模型思想在小學(xué)中高段數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透路徑

■山東省濟(jì)南市章丘區(qū)相公莊學(xué)區(qū)學(xué)校 宋兆財

隨著新課改的深入推進(jìn)，在加強(qiáng)學(xué)生核心素養(yǎng)培育的背景下，數(shù)學(xué)模型思想得到更多關(guān)注。作為數(shù)學(xué)三大基本思想之一，模型思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要作用，學(xué)生可以在“模型意識”與“模型觀念”的引導(dǎo)下提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)的提升。本文以模型思想在小學(xué)中高段數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透為關(guān)注點，結(jié)合人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材提出培養(yǎng)學(xué)生模型意識的策略。

一、模型思想應(yīng)用于小學(xué)中高段數(shù)學(xué)教學(xué)中的必要性

（一）基于課程標(biāo)準(zhǔn)

問題解決是新課標(biāo)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的整體目標(biāo)。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中提出問題，利用掌握的數(shù)學(xué)知識提出解決方法，并在交流思考中判斷問題解決的合理性。同時，新課標(biāo)對模型思想的應(yīng)用也提出要求，應(yīng)做到在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計中突出顯模型思想，強(qiáng)調(diào)模型建立及求解過程。由此可見，模型思想的滲透并不是與教材內(nèi)容的簡單融合，而是應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容及學(xué)生特點確定合理的滲透方式與滲透程度。在教學(xué)實踐中，可以通過模型思想解決運算律、加和減等數(shù)與代數(shù)問題，以及平面圖形周長和面積、立體圖形體積和表面積等幾何問題，學(xué)生通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型探尋解決問題的思路與方法，進(jìn)而實現(xiàn)模型思想在小學(xué)中高段數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透。

（二）基于教材內(nèi)容

教科書編排以課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，基于教材編排的模型思想滲透主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型內(nèi)容及安排形式兩個方面。

首先，數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)模型思想主要應(yīng)用于“問題解決”的過程中，結(jié)合教材編寫內(nèi)容來看，數(shù)學(xué)模型可以分為數(shù)與代數(shù)模型、圖形與幾何模型以及統(tǒng)計與概率模型。通過數(shù)學(xué)模型，學(xué)生可以對相關(guān)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析與整合，從而提高問題解決效率。

其次，對人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材來說，在內(nèi)容安排上并沒有設(shè)置專門的“問題解決”模塊，而是通過課后練習(xí)、“做一做”等培養(yǎng)學(xué)生知識運用及問題解決能力。例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊第三單元《長方體 正方體》中設(shè)置有磚墻體積和包裝盒體積計算，同時還引入了生活中的蓄水池等案例，通過基本的長、寬、高計算來實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的運用。在此過程中，學(xué)生不僅要加深對模型的印象，還應(yīng)理解模型猜想、建立、驗證的全過程。

（三）基于學(xué)生學(xué)情

小學(xué)高年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸向形式運算階段發(fā)展，學(xué)生思維開始從形象向抽象轉(zhuǎn)變，進(jìn)而通過歸納與分析了解事物之間的關(guān)系。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)以及教材內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題解決能力的培養(yǎng)主要集中在小學(xué)中高段（四、五、六年級），隨著知識的不斷積累，學(xué)生解決問題的難度逐漸提升。而且，模型思想培養(yǎng)與中高段學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng)，因此將模型思想滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中十分必要。

二、小學(xué)中高段數(shù)學(xué)滲透模型思想教學(xué)流程

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

問題情境創(chuàng)設(shè)是運用模型思想的第一步，即通過情境將數(shù)學(xué)問題表現(xiàn)出來，實現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的連通。創(chuàng)設(shè)問題情境應(yīng)符合三個條件，一是選取現(xiàn)實生活中可能存在的合理素材，避免與生活實際脫節(jié)，進(jìn)而將數(shù)學(xué)模型從日常生活中抽象出來；二是與學(xué)生生活密切相關(guān)，學(xué)生可以通過已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識了解和體會情境；三是問題情境的設(shè)置應(yīng)做到充分、準(zhǔn)確、結(jié)構(gòu)良好，可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。

（二）提出數(shù)學(xué)假設(shè)

