基于耐撞性的塑性變形教學(xué)改革1)

任毅如 方棋洪

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082)

力學(xué)在高超音速飛行器、發(fā)動(dòng)機(jī)、高鐵、盾構(gòu)、機(jī)器人等工程問(wèn)題，以及量子糾纏、引力波等科學(xué)問(wèn)題中扮演著舉足輕重的角色[1]。力學(xué)所具有的技術(shù)科學(xué)和工程科學(xué)雙重屬性，以及量化和創(chuàng)新雙重特征，決定了其能夠在培養(yǎng)技術(shù)創(chuàng)新拔尖人才方面起到基礎(chǔ)性作用[2]。因此，力學(xué)教學(xué)改革創(chuàng)新對(duì)人才培養(yǎng)質(zhì)量提升至關(guān)重要。

傳統(tǒng)的灌輸式抽象概念和繁瑣公式推導(dǎo)的教學(xué)模式存在教學(xué)模式單一、學(xué)生興趣不高等問(wèn)題，因此如何從問(wèn)題出發(fā)，建立課程內(nèi)容與實(shí)際工程問(wèn)題的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到概念和公式的意義和重要性，并引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展批判性質(zhì)疑和探索性研究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)動(dòng)力，強(qiáng)化力學(xué)基礎(chǔ)理論成為了教學(xué)的難點(diǎn)和共識(shí)[3-5]。塑性力學(xué)是重要的力學(xué)基礎(chǔ)課程之一，主要包括塑性扭轉(zhuǎn)、塑性彎曲、塑性鉸以及殘余應(yīng)力等內(nèi)容，主要以介紹概念以及桿件的塑性變形分析為主，均為理想簡(jiǎn)化模型的分析，缺乏實(shí)際工程問(wèn)題背景，導(dǎo)致普遍存在學(xué)習(xí)效果不佳等問(wèn)題[6-8]。

耐撞性是飛行器、汽車(chē)等運(yùn)載裝備的重要性能之一，直接關(guān)系到?jīng)_擊碰撞事故中的乘員安全[9-11]。圓管等薄壁吸能結(jié)構(gòu)是保障耐撞性能的重要部件之一。目前，盡管有限元方法在吸能結(jié)構(gòu)分析中被廣泛采用，但是金屬吸能薄壁結(jié)構(gòu)的理論分析方法同樣重要。因此，結(jié)合飛行器、汽車(chē)等工程背景知識(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并思考塑性變形相關(guān)理論知識(shí)將有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力。

1 面向耐撞性的塑性變形教學(xué)思路

為了解決塑性變形、塑性鉸等教學(xué)中的理論性強(qiáng)、學(xué)生興趣不高等問(wèn)題，開(kāi)展了基于耐撞性的塑性變形教學(xué)改革探索，總體思路如圖1 所示，分為問(wèn)題的引入、問(wèn)題的解決、進(jìn)一步思考三個(gè)層次。工程背景教學(xué)思路如圖2 所示，首先通過(guò)一些典型的汽車(chē)、飛機(jī)的沖擊事故讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到安全性問(wèn)題的重要性，其次提出如何保證沖擊碰撞事故中的乘員安全問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。通過(guò)給出更多的汽車(chē)碰撞事故的圖片或者視頻，包括正碰、側(cè)碰等多種不同碰撞事故，同時(shí)結(jié)合汽車(chē)車(chē)身等結(jié)構(gòu)的講解和展示，讓學(xué)生意識(shí)到汽車(chē)碰撞事故和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和難度，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索意識(shí)。以正面碰撞事故為例進(jìn)行分析，車(chē)身結(jié)構(gòu)如圖3 所示，對(duì)正面碰撞試驗(yàn)視頻進(jìn)行講解和分析，通過(guò)輕量化和吸能等設(shè)計(jì)因素，引出汽車(chē)前端的圓形或者方形等截面薄壁吸能結(jié)構(gòu)對(duì)汽車(chē)碰撞安全性的重要作用，因此如何開(kāi)展薄壁管件吸能特性分析與設(shè)計(jì)成為了汽車(chē)耐撞性的關(guān)鍵[12]。在問(wèn)題的解決層次，主要是結(jié)合塑性鉸等課程內(nèi)容開(kāi)展研究探索，目的是建立力學(xué)模型，給出預(yù)測(cè)理論，進(jìn)而解決汽車(chē)在碰撞事故中的載荷和吸能特性預(yù)測(cè)問(wèn)題，為汽車(chē)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。為了激發(fā)學(xué)生的探索精神，通過(guò)力學(xué)模型與實(shí)際試驗(yàn)誤差引出如何提高模型精度的問(wèn)題，進(jìn)而開(kāi)展精細(xì)化力學(xué)模型的探索。讓學(xué)生意識(shí)到課程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)不僅能夠解決汽車(chē)碰撞和飛機(jī)迫降問(wèn)題，而且在船舶、航天、高鐵等工程裝備中有廣泛的應(yīng)用前景。最后通過(guò)點(diǎn)陣等新型材料和結(jié)構(gòu)的介紹，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)術(shù)前沿問(wèn)題。

