考慮實(shí)際接觸節(jié)理微凸體對(duì)剪切強(qiáng)度不同貢獻(xiàn)比例的峰值剪脹角模型

班力壬，候宇航，杜偉升，俞 縉，戚承志, ，單仁亮

(1.北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院,北京 100044；2.煤炭科學(xué)研究總院有限公司 深地科學(xué)院,北京 100013；3.華僑大學(xué) 巖土工程研究所,福建 廈門 361021；4.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院,北京 100083)

節(jié)理裂隙是控制巖體的變形破壞不可忽視的因素，節(jié)理的剪切力學(xué)特性比完整巖體的剪切力學(xué)特性更應(yīng)引起工程關(guān)注[1-2]。一般而言，影響巖石節(jié)理剪切力學(xué)特性的因素包括節(jié)理的表面形貌特征、法向應(yīng)力、節(jié)理面的接觸狀態(tài)以及充填物質(zhì)等。對(duì)于吻合程度較好、不含充填物質(zhì)的巖石節(jié)理而言，節(jié)理表面的形貌粗糙特征和法向應(yīng)力則是影響其剪切力學(xué)行為的主要因素[3-4]。

節(jié)理粗糙度作為影響剪切強(qiáng)度的關(guān)鍵因素，其表征方法一直都是巖石力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[5]。粗糙度的定量表征方法包括統(tǒng)計(jì)參數(shù)法和分形法。常見的統(tǒng)計(jì)參數(shù)有：一階導(dǎo)數(shù)均方根Z2、結(jié)構(gòu)函數(shù)SF、跡線長(zhǎng)度Rp、均方根RMS、均方值VMS、中心線平均值VCLA等[6]。許多統(tǒng)計(jì)參數(shù)雖然表征了粗糙度的各向異性特性，然而大部分參數(shù)均基于二維輪廓線研究節(jié)理表面的起伏度。采用分形理論表征的粗糙度公式很多，其優(yōu)勢(shì)在于粗糙度的表征可以獨(dú)立于測(cè)量尺度[7-8]。但有學(xué)者認(rèn)為分形理論獲得的粗糙度的公式間通用性較差，分形法沒有體現(xiàn)節(jié)理粗糙度的三維特性和各向異性特征[9]。這限制了傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)參數(shù)和分形理論在節(jié)理剪切理論中的應(yīng)用和發(fā)展。

基于粗糙度的表征方法建立的節(jié)理面峰值抗剪強(qiáng)度模型可大致分為3 類：Barton 系模型、Grasselli系模型、其他類型模型。Barton 系模型主要以Barton 提出的JRC-JCS 模型為基礎(chǔ)，其研究的重點(diǎn)在于如何定量、精確地確定節(jié)理的粗糙度參數(shù)JRC[10]。盡管近年來數(shù)字化處理技術(shù)[11]、小波變換理論[12]等方法在對(duì)節(jié)理粗糙度的表征和JRC 的獲取方面做了新突破，但獲取JRC 最常用的方法為：一是與10 條標(biāo)準(zhǔn)輪廓線對(duì)比，以主觀比較的方式確定JRC；二是通過直剪試驗(yàn)得到的峰值抗剪強(qiáng)度反算JRC。第1 種方法評(píng)估粗糙度方式過于主觀，第2 種方法則顛倒了工程應(yīng)用的主次，即研究的目的在于預(yù)測(cè)峰值剪強(qiáng)度而非通過強(qiáng)度反分析粗糙度。當(dāng)法向應(yīng)力趨于0 時(shí)，Barton 系模型失去了數(shù)學(xué)意義。此外，JRC-JCS 模型最突出的問題在于只能截取若干二維輪廓線估算節(jié)理面的二維形貌，這種平均化思想過度簡(jiǎn)化了節(jié)理的粗糙度信息，無法充分反映節(jié)理形貌的三維特征。

