考慮全截面剪切變形的箱梁撓度簡(jiǎn)化計(jì)算方法

張己存

(甘肅省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院股份有限公司，蘭州 730070)

箱梁剪滯效應(yīng)是指翼緣板剪切變形使遠(yuǎn)離腹板肋處的縱向位移滯后于靠近腹板肋處縱向位移的力學(xué)行為[1-2]。Reissner[3]利用能量變分原理建立了以最大剪切轉(zhuǎn)角差為廣義位移的雙軸對(duì)稱(chēng)矩形截面箱梁的剪滯效應(yīng)控制微分方程，并獲得了考慮剪滯效應(yīng)的箱梁豎向撓度解析解；羅旗幟[4]在箱梁截面上引入3 個(gè)最大剪切轉(zhuǎn)角差為廣義位移，建立了箱梁剪滯解析方法；藺鵬臻等[5]從箱梁截面彎曲剪應(yīng)力的分布規(guī)律出發(fā)，提出了箱梁剪滯效應(yīng)的修正位移模式，并推導(dǎo)了考慮剪滯效應(yīng)的箱梁撓度解析解；Zhou 等[6]基于能量變分原理建立了考慮腹板剪切變形和剪滯影響的箱梁撓度計(jì)算公式；舒小娟等[7]從腹板剪切變形引起的翼緣板縱向位移出發(fā)，建立了考慮全截面剪切變形的箱梁彎曲縱向位移模式，并推導(dǎo)了考慮全截面剪切變形影響的撓度計(jì)算公式；Zhang[8]以剪滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移，運(yùn)用能量變分原理建立了考慮剪滯效應(yīng)的箱梁有限梁段法；張慧等[9]將腹板剪切變形引起的附加轉(zhuǎn)角納入初等梁縱向位移中，建立了考慮剪切剪滯雙重效應(yīng)影響的箱梁撓度解析解；丁南宏等[10]基于等效剛度原理和能量法建立了考慮剪切剪滯效應(yīng)影響的變截面懸臂箱梁撓度計(jì)算方法。上述文獻(xiàn)在箱梁剪切剪滯效應(yīng)引起的附加撓度計(jì)算方面已開(kāi)展了很多研究，但在雙重效應(yīng)引起的附加撓度簡(jiǎn)化計(jì)算方法研究方面還很缺乏，需要進(jìn)一步深入研究。

本文以最大剪切轉(zhuǎn)角差為廣義位移，運(yùn)用能量變分原理和鐵摩辛柯梁理論建立考慮剪切剪滯影響的箱梁撓度解析解；從剪滯控制微分方程和現(xiàn)行公路橋規(guī)中翼緣有效寬度的折算辦法出發(fā)，提出考慮全截面剪切變形的箱梁撓度簡(jiǎn)化計(jì)算方法，并通過(guò)簡(jiǎn)支箱梁和兩跨連續(xù)箱梁算例來(lái)驗(yàn)證所提方法的正確性。

1 剪滯控制微分方程及邊界條件

如圖1 所示為任意豎向?qū)ΨQ(chēng)載荷作用下箱梁彎曲變形的載荷示意圖：l為箱梁跨徑；b1，b3和b2為頂板、底板半寬和一側(cè)懸臂板寬；zu和zb為頂、底板中面至截面形心的距離；h為頂、底板中面之間的豎向距離；t1，t2，t3和tf為頂板、懸臂板、底板和腹板厚度。在豎向載荷p(x)作用下箱梁發(fā)生對(duì)稱(chēng)彎曲變形，其考慮剪滯影響的箱梁任一點(diǎn)縱向位移表達(dá)為

圖1 豎向?qū)ΨQ(chēng)載荷作用下的箱梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of box girder under vertical symmetric load

式中，w'(x)為箱梁豎向撓度的一階導(dǎo)數(shù)（即轉(zhuǎn)角），ω(y,z)為剪滯位移橫向分布函數(shù)，U(x)為剪滯效應(yīng)引起的最大剪切轉(zhuǎn)角差。

選取三次拋物線為剪滯分布函數(shù)[5]，則箱梁上、下翼板的剪滯位移橫向分布函數(shù)ω(y,z)表達(dá)為

式中，β1為懸臂板剪滯位移分布函數(shù)修正系數(shù)，即β1=(b2/b1)2；β2和φ為底板剪滯位移分布函數(shù)修正系數(shù)，即β2=(b3/b1)2，φ=zb/zu。

