陶 明 羅 豪 趙 瑞 向恭梁 徐源泉
(中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院,長沙 410083)
在深地資源開采與工程建設(shè)中會存在大量的地下硐室,這些硐室有的是天然存在的,也有的是人工挖掘的,例如礦山巷道、交通隧道等。其中部分硐室會被其他的介質(zhì)所填充,這種硐室被稱之為夾塞體,例如回采充填體、引水隧洞、地下廠房和倉庫、地下軍事工程等。開采施工過程中,上述地下結(jié)構(gòu)會受到爆破、機械破巖與自然地震產(chǎn)生的動力擾動,其能量以彈性波的形式向遠處傳播。在傳播過程中遇到硐室、夾塞體等不連續(xù)結(jié)構(gòu)會發(fā)生波的散射與應(yīng)力的重分布,致使不連續(xù)結(jié)構(gòu)局部出現(xiàn)動態(tài)應(yīng)力集中與能量遷移聚集[1]。當(dāng)局部應(yīng)力超過不連續(xù)結(jié)構(gòu)的承載能力時,就會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)破壞[2]。爆破和地震兩種類型的動力擾動特性不同。地震波頻率低,能量大,傳播路徑長,衰減緩慢,而爆破波頻率高,持續(xù)時間短。因此研究爆破與地震載荷下橢圓夾塞體的動態(tài)響應(yīng)差異對于地下結(jié)構(gòu)支護設(shè)計具有重要的工程意義。
國內(nèi)外學(xué)者針對爆破與地震擾動對地下結(jié)構(gòu)的影響展開了深入的研究[3-8],主要的解析方法包括波函數(shù)展開法、復(fù)變函數(shù)法、積分方程法與積分變換法等。Lu 等[9]將爆破P 波簡化為三角脈沖波,采用波函數(shù)展開法求解獲得了地下圓形隧道的動態(tài)應(yīng)力集中因子(dynamic stress concentration factor,DSCF)分布特征,數(shù)值結(jié)果表明DSCF 隨著爆破應(yīng)力波持續(xù)時間的增加而增加,隨著圍巖泊松比的增加而減小。Ding 等[10]基于波函數(shù)展開法研究了飽和彈性半空間中復(fù)合襯砌隧道在P 波作用下的抗震性能,分析了入射頻率、入射角、復(fù)合襯砌厚度、復(fù)合襯砌剛度以及復(fù)合襯砌埋深對DSCF 分布的影響。Li 等[11]采用復(fù)變函數(shù)法求解了淺埋硐室在爆破P 波入射下的散射問題,分析了空腔深度、入射角和波峰位置對DSCF 分布的影響,并設(shè)計Butterworth 濾波器濾除奇異點,得到更加合理的瞬態(tài)響應(yīng)結(jié)果。Qi等[12]基于復(fù)變函數(shù)法研究了復(fù)合地層中圓形襯砌隧道的地震波散射問題,得到了SH 波入射下隧道的DSCF 空間分布,結(jié)果表明襯砌厚度會影響DSCF 取值。張鴻[13]采用邊界元積分方程法,結(jié)合Green 函數(shù)獲得了半無限空間飽和土體中隧道對地震波的動態(tài)響應(yīng),結(jié)果表明地下襯砌隧道周邊的應(yīng)力比土體中應(yīng)力大許多,DSCF 在2.4~3.8之間,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)值模擬與工程試驗,給出相關(guān)的減震措施建議,為工程設(shè)計和施工提供了參考。章偉鵬[14]采用Laplace 積分變換法求解了地下硐室爆破開挖爆炸載荷導(dǎo)致的圍巖震動和地應(yīng)力快速釋放誘發(fā)的圍巖震動,分析了爆破振動和地應(yīng)力快速釋放誘發(fā)振動的影響因素及規(guī)律。