Grasselli 系的節(jié)理峰值抗剪強(qiáng)度模型主要基于其提出的三維粗糙度指標(biāo)體系。GRASSELLI 等[13]通過激光掃描技術(shù)獲得了節(jié)理表面的三維點(diǎn)云，將節(jié)理面粗糙不平的起伏近似為三角形的微凸體，運(yùn)用三角形算法擬合了節(jié)理面的有效視傾角分布函數(shù)，并提出最大接觸面積比A0、最大有效視傾角，粗糙度分布參數(shù)C等3 個(gè)函數(shù)作為表面形貌參數(shù)來預(yù)測(cè)和估算節(jié)理面的峰值抗剪強(qiáng)度。YANG 模型[14]、XIA 模型[15]、TATONE 模型[16]均采用了GRASSELLI 提出的3 個(gè)表面形貌參數(shù)，TIAN 模型[17]將GRASSELLI提出的粗糙度分布參數(shù)C修正為C′，上述模型均可視為GRASSELLI 系模型。

除了BARTON 系模型和GRASSELLI 系模型外，學(xué)者們還提出了其他類型模型[18-20]。葛云峰[18]提出了一個(gè)節(jié)理粗糙度的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，其中的粗糙度參?shù)BAP(光亮面積百分比)與BARTON 提出的JRC 的相關(guān)性較差。ZHANG 等[19]提出的模型能較好反映節(jié)理在正向和反向剪切方向上的各向異性特性，且峰值剪脹角符合節(jié)理剪切的邊界條件，然其中的2 個(gè)粗糙度參數(shù)修正的一階導(dǎo)數(shù)均方根Z2與退化參數(shù)Cm是2個(gè)獨(dú)立參數(shù)，其形式復(fù)雜且不易獲取，預(yù)測(cè)精度未得到廣泛證實(shí)。GHAZVINIAN 模型[20]只能通過直剪試驗(yàn)反算初始剪脹角i0，因而不能預(yù)測(cè)節(jié)理的峰值剪切強(qiáng)度，在實(shí)際中應(yīng)用中還存在不小局限性。而由GRASSELLI 等[21]提出及后續(xù)發(fā)展的系列模型，由一組關(guān)鍵的形貌參數(shù)表征節(jié)理表面的粗糙度信息，兼顧對(duì)三維形態(tài)特征和節(jié)理各向異性特性的考慮，且預(yù)測(cè)的峰值抗剪強(qiáng)度精度較高，是目前較為合適的節(jié)理峰值抗剪強(qiáng)度模型。

節(jié)理在剪切過程中的損傷退化機(jī)理也在逐步被揭示。在建立節(jié)理峰值抗剪強(qiáng)度模型時(shí)，一般需要考慮節(jié)理在剪切方向上的各向異性特性，包括在相反方向上的各向異性(在某一方向和該方向旋轉(zhuǎn)180°對(duì)應(yīng)的方向)。此外，傳統(tǒng)的JRC-JCS 模型以JCS(壁面抗壓強(qiáng)度，對(duì)于未風(fēng)化新鮮巖石等于巖石的單軸抗壓強(qiáng)度)作為材料強(qiáng)度解釋直剪試驗(yàn)過程中微凸體的受壓破壞尚存在不足。近年來XIA 等[15]、ZHANG 等[19]通過試驗(yàn)證實(shí)，節(jié)理面表面微凸體多發(fā)生拉伸破壞而非受壓破壞，因此峰值剪切強(qiáng)度模型中的材料強(qiáng)度項(xiàng)應(yīng)為節(jié)理面壁抗拉強(qiáng)度。GRASSELLI 等[13]指出，在粗糙節(jié)理剪切過程中，節(jié)理的滑移、啃斷等只是一小部分接觸區(qū)域引起的，接觸面上面向剪切方向、最陡的區(qū)域與節(jié)理的損傷破壞區(qū)域及峰值剪切強(qiáng)度有密切聯(lián)系。BAN 等[22]基于GRASSELLI 形貌分布理論與赫茲接觸理論，提出考慮實(shí)際接觸節(jié)理粗糙度的峰值剪脹角模型。這些機(jī)理的揭示促進(jìn)了節(jié)理峰值抗剪強(qiáng)度模型的發(fā)展。