完成情境創(chuàng)設(shè)后，可以根據(jù)其中的數(shù)學(xué)信息發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、提出數(shù)學(xué)假設(shè)，幫助學(xué)生加深對相關(guān)數(shù)學(xué)問題的了解。在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生應(yīng)對情境中涉及的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)性判斷，識別有關(guān)數(shù)學(xué)要素，明確要素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而正確敘述數(shù)學(xué)問題。其中，對學(xué)生的閱讀理解能力與信息獲取能力提出更高要求。通常情況下，可以根據(jù)問題情境中的具體條件推測數(shù)學(xué)問題，如當(dāng)給出物品數(shù)量及單價條件后，可以推斷問題為“一共要花多少錢”；給出雞、兔的頭和腳的數(shù)量后，推斷問題為“雞、兔分別有多少只”等。

（三）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是運用模型思想的關(guān)鍵步驟，根據(jù)得到的數(shù)學(xué)問題，通過數(shù)字和符號建立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動與該問題相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。這一環(huán)節(jié)對學(xué)生的問題表達(dá)能力和信息推理能力都提出了較高要求，而結(jié)合整體小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來看，數(shù)學(xué)模型發(fā)揮著承上啟下的系統(tǒng)性作用。新數(shù)學(xué)模型是舊數(shù)學(xué)模型的拓展與延伸，二者在本質(zhì)上具有一定的共通性，因此在教學(xué)實踐中教師應(yīng)重點掌握新舊數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生以舊數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，完成新數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。

（四）數(shù)學(xué)模型求解

數(shù)學(xué)模型求解就是在完成數(shù)學(xué)模型建立后，運用正確方法得出結(jié)果，主要鍛煉的是學(xué)生的運算能力。如果對方法型、結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型求解，學(xué)生需要運用相關(guān)的運算定理與法則得出數(shù)量關(guān)系式，再進(jìn)行運算；如果對概念型數(shù)學(xué)模型求解，學(xué)生則需要在各種教學(xué)活動中理解數(shù)學(xué)模型，并實現(xiàn)情境問題的初步解決。

（五）數(shù)學(xué)模型驗證

數(shù)學(xué)模型驗證包括模型檢驗及問題解答兩個環(huán)節(jié)。模型檢驗指的是將模型求解結(jié)果代入實際問題中進(jìn)行對比，確定各個條件的合理性，判斷數(shù)學(xué)模型運用的正確性與適用性。在此過程中，應(yīng)理清各數(shù)學(xué)要素之間的關(guān)系，若存在問題則需要重新建模。問題解答則是對數(shù)學(xué)模型意義的延伸，這也體現(xiàn)出模型思想的運用就是通過數(shù)學(xué)認(rèn)識、思考和表達(dá)體現(xiàn)數(shù)學(xué)意義。因此在這一步驟中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過問題解答應(yīng)用數(shù)學(xué)，充分發(fā)揮出數(shù)學(xué)模型的作用與價值。

（六）數(shù)學(xué)模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型應(yīng)用就是將數(shù)學(xué)模型運用到具體情境中，根據(jù)具體的運用情況對學(xué)生數(shù)學(xué)模型掌握水平進(jìn)行檢驗。隨著模型思想的應(yīng)用，學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的來源、建立與使用已經(jīng)產(chǎn)生初步認(rèn)識，為模型的遷移與拓展打下基礎(chǔ)。學(xué)生在數(shù)學(xué)模型提取與應(yīng)用中主要通過一系列鞏固練習(xí)理解情境設(shè)置、推斷數(shù)學(xué)問題、梳理數(shù)學(xué)信息，并將其以數(shù)學(xué)模型的形式呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生真正意義上掌握數(shù)學(xué)模型的意義與用法。

三、數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透——以《百分?jǐn)?shù)》為例

（一）教學(xué)內(nèi)容選取

結(jié)合對人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的分析，選擇六年級教材中“百分?jǐn)?shù)”相關(guān)知識作為研究內(nèi)容，同時結(jié)合分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法等知識實現(xiàn)對百分?jǐn)?shù)章節(jié)中方程內(nèi)容的深入學(xué)習(xí)。教學(xué)實踐中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與應(yīng)用，讓學(xué)生可以通過模型思想解決數(shù)學(xué)問題。