根據(jù)彈性變形幾何方程及體系應(yīng)變能表達(dá)式，則箱梁彎曲總應(yīng)變能為

箱梁彎曲總勢(shì)能Π=U+V，根據(jù)最小勢(shì)能駐值原理對(duì)總勢(shì)能求一階變分[4-6]，并令δП=0，得剪滯控制微分方程為

式（6）變分所滿足的自然邊界為

聯(lián)立式（5）和式（6），消去w可得關(guān)于剪滯最大剪切轉(zhuǎn)角差U的微分方程為

式中，Q為剪力，k為Reissner 參數(shù)[5]，即

微分方程式（8）為一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其解為

微分方程（5）和（6）所需要的邊界條件為

簡(jiǎn)支邊界：w''=0，U'=0；

固定邊界：w'=0，U=0。

2 撓度求解及簡(jiǎn)化計(jì)算方法

如圖2 所示為簡(jiǎn)支箱梁受均布載荷p作用的示意圖，其跨度為l，根據(jù)剪滯最大剪切轉(zhuǎn)角差的解析表達(dá)式（9），再結(jié)合邊界條件U'(0)=0和U'(l)=0，則均布載荷作用下簡(jiǎn)支箱梁剪滯最大剪切轉(zhuǎn)角差U為

圖2 均布載荷作用下簡(jiǎn)支箱梁示意圖Fig.2 Schematic diagram of simply supported box girder under uniform load

將式（10）求一階導(dǎo)數(shù)并代入微分方程式（5）可得關(guān)于豎向撓度w''的關(guān)系式，積分兩次得到w的表達(dá)式，再結(jié)合邊界條件ws(0)=0 和w's(l/2)=0，即可得均布載荷作用下考慮剪滯影響的簡(jiǎn)支箱梁撓度ws為

如圖3(a)所示為均布載荷p作用下連續(xù)箱梁兩跨連續(xù)梁示意圖，兩跨跨徑均為l，由于左、右兩跨對(duì)稱(chēng)分布，其內(nèi)力、應(yīng)力及變形關(guān)于中支點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故取右跨為研究對(duì)象，其載荷圖如圖3(b)所示。由剪滯最大剪切轉(zhuǎn)角差通用表達(dá)式（9），結(jié)合邊界條件U(0)=0 和U'(l)=0，即可得到均布載荷作用下連續(xù)箱梁?jiǎn)慰缌旱募魷畲蠹羟修D(zhuǎn)角差U為

圖3 均布載荷作用下連續(xù)箱梁示意圖Fig.3 Schematic diagram of continuous box girder under uniform load

同理，式（12）求一階導(dǎo)數(shù)后代入微分方程式（9）并積分兩次，可得豎向撓度w的表達(dá)式，再結(jié)合邊界條件w's(0)=0 和ws(l)=0，即可得均布載荷作用下考慮剪滯影響的連續(xù)箱梁?jiǎn)慰缌簱隙葁s為

由鐵摩辛柯剪切理論[11]可知，箱梁腹板受剪切作用，其剪切撓度wf與均布載荷p及剪切因子等之間的微分關(guān)系為

式中，A為箱梁橫截面積；αs為剪切系數(shù)，即αs=A/Af，其中Af為箱梁腹板橫截面積。

式（14）積分兩次后結(jié)合邊界條件wf(0)=0和wf(l)=0，可得均布載荷作用下簡(jiǎn)支箱梁和連續(xù)箱梁?jiǎn)慰缌杭羟懈郊訐隙葁f的表達(dá)式為

根據(jù)疊加原理，考慮翼緣板剪滯效應(yīng)和腹板剪切變形影響的箱梁豎向撓度wss（即考慮全截面剪切變形）表達(dá)式為

從理論角度來(lái)看，運(yùn)用疊加原理計(jì)算考慮全截面剪切影響的箱梁豎向撓度較麻煩，特別是式（16）中的第一項(xiàng)考慮翼緣板剪切影響的豎向撓度計(jì)算最為復(fù)雜，其中包括了剪滯附加撓度和初等梁撓度兩部分，需要提出簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

剪滯控制微分方程式（5）經(jīng)整理后，可得關(guān)于豎向撓度二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，即