然而上述研究?jī)H把實(shí)際接觸微凸體角度的平均值視為節(jié)理剪脹角，不同形貌的微元對(duì)節(jié)理剪切強(qiáng)度的貢獻(xiàn)并未考慮。為合理預(yù)測(cè)節(jié)理峰值剪脹角，筆者重點(diǎn)開展GRASSELLI 系列模型的研究，通過考慮實(shí)際接觸節(jié)理微凸體對(duì)剪切強(qiáng)度不同貢獻(xiàn)比例，推導(dǎo)出了整個(gè)節(jié)理微凸體等效實(shí)際接觸節(jié)理平均角。將節(jié)理微凸體等效實(shí)際接觸節(jié)理平均角等同于節(jié)理峰值剪脹角，提出新的節(jié)理峰值剪脹角模型。通過現(xiàn)有的研究成果論證了筆者所提峰值剪脹角的合理性，進(jìn)一步揭示了節(jié)理抗剪行為的機(jī)理，為相關(guān)研究提供參考。

1 GRASSELLI 系列模型簡(jiǎn)介

GRASSELLI[9]研究發(fā)現(xiàn)節(jié)理面的真實(shí)形貌可用三角形網(wǎng)格微元近似表示，三角形微元可通過節(jié)理面測(cè)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)生成，而三角形微元的傾角θ、有效視傾角 θ?、剪切方向與微元傾向的夾角α之間存在一定的幾何關(guān)系，如圖1 所示。

圖1 剪切面上三角形微元受剪示意[9]Fig.1 Shear state of the triangle asperity on the shear plane[9]

通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合，發(fā)現(xiàn)三角形微元有效視傾角大于 θ?的微元面積總和與節(jié)理面面積比Aθ?與 θ?的關(guān)系見式(1)[9]：

其中，A0為最大接觸面積比，是所有節(jié)理微元等效傾角大于0°時(shí)的面積總和與節(jié)理表面面積總和之比；C為粗糙度分布參數(shù)，描述視傾角的分布情況。當(dāng)C>1 時(shí)，式(1)中的函數(shù)關(guān)系可用圖2 表示。

圖2 GRASSELLI 視傾角分布函數(shù)中 Aθ? 與 θ?的關(guān)系Fig.2 Relationship between Aθ? and θ? in GRASSELLI’s distribution function of apparent dip angle

由圖2 可知，隨著有效視傾角 θ?的增大，有效視傾角大于 θ?的所有微元面積比Aθ?在減小，最終減小到0。

式中，τp為節(jié)理峰值抗剪強(qiáng)度；σn為法向應(yīng)力；φb為基本摩擦角；φr為殘余摩擦角；β為節(jié)理面的傾角(一般β=0)；σt為單軸抗拉強(qiáng)度。

TATONE 等[23]計(jì)算了圖2 曲線下方的閉合面積，對(duì)式(1)進(jìn)行積分，得

式中，l為采樣間距，mm。

XIA 等[15]認(rèn)為GRASSELLI 模型與TATONE 模型不滿足摩爾-庫倫形式，因此提出式(5)來預(yù)測(cè)節(jié)理峰值抗剪強(qiáng)度：

YANG 等[14]提出節(jié)理峰值抗剪強(qiáng)度模型，見式(6)：

式中，σc為單軸抗壓強(qiáng)度。

BAN 等[22]基于GRASSELLI 形貌分布理論與赫茲接觸理論，提出考慮實(shí)際接觸節(jié)理粗糙度的峰值剪脹角模型，見式(7)：

式中，ip為峰值剪脹角。

BAN 等[22]提出峰值剪脹角即為實(shí)際接觸節(jié)理微元的平均角度，然而不同形貌的微元對(duì)節(jié)理剪切強(qiáng)度的貢獻(xiàn)并未考慮。

節(jié)理的峰值抗剪強(qiáng)度符合摩爾-庫倫準(zhǔn)則[25]，見式(8)：

將式(8)與既有的GRASSELLI 系列模型聯(lián)立可反推出各模型峰值剪脹角。

2 對(duì)剪切強(qiáng)度有貢獻(xiàn)的節(jié)理微凸體范圍與貢獻(xiàn)比例

2.1 對(duì)剪切強(qiáng)度有貢獻(xiàn)的微凸體分布范圍

陳曦等[25]研究發(fā)現(xiàn)節(jié)理在剪切時(shí)受到的阻力只是一小部分較陡的微凸體產(chǎn)生的，式(1)中C的增大會(huì)導(dǎo)致較陡的視傾角面積比含量降低，節(jié)理粗糙度也會(huì)降低。當(dāng)C增大，節(jié)理中較陡視傾角的減少才是引起節(jié)理粗糙度降低的根本原因，而非較平緩視傾角的增大。因此，對(duì)節(jié)理粗糙度的研究應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注較陡的視傾角而非較平緩的視傾角。