現(xiàn)有研究大多聚焦于單一的動力擾動進行分析,缺乏爆破和地震載荷作用下地下結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)差異研究。此外,橢圓可以隨著軸比的變化接近圓和裂縫,表現(xiàn)出很強的靈活性,使其更適用于實際工程。而馬修函數(shù)在橢圓坐標(biāo)系中具有簡潔的表達形式,同時相較復(fù)變函數(shù)法還可以避免復(fù)雜邊界映射和保角變換帶來的誤差。因此本文基于彈性波動理論和馬修函數(shù),采用波函數(shù)展開法構(gòu)建入射波場與散射波場,結(jié)合邊界條件獲得橢圓夾塞體的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。引入地震子波-雷克子波和爆破等效波-針狀波表征爆破和地震載荷,通過傅里葉變換和杜哈梅積分獲得兩種載荷下的瞬態(tài)響應(yīng),分析兩者的主要分布特征和差異,為地下工程抗擾動支護設(shè)計提供理論支撐和應(yīng)用指導(dǎo)。
應(yīng)力波入射深埋夾塞體時,夾塞體附近的入射波與散射波會向周圍巖體發(fā)散傳播,不會反射回來,對夾塞體附近的波場產(chǎn)生影響。因此可以將深埋夾塞視為一個無限介質(zhì)問題,其理論模型幾何分布如圖1 所示。無限彈性介質(zhì)中SH 波沿著x軸方向入射橢圓夾塞體,l與h分別表示橢圓的長軸與短軸,θ 為入射波與x軸方向之間的夾角。圖1 中下標(biāo)1 代表與周圍介質(zhì)相關(guān)的參數(shù),下標(biāo)2 代表與橢圓夾塞體相關(guān)的參數(shù)。它們的材料特性參數(shù)包括剪切模量μ和入射波數(shù)k。入射波數(shù)k的物理含義為單位長度內(nèi)所包含波的個數(shù),其是應(yīng)力波的重要參數(shù)之一,k=ω/cs,其中,ω 為入射波的圓頻率,cs為彈性介質(zhì)的SH 波波速。介質(zhì)的剪切模量和波數(shù)為μ1和k1,橢圓夾塞體的剪切模量和波數(shù)為μ2和k2。
圖1 理論模型Fig.1 Theoretical model
橢圓夾塞周圍的散射和動應(yīng)力集中可以在橢圓坐標(biāo)系下采用基于馬修函數(shù)的波函數(shù)展開法求解。從直角坐標(biāo)系(x,y)到橢圓坐標(biāo)系(ξ,η)的轉(zhuǎn)換定義為
式中,ξ 值和η 值分別是橢圓坐標(biāo)系的徑向坐標(biāo)和角向坐標(biāo),a為橢圓半焦距。
波動方程通過變量分離可以得到馬修方程,而馬修函數(shù)就是馬修方程的周期性解。在橢圓坐標(biāo)系下采用馬修函數(shù)進行計算不僅可以滿足波動方程,同時還能獲得唯一單值解。馬修函數(shù)分為角向馬修函數(shù)cem(η,q),sem(η,q)和徑向馬修函數(shù)Mcm(ξ,q),Msm(ξ,q),兩者都可以用傅里葉級數(shù)展開為正弦和余弦的級數(shù)和,采用如下符號表示[15]
式中,am和bm為馬修函數(shù)的特征值;,為馬修函數(shù)的展開式系數(shù);j=1,2,3,4,表示第j類m階圓柱函數(shù)。
為簡化計算,假定入射平面SH 波僅有的非零位移分量為uz(i),其最大位移為u0,θ 為入射波與水平軸的夾角。則平面入射波的解析式可以表示為[16]
為簡化計算,本文中入射波φi的最大位移量u0設(shè)置為1,根據(jù)式(4)可知入射波波函數(shù)為
入射波作用下橢圓夾塞附近會產(chǎn)生一個散射波,其可以通過Sommerfeld 輻射條件進行構(gòu)建,因此根據(jù)馬修函數(shù)的漸近特性,可將散射波表示為
式中Bm和Cm分別為滿足邊界條件的待定展開系數(shù),q=(ka)2/4。
因此根據(jù)波的疊加原理,介質(zhì)中的全波波函數(shù)可以表示為
在入射波的透射作用下,橢圓夾塞中存在一個駐波,其可以表示為[17]