根據(jù)胡克定律，結(jié)合縱向線應(yīng)變?chǔ)舩可導(dǎo)出箱梁截面任一點(diǎn)的縱向應(yīng)力表達(dá)式σx為

將式（17）代入式（18）可得縱向應(yīng)力的另一表達(dá)式為

剪滯系數(shù)λ 是表征箱梁截面縱向應(yīng)力峰值的一個(gè)參數(shù)，其定義為λ=σx/σ0。將縱向應(yīng)力σx表達(dá)式（19）和初等梁正應(yīng)力σ0代入λ 后，并取z=zu可導(dǎo)出下列中間變量

將式（20）代入式（17），得到考慮剪滯影響的箱梁撓度二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為

由式（21）可知，考慮剪滯影響的箱梁轉(zhuǎn)角一階導(dǎo)數(shù)形式與初等梁理論相同，僅是抗彎剛度EIy進(jìn)行了折減，其折減系數(shù)即為剪滯系數(shù)，故考慮全截面剪切變形的箱梁撓度簡(jiǎn)化計(jì)算公式ss為

式中，w0為初等梁撓度。

對(duì)于簡(jiǎn)化計(jì)算公式中的剪滯系數(shù)λ，通過(guò)文獻(xiàn)[12]中介紹的翼緣有效寬度折減辦法進(jìn)行計(jì)算，下面給出相關(guān)折減計(jì)算公式。

（1）簡(jiǎn)支箱梁、連續(xù)箱梁各跨中間梁段部分：

式中，bmi為考慮剪滯效應(yīng)折減后的板件寬度；bi為各板實(shí)際寬度（半寬），如圖1(b)所示；li為理論跨徑，簡(jiǎn)支梁li=l，連續(xù)梁li=0.8l。

（2）簡(jiǎn)支箱梁支點(diǎn)、連續(xù)箱梁邊支點(diǎn)部分：

根據(jù)上述折減辦法計(jì)算得到箱梁上翼緣的縱向正應(yīng)力，再除以按箱梁原尺寸計(jì)算得到的上翼緣縱向正應(yīng)力，即可得到剪滯系數(shù)λ。

3 算例分析

以文獻(xiàn)[13]中介紹的跨度l=50 m 的混凝土簡(jiǎn)支箱梁為例，其截面尺寸如圖4 所示，b1=2.0 m，b2=3.0 m，b3=1.377 m，h=2.5 m，t1=t2=0.25 m，t3=0.3 m，tf=0.35 m，腹板傾角θ=14?；彈性模量E=3.1×104MPa，泊松比μ=1/6，滿跨均布載荷作用q=20 kN/m。

圖4 簡(jiǎn)支箱梁橫截面圖（單位：m）Fig.4 Cross section of simply supported box girders (unit: m)

按照本文建立的考慮全截面剪切影響的箱梁撓度理論計(jì)算式（16）和簡(jiǎn)化計(jì)算式（22），分別計(jì)算劃分截面（沿跨度方向，每隔2.5 m 取一個(gè)計(jì)算截面）的豎向撓度，聯(lián)合文獻(xiàn)[13]中給出的ANSYS 數(shù)值解（共劃分了14 800 個(gè)單元，14 874個(gè)節(jié)點(diǎn)），一并繪制于圖5 中；同時(shí)分析傳統(tǒng)理論方法與簡(jiǎn)化方法對(duì)簡(jiǎn)支箱梁彎曲撓度計(jì)算精度的影響，如表1 所示。

表1 簡(jiǎn)支箱梁豎向撓度對(duì)比Table 1 Comparison of deflection of simply supported sox girder

圖5 簡(jiǎn)支箱梁豎向撓度分布圖Fig.5 Deflection distribution of simply supported box girder

圖5 給出了簡(jiǎn)支箱梁豎向撓度的縱向分布圖，從圖中可以看出：考慮全截面剪切影響的簡(jiǎn)支箱梁豎向撓度理論計(jì)算結(jié)果、簡(jiǎn)化方法計(jì)算結(jié)果與ANSYS 有限元數(shù)值解吻合良好，驗(yàn)證了簡(jiǎn)化計(jì)算方法的正確性；同時(shí)，理論計(jì)算結(jié)果與ANSYS數(shù)值解差值比最小，簡(jiǎn)化計(jì)算方法與ANSYS 結(jié)果差值比略大。