對(duì)于巖石節(jié)理在法向應(yīng)力下的剪切問題，實(shí)際接觸面積Ac可以近似認(rèn)為是作用在節(jié)理面上法向荷載N除以巖石的單軸抗壓強(qiáng)度σc[22]，見式(9)：

式中，A為節(jié)理面名義面積。

式中，Aθ?cr/A0為面向剪切方向接觸面積與面向剪切方向所有節(jié)理微凸體面積的比，約等于Ac/A[22]。

基于以上假設(shè)，結(jié)合式(9)、(10)，得到所有接觸微凸體中的最小傾角，有

由式(11)可確定實(shí)際接觸節(jié)理的最小角度。剪切過程中實(shí)際接觸的微凸體才對(duì)剪切強(qiáng)度有貢獻(xiàn)，那么對(duì)剪切強(qiáng)度有貢獻(xiàn)的部分為視傾角在的微凸體。對(duì)于視傾角在(0，)的微凸體在研究節(jié)理剪切強(qiáng)度時(shí)應(yīng)該予以剔除。

2.2 實(shí)際接觸節(jié)理中各部分微凸體對(duì)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)比例的確定

KWON 等[26]研究了長(zhǎng)方體微凸體的破壞模式，如圖3 所示，長(zhǎng)方體微凸體高度為h，長(zhǎng)度為b，幾何參數(shù)m=h/b，法向荷載為N，切向荷載為T。當(dāng)mmc時(shí)，破壞模式為剪斷破壞。

圖3 長(zhǎng)方體微凸體破壞模式Fig.3 Failure modes of rectangular-shaped asperity

臨界幾何參量mc如式(12)[26]所示：

式中，c、φf分別為完整巖石的黏聚力與峰值摩擦角。

單個(gè)長(zhǎng)方體微凸體的剪切強(qiáng)度[26]如式(13)所示。由式(13)可知，對(duì)于確定材料的巖石節(jié)理微凸體，當(dāng)m小于臨界幾何參數(shù)mc時(shí)，剪切強(qiáng)度隨著m增加線性增加，達(dá)到臨界幾何參數(shù)后保持不變。

上述是將節(jié)理微凸體等效為長(zhǎng)方形微凸體進(jìn)行分析，對(duì)于微小的單元等效為長(zhǎng)方形單元與三角形單元是相似的。因此將節(jié)理等效為三角形微凸體也應(yīng)具有以上類似性質(zhì)。假設(shè)微凸體的臨界形狀參數(shù)mc對(duì)應(yīng)的傾角為臨界角度，則對(duì)于確定材料的巖石節(jié)理三角形微凸體，當(dāng)?shù)刃A角 θ?小于臨界角度時(shí)，剪切強(qiáng)度隨著 θ?增加線性增加，即剪切強(qiáng)度正比于 θ?；等效傾角 θ?大于臨界角度時(shí)，剪切強(qiáng)度不變，正比于。

綜合2.1 節(jié)，在巖石節(jié)理面上抵抗剪切的阻力是由面向剪切方向上所接觸微凸體產(chǎn)生的，所接觸微凸體最小角度為。對(duì)于 θ?在的微凸體，其破壞模式為剪脹破壞，對(duì)剪切強(qiáng)度的貢獻(xiàn)正比于 θ?；對(duì)于 θ?在的微凸體，其破壞模式為剪斷破壞，對(duì)剪切強(qiáng)度的貢獻(xiàn)正比于。

3 考慮實(shí)際接觸節(jié)理微凸體對(duì)剪切強(qiáng)度不同貢獻(xiàn)比例的峰值剪脹角模型

陳曦等[25]研究表明GRASSELLI 分布函數(shù)中的C與能夠描述有效視傾角的分布情況和“含量”情況，類似于土壤顆粒粒度分析過程。將GRASSELLI分布函數(shù)進(jìn)行變式，將A0移到等式左側(cè)得

圖4 與θ?的關(guān)系Fig.4 Relationship between and θ?

