“韓信點(diǎn)兵”是怎樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題

陳丹陽(yáng)

韓信是漢初名將，民間流傳一句歇后語(yǔ)“韓信點(diǎn)兵——多多益善”，用來(lái)形容韓信的軍事才能。有意思的是，“韓信點(diǎn)兵”也是一個(gè)流傳很廣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。據(jù)說(shuō)韓信在點(diǎn)兵的時(shí)候，會(huì)先讓士兵三人站成一排，記下最后多出的人數(shù)；再讓士兵五人站成一排，又記下最后多出的人數(shù)；最后讓士兵七人站成一排，同樣記下最后多出的人數(shù)。這樣他就能算出自己部隊(duì)的總?cè)藬?shù)了。

在我國(guó)，“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題最早出現(xiàn)在南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中，叫作“物不知數(shù)”問(wèn)題：“一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)整數(shù)?！边@個(gè)問(wèn)題因此也被稱為“孫子問(wèn)題”。此類問(wèn)題在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中叫作“一次同余問(wèn)題”，其解法稱為“中國(guó)剩余定理”或“孫子定理”。

宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中對(duì)這個(gè)問(wèn)題作出了完整系統(tǒng)的解答，稱為“大衍求一術(shù)”。明代數(shù)學(xué)家程大位則在《算法統(tǒng)宗》中將它的解法編成易于上口的歌訣：“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一支，七子團(tuán)圓正半月，除百零五使得知。”它的意思是：將除以三得到的余數(shù)乘以七十，除以五得到的余數(shù)乘以二十一，除以七得到的余數(shù)乘以十五，全部加起來(lái)后減去一百零五（或者一百零五的倍數(shù)），得到的余數(shù)就是最后的答案。按照這個(gè)方法，《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的最小答案是二十三。

（亞白摘自中華書(shū)局《中國(guó)人應(yīng)知的古代科技常識(shí)》）