在橢圓坐標(biāo)系下應(yīng)力波產(chǎn)生的兩種類型應(yīng)力表達式為[18]
結(jié)合橢圓夾塞邊界面上的應(yīng)力、位移連續(xù)條件即可將待定展開系數(shù)確定,邊界條件為
構(gòu)建的波函數(shù)中有4 個未知系數(shù),但邊界條件只能推導(dǎo)出兩個方程,導(dǎo)致方程組不能直接求解。而當(dāng)入射波平行于x軸時,θ=0,sem(θ,q)=0,Cm,Em將不會影響方程的求解,因此式(5),式(6)和式(8)簡化為
將式(11)~式(13)代入邊界條件式(10)導(dǎo)出兩個方程
然而cem(η,q1)和cem(η,q2)不是彼此正交的,因此無法直接計算未知系數(shù)Bm和Dm。我們采用角向馬修函數(shù)的正交條件來簡化計算。
在式(14)的方程兩端各乘以cen(η,q1),再從0 到 2 π 積分得到
式中
從式(16)的兩個方程中消去未知系數(shù)Bm,即可得到一個關(guān)于Dm的無窮代數(shù)方程組
根據(jù)馬修函數(shù)的特性,在N項后截斷即可成為有限級數(shù),求得數(shù)值近似解。在式(18)中取N個方程求出系數(shù)D0,D1,D2,D3···DN,再代回式(16)即可求得Bn,完成所有未知系數(shù)的求解。通過文獻查閱和誤差計算,N的值設(shè)置為12。Bn的表達式為
因此介質(zhì)中全波表達式為
橢圓夾塞附近動應(yīng)力集中系數(shù)DSCF 定義為
將式(21)代入式(22)即可得到穩(wěn)態(tài)下環(huán)向應(yīng)力集中因子DSCF 的表達式
因為簡諧函數(shù)的性質(zhì),計算結(jié)果只有實部或者虛部才表示穩(wěn)態(tài)動應(yīng)力集中因子。加入時間因子e–iωt后,實部代表t=0 時的穩(wěn)態(tài)DSCF,虛部代表t=T/4 時的穩(wěn)態(tài)DSCF,其中T表示入射波的周期。
為了簡化計算,橢圓半焦距a設(shè)置為1 m。徑向坐標(biāo)ξ 設(shè)置為0.2 和1.5,相應(yīng)的軸比分別為5 和1.1。
工程現(xiàn)場中S 波的速度一般在2000~3000 m/s之間,本文波速c被設(shè)定為2300 m/s,穩(wěn)態(tài)入射波數(shù)k1分別被預(yù)先設(shè)定為0.2,0.5 和1,這些波數(shù)涵蓋了由地震、工程爆破和大部分撞擊產(chǎn)生的應(yīng)力波數(shù)范圍[19]。介質(zhì)與橢圓夾塞的材料特性差異也會對入射SH 波在橢圓夾塞周圍的散射產(chǎn)生影響[20]。本章設(shè)置2 種工況來進行計算,對于工況1,k2/k1=0.5,μ1/μ2=0.25,對應(yīng)著夾塞相較介質(zhì)硬。對于工況2,k2/k1=2,μ1/μ2=4,對應(yīng)著夾塞相較介質(zhì)更軟。
隨后為了驗證推導(dǎo)的正確性,對夾塞體和介質(zhì)擁有相同材料特性參數(shù)時的工況進行了計算。當(dāng)夾塞與介質(zhì)為相同材料參數(shù)時,SH 波入射夾塞的過程與在介質(zhì)中傳播無異,產(chǎn)生的應(yīng)力集中只與應(yīng)力波在夾塞中傳播的相位差有關(guān)。因此SH 波入射只會產(chǎn)生入射波,不會產(chǎn)生散射波和駐波,橢圓夾塞的動應(yīng)力集中系數(shù)只由入射波決定,根據(jù)DSCF 的定義,顯然DSCF 的最大值為1,計算結(jié)果如圖2 所示。
圖2 相同材料特性參數(shù)下橢圓夾塞周圍穩(wěn)態(tài)DSCF 分布Fig.2 Steady-state DSCF distribution around an elliptical inclusion with the same material property parameters