故所有剪脹破壞微凸體的剪切強(qiáng)度τ1，可由式(16)求得

對(duì)于 θ?在間的微凸體，其破壞模式為剪斷破壞，對(duì)剪切強(qiáng)度的貢獻(xiàn)正比于。則所有剪斷破壞的三角形微凸體強(qiáng)度正比于與所有等效傾角為θ?的三角形單元含量乘積之和。所有剪斷破壞微凸體的剪切強(qiáng)度τ2，可由式(17)求得

則所有面向剪切方向微凸體的抗剪強(qiáng)度τ3，如式(18)所示：

BAN 等[22]發(fā)現(xiàn)實(shí)際接觸節(jié)理微凸體的平均角度為節(jié)理峰值剪脹角。然而上述研究?jī)H從實(shí)際接觸節(jié)理形貌分布角度來提出峰值剪脹角，節(jié)理峰值剪脹角是為預(yù)測(cè)節(jié)理剪切強(qiáng)度服務(wù)的，峰值剪脹角應(yīng)該從物理意義上與節(jié)理剪切強(qiáng)度聯(lián)系起來。本文考慮實(shí)際接觸節(jié)理微凸對(duì)剪切強(qiáng)度的不同貢獻(xiàn)，提出了一個(gè)可與剪切強(qiáng)度相聯(lián)系的等效實(shí)際接觸節(jié)理平均角；實(shí)際接觸節(jié)理平均傾角即為剪脹角，所提等效實(shí)際接觸節(jié)理平均角即為新的峰值剪脹角模型，如式(19)所示。

4 模型驗(yàn)證

表1 各學(xué)者試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及模型計(jì)算結(jié)果Table 1 Test data and calculation results of different scholars

為對(duì)各個(gè)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，選取相對(duì)誤差平均值來定量描述各模型的精度。

相對(duì)誤差平均值δ的計(jì)算，如式(20)所示：

經(jīng)計(jì)算本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為14%，BAN 模型平均誤差為14%，GRASSELLI 模型估算的平均誤差為17%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為13%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為21%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為14%。

鑒于節(jié)理試樣的巖性對(duì)剪切行為的影響，下面用不同學(xué)者們?yōu)椴煌瑤r性的節(jié)理試樣實(shí)施剪切試驗(yàn)的結(jié)果來驗(yàn)證本模型。

根據(jù)YANG 等[14]發(fā)表的10 組花崗巖試驗(yàn)結(jié)果，采用最小二乘法擬合得到=28°。表1 展示了YANG 的試驗(yàn)結(jié)果與上述6 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。經(jīng)計(jì)算本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為3%，BAN 模型平均誤差為8%，GRASSELLI模型估算的平均誤差為13%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為13%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為25%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為12%。

根據(jù)YANG 等[14]發(fā)表的10 組砂巖試驗(yàn)結(jié)果，采用最小二乘法擬合得到=30°。表1 展示了YANG的試驗(yàn)結(jié)果與上述6 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。經(jīng)計(jì)算本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為6%，BAN 模型平均誤差為11%，GRASSELLI 模型估算的平均誤差為24%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為22%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為8%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為26%。

根據(jù)XIA 等[15]發(fā)表的10 組砂巖試驗(yàn)結(jié)果，采用最小二乘法擬合得到=40°。表1 展示了XIA 的試驗(yàn)結(jié)果與上述6 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。經(jīng)計(jì)算本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為14%，BAN 模型平均誤差為14%，GRASSELLI 模型估算的平均誤差為19%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為13%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為16%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為19%。根據(jù)TATONE 等[23]發(fā)表的6 組砂巖試驗(yàn)結(jié)果，采用最小二乘法擬合得到=40°。表1 展示了TATONE 的試驗(yàn)結(jié)果與上述6 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。經(jīng)計(jì)算本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為4%，BAN 模型平均誤差為4%，GRASSELLI 模型估算的平均誤差為8%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為11%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為22%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為6%。

根據(jù)GRASSELLI[9]發(fā)表的7 組石灰?guī)r節(jié)理試驗(yàn)結(jié)果，采用最小二乘法擬合得到=28°。表1 展示了GRASSELLI 試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果與上述6 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。經(jīng)計(jì)算本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為4%，BAN 模型平均誤差為15%，GRASSELLI 模型估算的平均誤差為5%，XIA模型估算的相對(duì)平均誤差為9%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為6%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為5%。