圖1 基于耐撞性的塑性變形教學(xué)總體思路

圖2 通過(guò)沖擊事故引出薄壁管件吸能問(wèn)題

圖3 奧迪A8 的圓管吸能結(jié)構(gòu)[12]

2 建模思路與基本假設(shè)

塑性變形、塑性鉸等均是力學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，而結(jié)構(gòu)耐撞性問(wèn)題則更為復(fù)雜。不僅薄壁結(jié)構(gòu)具有圓形、方形等不同截面型式，而且圓形截面薄壁管件具有對(duì)稱(chēng)、三角形、四邊形等諸多的變形模式，因此薄壁吸能結(jié)構(gòu)仍然是一個(gè)極其復(fù)雜的問(wèn)題。由于圓形截面管件具有較高的吸能效率，在汽車(chē)中應(yīng)用較為廣泛，因此教學(xué)改革主要針對(duì)圓形管件。如圖4 所示為圓形管件的軸對(duì)稱(chēng)疊縮破壞模式，該模式具有較高的吸能效率，因此圍繞圓形截面薄壁管的軸對(duì)稱(chēng)變形模式進(jìn)行研究[13]。

圖4 金屬圓管的軸對(duì)稱(chēng)破壞模式[13]

（5）忽略摩擦能等。

按照力學(xué)解決問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)、假設(shè)、分析、驗(yàn)證的思路，圓形薄壁管件壓潰吸能公式及驗(yàn)證思路如圖5 所示。解決問(wèn)題的核心是如何建立準(zhǔn)確的力學(xué)模型，該模型主要包括材料模型和變形特征。首先是材料模型方面，作為塑性變形的主要教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)材料的拉伸試驗(yàn)獲得材料應(yīng)力應(yīng)變曲線，然后通過(guò)不同材料本構(gòu)模型，介紹理想剛塑性模型、彈塑性模型等相關(guān)知識(shí)。為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，本文模型中采用理想剛塑性模型。由于壓潰變形屬于低速?zèng)_擊情況，忽略應(yīng)變率效應(yīng)的影響。其次是變形特征方面，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察圓形吸能薄壁結(jié)構(gòu)變形模式，由圖4 可知，金屬圓管呈現(xiàn)出周期性漸進(jìn)壓潰破壞模式，管壁為折疊壓潰破壞模式，壓潰過(guò)程中，管壁上形成等間距的塑性鉸，管壁圍繞塑性鉸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此可以推斷出圓管主要通過(guò)塑性鉸的方式吸收能量。根據(jù)試驗(yàn)觀察，塑性鉸位置為等間距分布，因此假設(shè)塑性鉸之間的管壁長(zhǎng)度相等。由于壓縮后管壁之間的間隙較小，因此忽略間隙的影響，建立圓管壓潰吸能力學(xué)模型如圖6 所示。假設(shè)底部管壁在壓潰過(guò)程中始終不變，并且考慮到管壁之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)較少，因此忽略摩擦能。最終，主要的假設(shè)如下。

圖5 力學(xué)模型的建立與求解

圖6 圓管吸能結(jié)構(gòu)塑性鉸簡(jiǎn)化模型[14]

（1）忽略彈性變形能和應(yīng)變率效應(yīng)等。

（2）認(rèn)為材料屬性滿足理想剛塑性模型。

（3）假設(shè)底面端部管壁位置不變，并且管壁向外折疊變形。

（4）管壁折疊的長(zhǎng)度相等。

3 理論教學(xué)與推導(dǎo)

在塑性變形教學(xué)中，主要關(guān)注一維梁結(jié)構(gòu)塑性鉸的形成與發(fā)展過(guò)程的講解和推導(dǎo)。如圖7 所示，在彈性階段，梁內(nèi)部應(yīng)力可由彎曲正應(yīng)力計(jì)算式（1）得到，其中y到中性軸距離。彈性范圍內(nèi)彎曲應(yīng)力與到中性軸的距離成正比，最外層首先達(dá)到屈服狀態(tài)。因?yàn)槭莿偹苄阅Ｐ?，因此?dāng)材料達(dá)到屈服應(yīng)力后，應(yīng)變?cè)黾佣鴳?yīng)力大小不變，直到整個(gè)截面材料全部達(dá)到屈服應(yīng)力[6-8]。材料全部進(jìn)入塑性后，力學(xué)性能出現(xiàn)了明顯變化，如中性軸不再由截面形心位置確定，由截面內(nèi)的軸向力平衡方程（2），可以得到A1=A2，其中A1和A2分別為受壓和受拉部分的橫截面面積。因此，當(dāng)截面材料完全屈服后，中性軸將截面分成面積相等的兩部分，而不一定過(guò)形心。對(duì)矩形截面來(lái)說(shuō)，過(guò)形心的中性軸同時(shí)也將截面分為面積相等的兩部分，因此塑性和彈性時(shí)的中性軸位置相同。

