借助函數模型，解決應用問題

■劉紅霞

數學來源于現實生活,又應用于現實生活,它們是緊密聯系的。下面以函數模型的構建與分析為實例,借助函數模型來分析與解決實際應用問題。

1.指數型函數模型

例1用打點滴的方式治療“新冠”病患時,血藥濃度(血藥濃度是指藥物吸收后,在血漿內的總濃度)隨時間變化的函數符合,其函數圖像如圖1 所示,其中V為中心室體積(一般成年人的中心室體積近似為600),m0為藥物進入人體時的速率,k是藥物的分解或排泄速率與當前濃度的比值。此種藥物在人體內有效治療效果的濃度在4到15之間,當達到上限濃度時,必須馬上停止注射,之后血藥濃度隨時間變化的函數符合c2(t)=c·2-kt,其中c為停藥時的人體血藥濃度。

圖1

(1)求出函數c1(t)的解析式。

(2)一病患開始注射后,最遲隔多長時間停止注射? 為保證治療效果,最多再隔多長時間開始進行第二次注射? (結果保留小數點后一位,參考數據lg2≈0.3,lg3≈0.48)

解決這類問題,要掌握指數函數的單調性,要熟悉指數式與對數式的互化。

2.對數型函數模型

例22020年12月17日凌晨,經過23天的月球采樣旅行,嫦娥五號返回器攜帶月球樣品成功著陸預定區(qū)域,我國首次對外天體無人采樣返回任務取得圓滿成功,成為時隔40 多年來首個完成落月采樣并返回地球的國家,標志著我國探月工程“繞,落,回”圓滿收官。近年來,得益于我國先進的運載火箭技術,我國在航天領域取得了巨大成就。據了解,在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下,可以用公式計算火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是噴流相對速度,m(kg)是火箭(除推進劑外)的質量,M(kg)是推進劑與火箭質量的總和稱為“總質比”,已知A型火箭的噴流相對速度為1000m/s。

(1)當總質比為200時,利用給出的參考數據求A型火箭的最大速度。

(2)經過材料更新和技術改進后,A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的倍,總質比變?yōu)樵瓉淼?若要使火箭的最大速度至少增加500m/s,求在材料更新和技術改進前總質比的最小整數值。(參考數據:ln200≈5.3,2.718

對數型函數應用問題的基本類型和求解策略:先根據實際情況求出函數解析式中的參數,或給出具體情境,從中提煉出數據,代入解析式求值,再根據數值解釋其實際意義。

3.擬合型函數模型

例3某商場經營一批進價為每件30元的商品,在市場銷售中發(fā)現此商品的銷售單價x元與日銷量y件之間的關系如表1所示。

表1

(1)根據表中提供的數據,在平面直角坐標系中描出實數對(x,y)對應的點,并確定x與y的一個函數關系式y=f(x)。

(2)設經營此商品的日銷售利潤為P元,根據上述關系式寫出P關于x的函數關系式,并指出銷售單價x為多少時,才能獲得最大日銷售利潤。

解:(1)由表中數據,在平面直角坐標系中作出實數對(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)對應的點,如圖2 所示。觀察圖像可知,它們近似地分布在一條直線上。

圖2

設直線方程為y=kx+b(k≠0),將點(50,0),(45,15)代入得解得所以y=-3x+150(30≤x≤50)。

檢驗知點(30,60),(40,30)也在此直線上,所以所求函數關系式為y=-3x+150(30≤x≤50)。

(2)依題意得日銷售利潤P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300(30≤x≤50)。所以當x=40時,P取得最大值,其最大值為300。

故當銷售單價為40元時,才能獲得最大日銷售利潤。

建立擬合型函數模型的四個基本步驟:畫圖,根據原始數據、表格等繪制出散點圖;畫線,通過觀察散點圖,畫出“最貼近”的直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線;求函數,根據所學函數知識,求出擬合直線或擬合曲線的函數解析式;解答問題,利用函數解析式,對所給問題提出預測和控制,為決策和管理提供依據。