根據(jù)GRASSELLI[9]發(fā)表的7 組花崗巖節(jié)理試驗(yàn)結(jié)果，采用最小二乘法擬合得到=35°。表1 展示了GRASSELLI 的試驗(yàn)結(jié)果與上述6 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。經(jīng)計(jì)算本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為5%，BAN 模型平均誤差為23%，GRASSELLI 模型估算的平均誤差為8%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為5%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為8%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為6%。

根據(jù)Grasselli[9]發(fā)表的11 組大理巖節(jié)理試驗(yàn)結(jié)果，采用最小二乘法擬合得到=28°。表1 展示了GRASSELLI 的試驗(yàn)結(jié)果與上述6 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。經(jīng)計(jì)算本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為12%，BAN 模型平均誤差為14%，GRASSELLI 模型估算的平均誤差為16%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為11%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為11%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為16%。

根據(jù)GRASSELLI[9]發(fā)表的3 組節(jié)理試驗(yàn)結(jié)果，采用最小二乘法擬合得到=28°。表1 展示了Grasselli的試驗(yàn)結(jié)果與上述6 種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。經(jīng)計(jì)算本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為21%，BAN 模型平均誤差為23%，GRASSELLI模型估算的平均誤差為66%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為40%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為22%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為9%。

將BAN 等[22]、GRASSELLI[9]、XIA 等[15]、YANG等[14]、TATONE 等[23]的89 組試驗(yàn)數(shù)據(jù)匯總分析平均誤差，如圖5 所示(圖5 與圖6 中斜直線為數(shù)據(jù)擬合直線，直線越接近y=x，表明模型精度越高)。本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為10%，BAN 模型估計(jì)的誤差為13%，GRASSELLI 模型估算的平均誤差為17%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為13%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為13%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為14%。由此可知在數(shù)據(jù)比較多時(shí)本文模型精度屬于最好的。

圖5 所得節(jié)理峰值剪脹角試驗(yàn)結(jié)果與本模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of test results and calculation results of the peak shear strength model

圖6 =32°時(shí)所得節(jié)理峰值剪脹角試驗(yàn)結(jié)果與本模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of test results and calculation results of the peak shear strength model with =32°

5 討論

根據(jù)第4 節(jié)驗(yàn)證結(jié)果，對(duì)于部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)，BAN模型與新模型預(yù)測(cè)精度相差不大；而對(duì)于另外的試驗(yàn)結(jié)果，新模型預(yù)測(cè)結(jié)果明顯優(yōu)于BAN 模型。為解釋上述情況，筆者探討不同C、對(duì)的影響。當(dāng)=70°，σn=1 MPa，A0=0.5，σc=27.5 MPa，取C=3、5、7 時(shí)，分析隨著變化，的變化，如圖7 所示。

圖7 與預(yù)測(cè)值關(guān)系Fig.7 Relationship between and

圖7 中實(shí)線為BAN 模型預(yù)測(cè)值，點(diǎn)劃線為新模型預(yù)測(cè)值。由圖7 可知，當(dāng)C一定時(shí)，隨著增大，以類似拋物線的形式逐漸變大，并且趨于BAN 模型預(yù)測(cè)值；隨著C的增大，BAN 模型與新模型的預(yù)測(cè)值都在降低。其中BAN 模型由39°減小為27°、21°。當(dāng)=32°時(shí)，新模型由32°減小為26°、20°。這是因?yàn)镃的增大會(huì)導(dǎo)致較陡的視傾角的面積比含量降低，節(jié)理粗糙度也會(huì)降低，進(jìn)而節(jié)理峰值剪脹角減小。同時(shí)由圖7 可知，隨著C的增大，2 個(gè)模型的差值也會(huì)降低。當(dāng)=32°的情況下，C=3 時(shí)，兩模型的差值為8°；C=5 時(shí)，兩模型的差值為4°；而C=7 時(shí)，兩模型的差值為1°。這表明，在C較大時(shí)，兩模型的預(yù)測(cè)結(jié)果較為接近；而C較小時(shí)，新模型的預(yù)測(cè)精度要高于BAN 模型。因此是否考慮對(duì)于不同形貌的節(jié)理有著不同的影響。