圖7 圓管吸能結(jié)構(gòu)塑性鉸簡(jiǎn)化模型[7]

對(duì)于矩形截面，假設(shè)高度為t，寬度為1，當(dāng)截面材料全部屈服后，極限彎矩為

若為純彎曲，整個(gè)梁將同時(shí)達(dá)到屈服極限，并且應(yīng)力沿著梁軸線方向不變，而在橫力載荷作用情況下，由于不同截面的彎矩大小不同，因此在梁的高度和軸線方向均不同，中間彎矩最大，率先達(dá)到塑性狀態(tài)，中間的上下兩部分首先出現(xiàn)塑性變形，然后逐步向兩側(cè)擴(kuò)展，如圖所示陰影部分為塑性區(qū)，并可獲得塑性區(qū)域的范圍等，塑性鉸發(fā)展變化示意圖如圖8 所示[6-8]。在橫力彎曲情況下，當(dāng)梁中部的材料全部到達(dá)屈服應(yīng)力之后，隨著外載荷F的增加，截面的彎矩不變，而變形則可以不受限制。如果該塑性鉸承受與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同的極限彎矩大小時(shí)，該處可等效為一個(gè)鉸鏈結(jié)構(gòu)，該鉸鏈結(jié)構(gòu)所能承受的最大彎矩值為該鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩大小，即為塑性鉸。此時(shí)塑性鉸兩側(cè)的變形可忽略不計(jì)，可視為剛性桿件[6-8]。

圖8 橫力彎曲情況下塑性鉸形成模型[7]

然而，課堂教學(xué)中關(guān)于塑性變形的推導(dǎo)僅限于一維梁塑性鉸的塑性變形分析。圓管的軸對(duì)稱(chēng)壓潰為三維空間結(jié)構(gòu)變形，因此如何將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維問(wèn)題成了解決問(wèn)題的關(guān)鍵。由圖6 中力學(xué)模型及其假設(shè)建立起三維圓管結(jié)構(gòu)與一維梁塑性鉸之間的聯(lián)系。由于圓管變形模式表現(xiàn)出軸對(duì)稱(chēng)變形特征可知，管壁上形成了間距相等的塑性鉸，塑性鉸將管壁分割成多個(gè)部分，薄壁圓管變形過(guò)程中吸收的能量可以分為兩個(gè)部分，即塑性鉸的彎曲塑性變形能、塑性鉸之間管壁的拉伸變形能。圓管壓縮變形表現(xiàn)出三維變形特征，由軸對(duì)稱(chēng)變形特征將該三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題。由于忽略了彈性變形能并采用了理想剛塑性模型。如圖6 所示，塑性鉸之間的管壁長(zhǎng)度為為h，管壁厚度為t，而壓縮變形過(guò)程中某個(gè)時(shí)刻管壁與中心線夾角為θ，當(dāng)角度θ有一個(gè)小的增量 dθ，所需的塑性變形能為[14]

式中，W1和W2分別是塑性鉸和塑性鉸之間管壁耗散的能量，易得[14]

式中，M是圓周方向單位長(zhǎng)度塑性鉸的力矩，D是圓管管壁平均直徑，該值可由塑性鉸理論得到。

對(duì)于一個(gè)厚度為t的窄梁，單位長(zhǎng)度的彎矩大小為M=σst2/4。簡(jiǎn)化后的梁模型可以認(rèn)為足夠?qū)?，并可認(rèn)為在角度增加 dθ過(guò)程中滿足平面應(yīng)變狀態(tài)，若材料遵循von Mises 屈服準(zhǔn)則，應(yīng)力可以增加到[14]。因此，此時(shí)的彎矩為

由此得到，在一個(gè)疊縮階段，當(dāng)θ從0 增加到90°過(guò)程中，塑性鉸所作的功為

由功能互等定理，外力功全部轉(zhuǎn)化為塑性變形能，即W=P ·2h，并根據(jù)Timoshenko 彈性穩(wěn)定性理論中圓形薄殼屈曲理論[15]，可得管壁朝外側(cè)疊縮時(shí)的壓潰載荷計(jì)算公式為

