一道斜率之積為定值的解析幾何試題探究與推廣

廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)汕尾學(xué)校(516600)劉光明

愛因斯坦提倡“探索真理比占有真理更為可貴”,解析幾何問(wèn)題無(wú)論是解答方法的相似性還是結(jié)論的可類比性都深深的吸引著廣大數(shù)學(xué)愛好者.本文通過(guò)對(duì)一道斜率之積為定值的解析幾何試題進(jìn)行多解闡述,運(yùn)用類比思想在雙曲線和拋物線情境中進(jìn)行相應(yīng)的結(jié)論探索,借助幾何畫板動(dòng)態(tài)探索其相關(guān)的逆命題情況,經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯推理得到了一些相關(guān)結(jié)論,梳理成文,與數(shù)學(xué)愛好者交流.

1.試題呈現(xiàn)與解答

題目已知橢圓C:的離心率為且過(guò)點(diǎn)過(guò)C的右焦點(diǎn)F且不與x軸重合的直線C交于P,Q兩點(diǎn).

(1)求C的方程;

(2)設(shè)C的左頂點(diǎn)為A,直線AP,AQ和直線l:x=a分別交于點(diǎn)M,N,記直線MF,NF的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值.

解第(2)小問(wèn)解答:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由題意可設(shè)直線PQ的方程為x=ty+1,將其與橢圓方程聯(lián)立并消去x可得(t2+2)y2+2ty-1=0,則

故

又直線AP的方程為從而得到點(diǎn)M坐標(biāo)為同理可得點(diǎn)

于是直線MF和直線NF的斜率分別為

因此

將(*)代入可得

因此k1·k2為定值-4.

評(píng)注“設(shè)而不求”是解決直線與曲線相交這一解析幾何問(wèn)題的通法,思維層次要求不高,但運(yùn)算推理能力要求較高.

2.結(jié)論推廣

2.1 橢圓中的推廣

結(jié)論1橢圓Γ:= 1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)為A.過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線l(與x軸不重合)與橢圓Γ 相交于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ和直線x=a分別交于點(diǎn)M,N,記直線MF,NF的斜率分別為k1,k2,則k1k2=-4.

結(jié)論1 的證明可以參照前面試題的解法進(jìn)行推導(dǎo)證明,在此不作贅述.通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)演示可得其更一般的結(jié)論也是成立的,詳細(xì)闡述見結(jié)論2.

結(jié)論2如圖1,橢圓Γ:= 1 (a＞b＞0) 的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E(m,0),P,Q是Γ 上的兩點(diǎn),直線AP,AQ和直線x=t分別交于點(diǎn)M,N,記直線EM,EN的斜率分別為k1,k2.與x軸不重合的直線PQ過(guò)點(diǎn)E的充要條件是

圖1

證明首先證明必要性.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為x=ny+m,將其與橢圓方程聯(lián)立消去x可得

由題意Δ＞0,則

又直線AP的方程為令x=t可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為同理可得因此

以下證明充分性.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為x=ny+k,將其與橢圓方程聯(lián)立消去x可得

由題意Δ＞0.故

又直線AP的方程為令x=t可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為即點(diǎn)M坐標(biāo)為同理可得點(diǎn)于是

結(jié)論2 中,令m=c,t=a,

2.2 雙曲線中的推廣

結(jié)論3如圖2,雙曲線Γ:的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E(m,0),P,Q是Γ 上的兩點(diǎn),直線AP,AQ和直線x=t分別交于點(diǎn)M,N,記直線EM,EN的斜率分別為k1,k2.與x軸不重合的直線PQ過(guò)點(diǎn)E的充要條件是

圖2

結(jié)論3 的證明,有興趣的讀者可以參照結(jié)論2 的證明思路進(jìn)行運(yùn)算推理,在此不作過(guò)多的詳細(xì)驗(yàn)證.

2.3 拋物線中的推廣

結(jié)論4如圖3,拋物線Γ:y2=2px(p＞0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)E(m,0)異于原點(diǎn),P,Q是Γ 上的兩點(diǎn),直線OP,OQ與直線x=t分別交于點(diǎn)M,N,記直線ME,NE的斜率分別為k1,k2.直線PQ過(guò)點(diǎn)E的充要條件是

圖3

證明首先證明必要性.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l的方程為x=ny+m,將其與拋物線方程消去x可得y2-2npy-2mp=0,由題意直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),故Δ＞0,則

又直線OP,OQ方程分別為令x=t可得點(diǎn)因此

于是直線PQ的斜率為直線PQ的方程為

歷經(jīng)上述解析幾何試題的探索,不難發(fā)現(xiàn)解析幾何知識(shí)之間的聯(lián)系是緊密的,教師要充分運(yùn)用信息技術(shù)幫助學(xué)生養(yǎng)成敢于質(zhì)疑,善于思考,理解概念、把握本質(zhì),數(shù)形結(jié)合、明晰算理,厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈的良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣[1].解析幾何教學(xué),需要大膽猜想和小心求證的探索精神.深挖數(shù)學(xué)問(wèn)題,拓展與延伸結(jié)論的一般性,才能更好的促進(jìn)數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)通性通法的理解.期待通過(guò)類比、歸納、演繹等邏輯推理方式挖掘更多的解析幾何精彩結(jié)論.