從圖2 中可以看出隨著入射波數(shù)和橢圓軸比的變化,DSCF 在與入射方向垂直的角度(橢圓短軸兩端)存在最大值1,而在入射角處(橢圓長軸兩端)存在最小值0。DSCF 在0°~90°之間隨著角度的增加逐漸增大,其分布關(guān)于x和y軸對稱。上述現(xiàn)象與現(xiàn)有文獻中的研究結(jié)果一致,證明了理論推導(dǎo)過程的正確性[17]。
爆破和地震兩種類型的動力擾動特性不同,其擾動波形存在較大差異。為了更好地模擬爆破載荷,本文引入針狀波作為激發(fā)函數(shù),該函數(shù)具有上升快、衰減緩慢的特征,其能量主要集中在波形前部,能夠較好地表征爆破載荷。針狀波函數(shù)表達式為[21]
式中,參數(shù)β=π/t0,α=βcot(βt1),t0為針狀波的周期,t1為峰值時間。
為了簡化計算和方便分析,本文設(shè)置無量綱參數(shù)t=c·t/r進行計算,其物理含義是傳播過橢圓長半軸的運動時間,其中c是入射波的波速。此外,定義α 為達到波峰時間與傳播總時間的比率,即α=t1/t0。為了比較不同波形的影響,將α 設(shè)為0.1,0.3,0.5 三個值。
在地震波的正演模型研究中,地震子波是地震波的基本單元,可以表達波源的基本特征[22-24]。根據(jù)子波相位譜延遲的不同,地震子波可以分為零相位子波,常數(shù)相位子波,最小相位子波以及混合相位子波等。本文選擇零相位地震子波-雷克子波作為工程擾動模型模擬地震產(chǎn)生的擾動。雷克子波在時域上是對稱的,其表達式為[25]
式中ωp代表雷克子波的主頻。
雷克子波在頻域上的分布函數(shù)F(ω)表達式為雷克子波在時域和頻域分布主要由主頻ωp決定,ωp的單位是rad/s。時域上的雷克子波有一個主瓣,兩個旁瓣,持續(xù)時間有限,旁瓣與主瓣的幅值比為0.5e1.5[26]。頻域上的雷克子波總是在主頻ωp處取得最大值,主頻ωp越大,雷克子波的頻域越寬。本文選用3 種不同主頻ωp的雷克子波進行瞬態(tài)入射,分別是100 rad/s,800 rad/s,2500 rad/s,分別對應(yīng)于低頻、中頻和高頻。
實際工程中的動態(tài)擾動是一種非周期性瞬態(tài)擾動,它與穩(wěn)態(tài)時的簡諧運動存在顯著差異。針對爆破載荷瞬態(tài)響應(yīng),首先引入δ(t)函數(shù)和Heaviside 階躍函數(shù),再根據(jù)杜哈梅積分[27]可得到瞬態(tài)DSCF 的時變解析表達式
式中G(t)為輸入激勵函數(shù)的積分表達式,即
瞬態(tài)擾動可以通過傅里葉變換分解為不同頻率簡諧波的疊加,因此地震載荷瞬態(tài)響應(yīng)可以通過傅里葉積分的形式獲得。通過積分消去頻率變量ω 得到一個隨時間變化的函數(shù)DSCFt,通過選擇不同時刻t得到瞬態(tài)波入射過程中不同時刻的系統(tǒng)響應(yīng),其表達式為
式中χ(ω)是系統(tǒng)在簡諧波入射下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),即1.3 中計算的穩(wěn)態(tài)DSCF。
直接積分法演算數(shù)值結(jié)果存在數(shù)學(xué)的困難,現(xiàn)多采用梯形近似法來進行計算。爆破和地震載荷下橢圓夾塞體的瞬態(tài)響應(yīng)如圖3~圖7 所示。如圖3 所示,夾塞與圍巖材料特性差異、橢圓軸比與入射主頻對DSCF 值和空間分布具有顯著的影響。DSCF 總是在橢圓夾塞的短軸和長軸兩端取得最大值和最小值。而當(dāng)橢圓趨近圓形并且高頻入射時,DSCF 的空間分布會出現(xiàn)多個應(yīng)力峰值區(qū),這是因為在高波數(shù)入射下,橢圓夾塞中同時存在應(yīng)力波峰和波谷,而波峰和波谷所處的位置容易導(dǎo)致動態(tài)應(yīng)力集中的發(fā)生。