如果假設(shè)朝內(nèi)側(cè)疊縮，重復(fù)以上分析過(guò)程，可得到壓潰載荷計(jì)算公式為

由于實(shí)際管壁變形介于向內(nèi)和向外變形之間，因此采用兩式的平均值作為壓潰載荷

此處，k=0.953 或者 1.213，由此得

式中，K≈6.08，σs為理想剛塑性的材料屈服強(qiáng)度，t為圓柱殼的厚度，D為圓管管壁平均直徑。由此得到圓管壓潰載荷的理論預(yù)測(cè)公式。通過(guò)試驗(yàn)研究得到K=6.20，理論值與試驗(yàn)值誤差為1.9%[14]。

4 進(jìn)一步思考

基于塑性變形相關(guān)知識(shí)，推導(dǎo)得到了金屬圓形管件軸對(duì)稱(chēng)變形模式情況下的壓潰載荷公式，但是力學(xué)模型均有其適用范圍。課程教學(xué)的主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，在教學(xué)過(guò)程中，教會(huì)學(xué)生理論公式并不是目標(biāo)，而是讓學(xué)生能夠靈活運(yùn)用力學(xué)方法解決復(fù)雜的問(wèn)題。對(duì)于塑性變形教學(xué)來(lái)說(shuō)，可將問(wèn)題進(jìn)行拓展，如圖9 所示，主要包括改進(jìn)力學(xué)模型、解決航天等實(shí)際工程問(wèn)題、研究學(xué)術(shù)前沿問(wèn)題。

圖9 問(wèn)題的拓展

首先在力學(xué)模型改進(jìn)方面，實(shí)際的沖擊壓潰過(guò)程是極其復(fù)雜的，可以結(jié)合有限元分析或者試驗(yàn)進(jìn)行協(xié)同驗(yàn)證，給出不同情況下的預(yù)測(cè)模型誤差等，并可從材料模型、變形模式等方面分析誤差產(chǎn)生的原因，由此建立更加精確的模型。在材料模型方面，可以嘗試采用彈塑性模型進(jìn)行深入分析或者考慮應(yīng)變率效應(yīng)等因素；吸能分析過(guò)程中，僅僅考慮了塑性鉸和塑性鉸之間的環(huán)向塑性變形能，忽略了摩擦以及其他彈性和塑性變形能等，可分析摩擦等物理現(xiàn)象的影響規(guī)律等。對(duì)變形模式而言，前面模型推導(dǎo)分析中假設(shè)的變形模式與實(shí)際變形模式仍然有差別，如圖10 所示為一個(gè)管壁壓潰變形圖，顯然變形有一定差別[16]。文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[16]均在此基礎(chǔ)上建立了更加精細(xì)的分析模型，并得到了新的理論預(yù)測(cè)公式。圓形管件結(jié)構(gòu)除了軸對(duì)稱(chēng)變形模式，還可能會(huì)表現(xiàn)出如圖11 所示的三角形、四邊形等多邊形變形模式，也可借鑒軸對(duì)稱(chēng)變形模式分析思路進(jìn)行分析，作為挑戰(zhàn)性問(wèn)題進(jìn)行研究。其次在航天、船舶、高鐵等工程問(wèn)題中大量存在薄壁吸能結(jié)構(gòu)保障結(jié)構(gòu)安全[17]，因此在教學(xué)過(guò)程中，面向載人登月和高鐵等國(guó)家重大工程問(wèn)題的吸能結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題等，開(kāi)展初步的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。最后還可結(jié)合當(dāng)前國(guó)際學(xué)術(shù)前沿?zé)狳c(diǎn)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展初步的學(xué)術(shù)研究?？梢酝茝V應(yīng)用的主要結(jié)構(gòu)型式包括多胞結(jié)構(gòu)、點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)、蜂窩結(jié)構(gòu)、復(fù)合材料結(jié)構(gòu)、仿生結(jié)構(gòu)等。

圖10 圓管壓潰疊縮剖面圖[16]

圖11 圓管壓潰的三角形等破壞模式[12]

5 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)的塑性變形教學(xué)過(guò)程中存在的與實(shí)際工程需求割裂等問(wèn)題，提出了從工程中來(lái)、到工程中去的教學(xué)改革探索。由飛行器、汽車(chē)等運(yùn)載裝備耐撞性設(shè)計(jì)需求，引出圓形截面薄壁結(jié)構(gòu)的吸能問(wèn)題，通過(guò)試驗(yàn)觀察、假設(shè)、合理的簡(jiǎn)化近似與塑性變形教學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系，從而建立圓形管件軸對(duì)稱(chēng)變形模式的壓潰載荷理論預(yù)測(cè)公式。在此基礎(chǔ)上，可結(jié)合課程內(nèi)容，進(jìn)一步開(kāi)展力學(xué)模型改進(jìn)與創(chuàng)新、解決實(shí)際工程問(wèn)題和學(xué)術(shù)前沿創(chuàng)新，有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)動(dòng)力和創(chuàng)新能力。