類型全歸納，問題妙突破
———函數(shù)零點的存在定理的應(yīng)用

■聶 然

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,并且f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。利用函數(shù)零點存在定理,可以解決一些涉及函數(shù)與方程方面的綜合應(yīng)用問題。

一、零點區(qū)間的判斷

例1函數(shù)f(x)=lnx+ex的零點所在的區(qū)間是( )。

C.(1,e) D.(e,+∞)

分析:根據(jù)題設(shè)條件,通過對應(yīng)函數(shù)在各區(qū)間的端點處的取值的正負(fù)情況,結(jié)合函數(shù)零點的存在定理,即可確定零點所在的區(qū)間。對于一些特殊點,可以采用極限思維來綜合分析與處理。

解:因為f(1)=e>0,,f(e)=1+ee>0,而當(dāng)x→0時,f(x)=lnx+ex<0,所以根據(jù)函數(shù)零點的存在定理可知,該函數(shù)的零點所在的區(qū)間是。應(yīng)選A。

本題主要考查函數(shù)零點的存在定理及其應(yīng)用。解答這類問題的基本方法是:結(jié)合函數(shù)f(x)在各點處的函數(shù)值的正負(fù)情況,利用函數(shù)零點的存在定理f(a)·f(b)<0 來判斷零點所在的區(qū)間(a,b)。

二、零點個數(shù)的確定

例2函數(shù)f(x)=ex+3x的零點個數(shù)是( )。

A.0 B.1 C.2 D.3

分析:因為函數(shù)y1=ex與y2=3x都是R 上的單調(diào)遞增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=ex+3x的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線。在此基礎(chǔ)上,結(jié)合函數(shù)零點的存在定理即可確定零點的個數(shù)。

解:已知函數(shù)y1=ex與y2=3x都是R上的增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=ex+3x在R上單調(diào)遞增。

因為f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,所以f(-1)·f(1)<0,所以函數(shù)f(x)=ex+3x在區(qū)間(-1,1)內(nèi)存在零點,因此f(x)的零點個數(shù)是1。應(yīng)選B。

本題主要考查函數(shù)零點的存在定理及其應(yīng)用。解答這類問題的基本方法是:先確定函數(shù)f(x)的圖像特征(若圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,則具有單調(diào)性),再利用函數(shù)零點的存在定理f(a)·f(b)<0來確定零點的個數(shù)。

三、參數(shù)范圍的確定

例3若函數(shù)f(x)=2ax2-x-1 在(0,1)內(nèi)恰有一個零點,則a的取值范圍是( )。

A.(-1,1) B.[1,+∞)

C.(1,+∞) D.(2,+∞)

分析:通過參數(shù)a的取值情況的分類討論,結(jié)合函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個零點的條件,合理建立相應(yīng)的不等式組求解。

解:當(dāng)a=0 時,由f(x)=-x-1=0,解得x=-1,此時函數(shù)的零點是x=-1,不在區(qū)間(0,1)內(nèi)。1)內(nèi)。

綜上可知,a>1。應(yīng)選C。

本題主要考查函數(shù)零點的存在定理及其應(yīng)用。解答這類問題的基本方法是:根據(jù)參數(shù)的情況進(jìn)行分類討論,再結(jié)合函數(shù)零點的存在定理f(a)·f(b)<0,以及對應(yīng)函數(shù)建立相應(yīng)的不等式(組),最后求出參數(shù)的取值范圍。

四、函數(shù)值大小的判斷

例4已知x0是函數(shù)的一 個 零 點,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),則( )。

A.f(x1)<0,f(x2)<0

B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0

D.f(x1)>0,f(x2)>0

分析:根據(jù)題設(shè)條件,先確定函數(shù)g(x)與函數(shù)h(x)=2x在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性,即得零點的唯一性,再結(jié)合函數(shù)零點的存在定理與函數(shù)的單調(diào)性即可判斷函數(shù)值的大小關(guān)系。

本題主要考查函數(shù)零點的存在定理及其應(yīng)用。解答這類問題的基本方法是:先確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性(若圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,則具有單調(diào)性),再利用函數(shù)零點的存在定理確定零點的唯一性,最后判斷函數(shù)值的大小關(guān)系。

五、綜合應(yīng)用問題

例5若函數(shù)f(x)的零點與函數(shù)g(x)=4x+2x-2 的零點之差的絕對值不超過0.25,則f(x)可以是( )。

A.f(x)=4x-1

B.f(x)=log3(2-x)

C.f(x)=3x-1

D.f(x)=2x-3

分析:先確定各選項中函數(shù)f(x)的零點,結(jié)合各零點的取值情況,通過函數(shù)g(x)的正負(fù)取值來確定零點所在的區(qū)間,再借助二分法進(jìn)一步縮小區(qū)間,最后得到適合題意的函數(shù)f(x)。

解:對于A,函數(shù)f(x)=4x-1 的零點為對于B,函數(shù)f(x)=log3(2-x)的零點為x=1。對于C,函數(shù)f(x)=3x-1的零點為x=0。對于D,函數(shù)f(x)=2x-3的零點為

因為函數(shù)f(x),g(x)的零點之差的絕對值不超過0.25,所以f(x)=4x-1的零點符合條件。應(yīng)選A。

解答本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)零點的存在定理來確定函數(shù)零點所在的區(qū)間。

編者的話:函數(shù)零點的存在定理是函數(shù)與方程中的重要內(nèi)容,它涉及函數(shù)思想、方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想,以及二分法思想等。因此,函數(shù)零點的存在定理的應(yīng)用成為高考的?？键c,同學(xué)們一定要高度重視。