（二）教學(xué)實踐過程

1.創(chuàng)設(shè)問題情境。

教師可以通過圖片、視頻等方式進(jìn)行課程導(dǎo)入，向?qū)W生展示情境圖片，提出問題：“大家在生活中觀察過這樣的情景嗎？圖上展現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)問題？”學(xué)生認(rèn)真觀察圖片并進(jìn)行解讀，通過簡練的語言將數(shù)學(xué)問題表述出來：“通過貨車運輸蘋果，已經(jīng)運輸完成40%，還剩下54噸，一共有多少噸蘋果？”

運輸蘋果的數(shù)學(xué)情境與學(xué)生的現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密，學(xué)生可以通過觀察圖片信息理解情境設(shè)置、發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的積極性。完成問題情境的展示后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考解題思路，幫助學(xué)生形成良好的解題習(xí)慣，提高學(xué)生題意表述能力。創(chuàng)設(shè)問題情境是運用模型思想的基礎(chǔ)，學(xué)生在教師的啟發(fā)下明確數(shù)學(xué)問題，尋找相關(guān)數(shù)學(xué)信息。值得注意的是，創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)與小學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng)，因此教師要加強(qiáng)對學(xué)生生活環(huán)境與實際情況的了解。

2.提出數(shù)學(xué)假設(shè)。

教師對學(xué)生的思路進(jìn)行引導(dǎo)，轉(zhuǎn)換題目表述方式，明確題目中條件的數(shù)量關(guān)系。在這一環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)情境進(jìn)行解讀，提出假設(shè)形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。考慮到小學(xué)生的認(rèn)識水平與接受能力尚在發(fā)展中，教師應(yīng)細(xì)化模型分析過程，逐步帶領(lǐng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型。通過互動交流，學(xué)生可以觀察、比較、分析，進(jìn)行信息整理。模型分析期間，教師運用啟發(fā)性語言引導(dǎo)學(xué)生通過繪制線段圖的方法表達(dá)數(shù)量關(guān)系，既可以降低學(xué)生理解題意的難度，又可以拓展學(xué)生思路，為問題解決打下基礎(chǔ)。學(xué)生通過畫圖還可以進(jìn)一步加深對“百分?jǐn)?shù)”含義的理解，掌握“百分?jǐn)?shù)”知識的本質(zhì)。

3.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，提出通過方程進(jìn)行求解。畫線段圖的方法為數(shù)學(xué)關(guān)系模型建構(gòu)打好基礎(chǔ)，教師讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論，學(xué)生可以在溝通交流中表達(dá)自身觀點，提高參與數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的積極性與主動性。不同的學(xué)生提出了不同的思路，但模型構(gòu)建的本質(zhì)是一致的，都是表現(xiàn)出蘋果總數(shù)、運走部分與剩下部分的關(guān)系。在此過程中也可以進(jìn)一步看出學(xué)生是數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的主體，教師則作為組織者與引導(dǎo)者，將主動權(quán)交給學(xué)生，對學(xué)生的解題思路表示肯定。通過這樣的形式，可以有效鍛煉學(xué)生解決問題的能力，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，通過簡單、便捷的方法表現(xiàn)等量關(guān)系。

4.數(shù)學(xué)模型求解。

學(xué)生提出具體的解題思路后，按照具體方法實施，得出計算結(jié)果，可以在黑板上寫出具體的解題過程。教師引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并對問題進(jìn)行求解。學(xué)生經(jīng)過討論得到不同的解題方法，進(jìn)而在解決問題的過程中有效鞏固已有知識，同時加深對新知識的掌握。在對數(shù)學(xué)模型求解的過程中，一方面，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生明確方程求解原理，加深對方程的理解；另一方面，應(yīng)要求學(xué)生根據(jù)具體的數(shù)學(xué)情境使用數(shù)學(xué)符號，將二者聯(lián)系起來，更好地得出數(shù)學(xué)問題的答案。