表1 給出了考慮全截面剪切影響的簡(jiǎn)支箱梁豎向撓度理論計(jì)算結(jié)果、簡(jiǎn)化方法結(jié)果及ANSYS有限元結(jié)果的對(duì)比，可以看出：與ANSYS 結(jié)果相比，各計(jì)算截面理論方法差值比均在1%以?xún)?nèi)，簡(jiǎn)化計(jì)算方法最大差值比為3.3%，充分說(shuō)明簡(jiǎn)化方法計(jì)算精度較高，滿足工程設(shè)計(jì)的要求，適用于工程實(shí)際。

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的正確性和適用性，選取文獻(xiàn)[13]中跨度l1=l2=800 mm 的兩跨連續(xù)箱梁為例，截面尺寸如圖6 所示，b1=b2=b3=80 mm，h=56 mm，t1=t2=t3=4 mm，tf=6 mm；彈性模量E=2.8 GPa，泊松比μ=0.37，滿跨均布載荷作用q=20 kN/m。

圖6 連續(xù)箱梁橫截面圖（單位：mm）Fig.6 Cross section of continuous box girder (unit: mm)

運(yùn)用本文考慮全截面剪切影響的箱梁撓度理論計(jì)算式（16）和簡(jiǎn)化計(jì)算式（22）計(jì)算劃分截面（沿跨度方向，每隔0.05 m 取一個(gè)計(jì)算截面）的豎向撓度，聯(lián)合文獻(xiàn)[13]中給出的ANSYS數(shù)值解（共劃分了4992 個(gè)單元，5010 個(gè)節(jié)點(diǎn)），一并繪制于圖7 中；同時(shí)分析傳統(tǒng)理論方法與簡(jiǎn)化方法對(duì)連續(xù)箱梁彎曲撓度計(jì)算精度的影響，如表2 所示。

表2 連續(xù)箱梁豎向撓度對(duì)比Table 2 Comparison of deflection of continuous box girder

圖7 連續(xù)箱梁豎向撓度分布圖Fig.7 Deflection distribution of continuous box girder

圖7 給出了兩跨連續(xù)箱梁豎向撓度的縱向分布圖，從圖中可以看出：考慮全截面剪切影響的連續(xù)箱梁豎向撓度理論計(jì)算曲線、簡(jiǎn)化方法計(jì)算曲線與ANSYS 曲線吻合良好，進(jìn)一步驗(yàn)證了簡(jiǎn)化計(jì)算方法的正確性和適用性。

表2 給出了考慮全截面剪切影響的連續(xù)箱梁豎向撓度理論計(jì)算結(jié)果、簡(jiǎn)化方法結(jié)果及ANSYS有限元結(jié)果的對(duì)比（δ1和δ2含義與表1 相同），可以看出：理論方法結(jié)果與ANSYS 結(jié)果差值比較小，簡(jiǎn)化方法計(jì)算結(jié)果差值比較大，但絕大多數(shù)計(jì)算截面撓度差值比均在5%以?xún)?nèi)，進(jìn)一步說(shuō)明本文所建立的考慮全截面剪切影響的箱梁彎曲撓度簡(jiǎn)化計(jì)算方法具有較好的計(jì)算精度和適用性。

4 結(jié)論

（1）本文利用能量變分原理和鐵摩辛柯梁理論建立了考慮全截面剪切變形的箱梁彎曲撓度計(jì)算公式，并通過(guò)有限元法和簡(jiǎn)化計(jì)算方法驗(yàn)證了理論公式的正確性。

（2）基于剪滯控制微分方程及翼緣有效寬度的折減計(jì)算辦法，建立了考慮全截面剪切影響的箱梁彎曲撓度簡(jiǎn)化計(jì)算方法，并通過(guò)有限元法和理論方法驗(yàn)證了簡(jiǎn)化計(jì)算方法的正確性和適用性。

（3）簡(jiǎn)支箱梁和連續(xù)箱梁算例撓度計(jì)算表明：與ANSYS 撓度結(jié)果相比，傳統(tǒng)理論結(jié)果差值比較小，簡(jiǎn)化方法計(jì)算結(jié)果差值比較大，但其最大差值比基本在5%以?xún)?nèi)，說(shuō)明本文所建立的撓度簡(jiǎn)化計(jì)算方法具有良好的計(jì)算精度和適用性。