DSCF 的空間分布只關(guān)于x軸對稱分布,關(guān)于y軸非對稱分布,這表明迎波面與背波面的DSCF 空間分布是不同的,并且迎波面的DSCF 一般大于背波面。該現(xiàn)象意味著迎波面的夾塞和圍巖更容易發(fā)生結(jié)構(gòu)破壞。從圖4 中可以觀察發(fā)現(xiàn)地震載荷作用下瞬態(tài)DSCF 的時程曲線與雷克子波的波形一致,存在2 個波谷和1 個波峰。圖4(a)波谷對應(yīng)的DSCF最大值為–0.747 3,–0.720 9,–0.645 3,圖4(b)中波谷時刻對應(yīng)的DSCF 最大值為–1.277 2,–1.298 9,–1.380 8。這意味著在波谷時刻橢圓夾塞短軸兩端出現(xiàn)了拉應(yīng)力集中,而巖石是一種抗壓不抗拉材料,因此在該時刻很有可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞的發(fā)生,并且工況2 發(fā)生結(jié)構(gòu)破壞的可能性更大。圖4(a)和4(b)波峰時刻對應(yīng)的DSCF 最大值為1.675 2,1.622,1.457 與2.861 8,2.908 4,3.096 1。結(jié)合波谷時刻DSCF 最大值的分布可以發(fā)現(xiàn),工況1 中DSCF 最大值隨著雷克子波主頻的增加而逐漸減小,而工況2 的變化規(guī)律則與之相反,隨著雷克子波主頻的增加而逐漸增加。該現(xiàn)象表明夾塞與圍巖的材料特性會影響DSCF 隨主頻的變化特征。從圖4(c)中可以看出,工況和橢圓軸比只影響DSCF 值,不影響地震載荷作用下瞬態(tài)DSCF 時程曲線的變化規(guī)律,并且工況2的DSCF 最大值遠大于工況1,前者是后者的2~4 倍,這表明夾塞相較介質(zhì)軟時,動態(tài)應(yīng)力集中現(xiàn)象更為顯著,夾塞與圍巖更有可能發(fā)生結(jié)構(gòu)破壞。
圖3 地震載荷瞬態(tài)DSCF 空間分布Fig.3 Spatial distribution of transient DSCF under seismic loading
圖4 地震載荷瞬態(tài)DSCF 時變規(guī)律Fig.4 Time-varying pattern of transient DSCF under seismic loading
爆破載荷作用下橢圓夾塞瞬態(tài)響應(yīng)如圖5~圖7 所示。從圖5 中可觀察發(fā)現(xiàn),DSCF 在橢圓夾塞的短軸和長軸兩端取得最大值和最小值,與地震載荷下DSCF 的空間分布一致。DSCF 在0°~90°之間隨著角度的增加逐漸增大,其分布基本關(guān)于x和y軸對稱,沒有多個應(yīng)力峰值區(qū)存在,這是因為爆破載荷僅有一個應(yīng)力波峰,該現(xiàn)象與地震載荷瞬態(tài)響應(yīng)不同。此外,爆破載荷峰值時刻的DSCF 空間分布基本重合,最大值相差在0.3%以內(nèi),這意味著比率α 對DSCF 值幾乎無影響。如圖6 所示,相同時刻DSCF 的空間分布規(guī)律基本相同,但是DSCF 值存在差異,這意味著爆破載荷峰值時間會影響DSCF 的取值,但是不影響DSCF 的空間分布。從圖7 中可以觀察到,爆破載荷作用下瞬態(tài)DSCF 的時程曲線與針狀波的波形是一致的,在短時時間內(nèi)急速增長到DSCF最大值,隨后緩慢衰減至0。不同比率α 致使取得DSCF 最大值的時間存在差異,但是DSCF 最大值基本相同,圖7(a)和圖7(b)的最大值分別分布在0.66 與1.14 附近。如圖7(c)所示,工況2 和橢圓軸比只影響DSCF 值,不影響爆破載荷瞬態(tài)DSCF 時程曲線的變化規(guī)律,并且工況2 中DSCF 最大值遠大于工況1,與地震載荷作用下DSCF 的分布規(guī)律一致。
