 四薄透鏡光學隱身系統(tǒng)示意圖

圖10 通過描點法測定透鏡組的透光區(qū)域

實驗器材與預實驗器材基本相同. 平行光源采用可調焦的強光手電筒,可以在一定范圍內(nèi)保持較好的準直性.

3.1 四薄透鏡光學隱身實驗

3.1.1 實驗1:相同薄凸透鏡共軸共焦擺放

采用4個雙凸透鏡(口徑Φ=33.0 mm,焦距f=75.0 mm)共軸共焦擺放,測定該四薄透鏡系統(tǒng)的隱身區(qū)域. 數(shù)據(jù)記錄以平行光經(jīng)過第一個透鏡的中心為坐標原點,光軸為x軸,光線傳播方向為正方向,建立坐標系. 將光線經(jīng)過第一二透鏡之間的區(qū)域稱為第一區(qū)域,第二三透鏡之間的區(qū)域稱為第二區(qū)域,第三四透鏡之間的區(qū)域稱為第三區(qū)域. 測量數(shù)據(jù)圖如圖11所示,由此可見,若采用4個相同的雙凸透鏡構建四薄透鏡光學隱身系統(tǒng),其第一區(qū)域、第三區(qū)域可形成較好的隱身區(qū)域.

圖11 光斑平均半徑測量數(shù)據(jù)1

根據(jù)對稱性可知,第一區(qū)域、第三區(qū)域形成的透光區(qū)域近似為“沙漏體”,且越靠近焦距重合點,透光區(qū)域越小,隱身效果越好. 第二區(qū)域由于其光斑平均半徑接近雙凸透鏡的半徑(16.5 mm),故該區(qū)域的隱身效果較差.

3.1.2 實驗2:不同參量薄凸透鏡共軸共焦擺放

采用焦距為150.0 mm和75.0 mm,對應口徑為50.0 mm和33.0 mm的雙凸透鏡共軸共焦擺放,測定該四薄透鏡系統(tǒng)的隱身區(qū)域. 其中大焦雙凸透鏡擺兩側,小焦雙凸透鏡擺中間. 采用描點法記錄數(shù)據(jù),得到圖12所示的數(shù)據(jù)圖.

圖12 光斑平均半徑測量數(shù)據(jù)圖2

由圖12可知,若采用不同參量的雙凸透鏡構建四薄透鏡光學隱身系統(tǒng),其第一區(qū)域、第三區(qū)域的情況與實驗1基本一致,但其第二區(qū)域的情況與實驗1有所不同. 由于兩側雙凸透鏡半徑為25.0 mm,而該區(qū)域光斑平均半徑僅在11.8 mm左右,故在此區(qū)域中可形成一空心圓柱體的隱身區(qū)域. 即物體距光軸一定距離范圍(11.8 mm

圖13 不同參量薄凸透鏡構成系統(tǒng)的隱身效果

3.2 三薄透鏡光學隱身實驗

采用焦距分別為350.0 mm和75.0 mm,對應口徑分別為50.0 mm和33.0 mm的雙凸透鏡共軸共點擺放,測定該三薄透鏡系統(tǒng)的隱身區(qū)域. 該系統(tǒng)中大焦雙凸透鏡擺在兩側,小焦雙凸透鏡擺在中間,得到如圖14所示的測量數(shù)據(jù)圖.

圖14 光斑平均半徑測量數(shù)據(jù)圖3

該三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)于第一、第二區(qū)域中均形成沙漏狀透光區(qū)域,故在2個區(qū)域中均可實現(xiàn)較好的隱身效果. 值得一提的是,三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的中間透鏡是與兩側透鏡以自身2倍焦距共軸共點擺放,如果中間雙凸透鏡焦距過小,則導致該透鏡過厚,不滿足“薄凸透鏡”的前提條件. 故三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)對中間雙凸透鏡的要求較高. 該透鏡系統(tǒng)形成的隱身效果如圖15所示.

圖15 三薄透鏡光學隱身系統(tǒng)的隱身效果

4 結束語

本文研究了如何利用雙凸透鏡構建透鏡組來實現(xiàn)近軸光學隱身. 從雙凸透鏡的數(shù)目、焦距、口徑等參量出發(fā),討論了透鏡組實現(xiàn)近軸光學隱身所應滿足的條件,并建立了四薄透鏡、三薄透鏡和雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng)3種理論模型,并做了實驗探究(由于雙厚透鏡光學隱身系統(tǒng)的實驗現(xiàn)象不明顯,故未對其進行實驗探究). 通過理論分析和實驗探究,得到以下結論:

1)對于四薄透鏡光學隱身系統(tǒng),若要構成隱身區(qū)域,擺放的雙凸透鏡需前后對稱,前2個透鏡需共軸共焦擺放. 且大焦透鏡在兩側,小焦透鏡在中間,這樣構成的透鏡組隱身效果較好.

2)對于三薄透鏡光學隱身系統(tǒng),若要構成隱身區(qū)域,中間小口徑透鏡需以自身2倍焦距點與兩側大口徑透鏡焦距點共軸共點擺放.

通過構建透鏡組實現(xiàn)光學隱身的技術操作簡單,效果明顯. 因此,本研究可作為學生學習光學知識的實操實驗設計[7-8].