由圖7 可知，當(dāng)C較小時(shí)，對(duì)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果影響較大。通過89 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果，筆者確定了約為32°。根據(jù)共89 組試驗(yàn)數(shù)據(jù)匯總分析平均誤差僅為11%，與其他模型比較所得結(jié)果精度最高。上述僅從試驗(yàn)結(jié)果擬合確定了，并未從物理機(jī)理上去解釋。因此有必要對(duì)取值在理論上的解釋進(jìn)行一些闡述。

對(duì)于長(zhǎng)方體微凸體，由式(12)可知臨界幾何參量與巖石材料性質(zhì)、法向應(yīng)力有關(guān)。在低法向應(yīng)力下[27]，式(12)可進(jìn)行簡(jiǎn)化，即

由式(21)可知，mc僅與峰值內(nèi)摩擦角關(guān)系較大。式(12)是節(jié)理形貌由連續(xù)長(zhǎng)方體微凸體劃分所得的理論計(jì)算結(jié)果。如采用三角形劃分節(jié)理形貌，將微凸體由長(zhǎng)方體轉(zhuǎn)變?yōu)槿切挝⑼贵w，則可將微凸體最高點(diǎn)等效為三角形微凸體頂點(diǎn)，劃分間距為三角形的最底部長(zhǎng)度。圖8 表示微凸體為剪斷破壞模式時(shí)長(zhǎng)方體與三角形微凸體的劃分情況，綠色實(shí)體部分為劃分的三角形微凸體。

圖8 采用長(zhǎng)方形與三角形微凸體劃分網(wǎng)格時(shí)的示意Fig.8 Schematic diagram of grid generation with rectangular and triangular asperities

對(duì)于長(zhǎng)方形微凸體，其臨界幾何參數(shù)為mc，破壞面沿微凸體的根部。由圖8 可知，將節(jié)理面等效為連續(xù)三角形微凸體時(shí)，三角形臨界角度如式(22)所示。

常見巖石內(nèi)摩擦角通常為21°～40°，可取30°[28]。代入式(22)可得為25°～35°，通常為30°左右。因此，由89 組試驗(yàn)結(jié)果擬合獲得的=32°有一定合理性。

新模型的應(yīng)用需要獲取一些節(jié)理微觀參數(shù)，對(duì)于一些工程中這些參數(shù)的獲取較為困難。以上針對(duì)上述情形對(duì)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，取試驗(yàn)擬合的=32°來統(tǒng)一確定新的峰值剪脹角模型，上述對(duì)模型的簡(jiǎn)化的研究可以拓展新模型的適用范圍。

6 結(jié)論

(1)在巖石節(jié)理上抵抗剪切的阻力是由面向剪切方向的所接觸微凸體產(chǎn)生的。對(duì)于 θ?在(，)的微凸體，其破壞模式為剪脹破壞，對(duì)剪切強(qiáng)度的貢獻(xiàn)正比于 θ?。而 θ?在的微凸體的破壞模式為剪斷破壞，對(duì)剪切強(qiáng)度的貢獻(xiàn)正比于。

(2)根據(jù)實(shí)際接觸節(jié)理微凸對(duì)剪切強(qiáng)度不同貢獻(xiàn)比例，推導(dǎo)出了等效實(shí)際接觸節(jié)理平均角。將等效實(shí)際接觸節(jié)理平均角等同于節(jié)理峰值剪脹角，提出新的節(jié)理峰值剪脹角模型。該指標(biāo)物理意義明確，TATONE與BAN 所提粗糙度指標(biāo)僅僅是本文所提新指標(biāo)的一種特殊情況。

(3)用以往學(xué)者的89 組試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)分析了模型的預(yù)測(cè)能力。本文提出的峰值剪脹角新模型估算的相對(duì)平均誤差為10%，BAN 模型估計(jì)的誤差為13%，GRASSELLI 模型估算的平均誤差為17%，XIA 模型估算的相對(duì)平均誤差為13%，YANG 模型估算的相對(duì)平均誤差為13%，TATONE 模型估算的相對(duì)平均誤差為14%。在數(shù)據(jù)較多時(shí)，本文模型精度較好。