圖5 峰值時刻爆破載荷瞬態(tài)DSCF 空間分布Fig.5 Spatial distribution of transient DSCF under blasting load at peak moment
圖6 相同時刻爆破載荷瞬態(tài)DSCF 空間分布(t=0.016)Fig.6 Spatial distribution of transient DSCF under blasting load at the same moment (t=0.016)
圖7 爆破載荷瞬態(tài)DSCF 時變規(guī)律Fig.7 Time-varying pattern of transient DSCF under blasting loading
基于上述分析發(fā)現(xiàn),爆破與地震載荷下瞬態(tài)DSCF 空間分布規(guī)律是同中有異的,主要有3 個相同點和不同點。相同點為:(1)DSCF 總是在入射角處取得最小值,在垂直入射角處取得最大值,即在橢圓夾塞的長軸和短軸兩端附近取得最小值和最大值;(2)DSCF 的時程變化曲線與載荷波形是一致的,載荷波形與時程變化曲線擁有相同個數(shù)的波峰和波谷;(3)工況和橢圓軸比只影響DSCF 值,不影響瞬態(tài)DSCF 時程曲線的變化特征,DSCF 時程曲線的變化特征只與載荷自身參數(shù)相關(guān)。不同點為:(1)爆破載荷下DSCF 基本關(guān)于x與y軸對稱分布,而地震載荷下DSCF 僅關(guān)于x軸對稱分布,這是因為地震載荷存在2 個應(yīng)力波谷和1 個波峰,致使高波數(shù)入射下橢圓夾塞中同時存在波峰與波谷,從而產(chǎn)生多個應(yīng)力峰值區(qū);(2)爆破載荷僅有一個壓應(yīng)力峰值,而地震載荷存在2 個拉應(yīng)力峰值和1 個壓應(yīng)力峰值,這意味著地震載荷下應(yīng)力重分布的變化過程更為劇烈,并且由于巖石是抗壓不抗拉材料,導(dǎo)致巖體在應(yīng)力波谷時刻可能發(fā)生結(jié)構(gòu)破壞;(3)爆破載荷下DSCF 最大值僅為1.630 1,而地震載荷下DSCF 最大值高達3.924 2,這表明地震載荷導(dǎo)致的動態(tài)應(yīng)力集中現(xiàn)象更為顯著,造成結(jié)構(gòu)破壞的可能性更大。
本文基于馬修函數(shù)和波函數(shù)展開法,引入雷克子波和針狀波表征地震和爆破載荷,結(jié)合傅里葉變換和杜哈梅積分獲得兩種載荷下橢圓夾塞體的瞬態(tài)DSCF 時變解析解,同時理論驗證了推導(dǎo)過程的有效性。分析了夾塞與圍巖材料特性差異、橢圓軸比、載荷波形與參數(shù)對DSCF 的影響,獲得了地震和爆破載荷作用下橢圓夾塞體瞬態(tài)響應(yīng)的差異,主要結(jié)論如下。
(1)DSCF 總是在橢圓夾塞的短軸兩端取得最大值,在該區(qū)域進行噴錨支護等措施能夠有效預(yù)防動力擾動造成的結(jié)構(gòu)破壞,保障地下工程的安全推進。
(2)DSCF 的時程變化曲線與載荷波形是一致的,其受到載荷自身參數(shù)影響,但是夾塞與圍巖材料特性差異和橢圓軸比只影響DSCF 的取值。
(3)地震載荷可以導(dǎo)致拉應(yīng)力集中和壓應(yīng)力集中,應(yīng)力重分布的變化過程更為劇烈,并且其導(dǎo)致的DSCF 值遠大于爆破載荷,因此地震相較爆破造成結(jié)構(gòu)破壞的可能性更大,破壞能力更強。
(4)夾塞相較介質(zhì)軟時,動態(tài)應(yīng)力集中現(xiàn)象更為顯著,夾塞與圍巖更有可能發(fā)生結(jié)構(gòu)破壞。