5.數(shù)學(xué)模型驗證。

為了判斷計算的準(zhǔn)確性，教師還要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)模型驗證。數(shù)學(xué)模型驗證環(huán)節(jié)表明，得到計算結(jié)果并不是解決數(shù)學(xué)問題的全過程，學(xué)生應(yīng)樹立科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)精神，對相關(guān)結(jié)論進(jìn)行驗證。在此過程中，教師應(yīng)對學(xué)生的驗證方法進(jìn)行引導(dǎo)，幫助學(xué)生在短時間內(nèi)驗證結(jié)論，同時明確模型驗證在解決實際問題中的重要性，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的作用。

6.數(shù)學(xué)模型應(yīng)用。

根據(jù)上述解題過程，教師還可以向?qū)W生提出類似的問題，讓學(xué)生展開實踐探究。學(xué)生按照明確數(shù)學(xué)問題、分析數(shù)學(xué)信息、建立數(shù)學(xué)模型的方法得到等量關(guān)系，并對得出的結(jié)論進(jìn)行檢驗，判斷模型是否正確。通過數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用實踐，可以看出學(xué)生已經(jīng)對百分?jǐn)?shù)方程的建模過程有了一定的認(rèn)識，掌握了模型建構(gòu)的一般方法，為相關(guān)數(shù)學(xué)知識的運用打下基礎(chǔ)。教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計一系列的鞏固練習(xí)，可以幫助學(xué)生掌握不同情境下數(shù)學(xué)模型應(yīng)用要點，同時幫助學(xué)生對課堂知識進(jìn)行回顧、整理和總結(jié)，逐步引導(dǎo)學(xué)生對百分?jǐn)?shù)問題形成清晰認(rèn)知，并通過列方程的方法解決類似問題，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效的提升。

（三）教學(xué)實踐要點

1.注重模型思想應(yīng)用的生活性。

在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，因此為了加強(qiáng)學(xué)生對模型思想的理解與應(yīng)用，教師應(yīng)從真實的生活情境出發(fā)，為學(xué)生數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用提供條件，同時引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言闡述生活現(xiàn)象和解決實際問題。對于“百分?jǐn)?shù)”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)來說，教師同樣需要在把握教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的基礎(chǔ)上充分挖掘與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的生活素材，引入“超市折扣”“貨物運輸”等實例完成教學(xué)任務(wù)設(shè)計，使學(xué)生可以在生活情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。具體來看，模型思想應(yīng)用的生活性主要體現(xiàn)在兩個方面：一是模型內(nèi)容的生活性，數(shù)學(xué)模型應(yīng)通過生活性元素構(gòu)成，便于學(xué)生理解與應(yīng)用；二是模型講解的生活性，學(xué)生在完成相關(guān)任務(wù)的過程中，教師應(yīng)進(jìn)行針對性講解，同時注意聯(lián)系生活實際，為學(xué)生補(bǔ)充一定的生活常識。值得注意的是，為了進(jìn)一步體現(xiàn)模型應(yīng)用的生活性，教師還應(yīng)設(shè)計更具開放性的任務(wù)，為學(xué)生提供足夠的思考空間，加深對相關(guān)知識的理解。

2.實現(xiàn)知識資源的整合與發(fā)展。

模型思想也是在數(shù)學(xué)教學(xué)中整合碎片化知識的一種有效手段，為避免碎片化認(rèn)識對教學(xué)流程的順利推進(jìn)產(chǎn)生影響，教師還應(yīng)注重開展系統(tǒng)化教學(xué)，加強(qiáng)對教學(xué)資源的整合，促進(jìn)自身模型思想教學(xué)素養(yǎng)的提升。通常情況下，教師模型思想素養(yǎng)發(fā)展主要依靠師范教育、個人學(xué)習(xí)以及專業(yè)培訓(xùn)，因此在教學(xué)實踐過程中，應(yīng)通過上述途徑發(fā)揮相應(yīng)的提升作用。

四、結(jié)語

綜上所述，作為課程標(biāo)準(zhǔn)中的核心概念，模型思想可以引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)眼光觀察世界，將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于現(xiàn)實問題的解決中。將模型思想滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有利于培養(yǎng)小學(xué)生解決問題的能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)加強(qiáng)對模型思想運用的重視，逐步引導(dǎo)學(xué)生完成模型構(gòu)建、模型求解、模型應(yīng)用的過程，幫助學(xué)生實現(xiàn)對模型實現(xiàn)的深化，為提高其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量提供保障。