關(guān)注“猜想”過(guò)程 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

［摘? 要］ 猜想是個(gè)體認(rèn)知思考的重要表現(xiàn)形式之一，是對(duì)現(xiàn)象或規(guī)律所進(jìn)行的一種推斷和假想。在教學(xué)中教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生提出“猜想”，這樣不僅可以提升學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，而且能夠充分展現(xiàn)學(xué)生在分析、驗(yàn)證等過(guò)程中的思維。讓學(xué)生在猜想的過(guò)程中豐富認(rèn)知、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，助力學(xué)生全面發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］ 猜想；思考；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；思維能力

作者簡(jiǎn)介：方芳（1982—），本科學(xué)歷，一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲甘肅省農(nóng)村骨干教師稱號(hào)。

猜想具有一定的主觀性，因?yàn)椴孪氲拇嬖谑沟脭?shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得豐富多彩。雖然小學(xué)生的思維能力和認(rèn)知水平有限，但是他們思維活躍，勤于動(dòng)手實(shí)踐。如果教師合理地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，則學(xué)生會(huì)根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)提出一些可能存在的數(shù)學(xué)規(guī)律或數(shù)量關(guān)系的猜想。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)使用猜想的方法去推理和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。小學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想同樣具有預(yù)見(jiàn)性和推測(cè)性，是學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考的重要表現(xiàn)形式，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂不可或缺的一部分。不過(guò)受教學(xué)水平、學(xué)習(xí)能力、教學(xué)環(huán)境等諸多因素的影響，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂大多以教師講授為主，學(xué)生參與猜想的機(jī)會(huì)很少，因此影響了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題能力的提升，限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展。在教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)一些具有啟發(fā)性的、探究性的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去觀察、分析、探究，讓學(xué)生結(jié)合已有認(rèn)知提出自己的判斷和推測(cè)。這樣不僅能夠豐富課堂內(nèi)容，而且能夠活躍課堂氣氛，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動(dòng)接受向主動(dòng)建構(gòu)過(guò)渡。

值得注意的是，在教學(xué)中教師不能局限于引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，更重要的是要讓學(xué)生從實(shí)際應(yīng)用層面去分析、嘗試、驗(yàn)證問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“提出猜想”“分析猜想”“驗(yàn)證猜想”的全過(guò)程，從而使學(xué)生在過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新契機(jī)，得出科學(xué)的認(rèn)知推論，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

一、提出猜想

數(shù)學(xué)猜想產(chǎn)生于教學(xué)活動(dòng)的各個(gè)階段，它并非臆造，而是基于問(wèn)題進(jìn)行分析及推測(cè)，它的提出往往具有一定的科學(xué)性和合理性。比如，在導(dǎo)入階段，教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)猜想性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生做出主觀的推理，從而緊緊吸引學(xué)生的注意力，為學(xué)生更好地參與課堂奠基；在探究階段，教師可以提出一些應(yīng)用性問(wèn)題讓學(xué)生去猜想解題的方法和策略，從而確定研究方向，為知識(shí)的生成添磚加瓦；在練習(xí)階段，教師可以設(shè)計(jì)一些拓展性問(wèn)題來(lái)發(fā)展學(xué)生的思維，豐富學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在夯實(shí)基礎(chǔ)、完善認(rèn)知時(shí)生發(fā)猜想。數(shù)學(xué)問(wèn)題復(fù)雜多變，在面對(duì)多變的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生會(huì)憑借經(jīng)驗(yàn)提出一些非確定性的詞語(yǔ)或推論，從而形成預(yù)測(cè)性思考，為后面的分析和驗(yàn)證架橋鋪路。筆者列舉了幾種常見(jiàn)的猜想類型，供參考。

1. 預(yù)測(cè)型猜想

為了鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，在揭課階段教師會(huì)讓學(xué)生對(duì)課題進(jìn)行分析，讓學(xué)生結(jié)合已有認(rèn)知和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)針對(duì)課題內(nèi)容、問(wèn)題特征、問(wèn)題規(guī)律等提出自己的“猜想”，以此提升學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)積極性。

案例1? 3的倍數(shù)的特征

師：你認(rèn)為3的倍數(shù)會(huì)有怎樣的特征呢？

生1：我猜如果一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)的個(gè)位可能是3、6、9。

師：你們也是這樣想的嗎？

生2：我認(rèn)為剛才的猜想有問(wèn)題，如果這個(gè)數(shù)為一位數(shù)，那么3、6、9為3的倍數(shù)是正確的；如果這個(gè)數(shù)為兩位數(shù)就可能不成立了，比如16的個(gè)位是6，但是它并不是3的倍數(shù)。

師：說(shuō)得很好。那么它會(huì)有什么特征呢？

生3：3的倍數(shù)與2的倍數(shù)不同，單一看個(gè)位行不通，還應(yīng)該關(guān)注其他的數(shù)位。

……

在和諧的氣氛下，學(xué)生積極思考，提出了許多有價(jià)值的猜想，由只關(guān)注個(gè)位向關(guān)注其他數(shù)位過(guò)渡，打破原有認(rèn)識(shí)的束縛，讓學(xué)生在解讀課題的過(guò)程中提出預(yù)測(cè)型猜想，有效地化解了單一講授的枯燥感，使教學(xué)更有效。

2. 設(shè)想型猜想

在探究階段，教師需要充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生預(yù)設(shè)解決問(wèn)題的方法，從而使探究活動(dòng)更有針對(duì)性和方向性，讓探究能夠朝著正遷移的方向順利開(kāi)展。

案例2? 圓錐的體積

公式的推導(dǎo)是抽象的，不過(guò)探究前學(xué)生已經(jīng)有了探究圓柱體積的經(jīng)驗(yàn)，課上教師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：等底等高的圓柱與圓錐是否存在某種關(guān)系？

師：這邊有兩個(gè)容器，觀察一下它們有什么特點(diǎn)？

生1：目測(cè)它們的高相等。

師：很好，還有呢？（教師將兩個(gè)容器拿起來(lái)比較，讓學(xué)生感受等高）

生2：它們的高相等。

師：很好！如果通過(guò)實(shí)驗(yàn)法來(lái)驗(yàn)證它們體積間的關(guān)系，你們想怎么做呢？

生3：這個(gè)很簡(jiǎn)單，分別將圓柱和圓錐容器注滿水，然后找一個(gè)有刻度的量杯“量一量”就可以了。

師：這確實(shí)是一個(gè)非常好的方案，看來(lái)你是一個(gè)實(shí)驗(yàn)小能手。不過(guò)，我們并沒(méi)有可以供測(cè)量的量杯，那么是否能夠測(cè)量呢？

生4：可以的，可以將圓柱容器里的水倒進(jìn)圓錐容器里，看可以倒幾次。

生5：也可以將圓錐容器里的水倒進(jìn)圓柱容器里，看幾次可以裝滿。

在探究活動(dòng)開(kāi)展之前學(xué)生初步構(gòu)思了探究方案，設(shè)想了兩種不同的實(shí)驗(yàn)方案。不過(guò)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)方案并未經(jīng)過(guò)具體的操作驗(yàn)證，只是一種設(shè)想，這屬于設(shè)想型的猜想。通過(guò)設(shè)想使實(shí)驗(yàn)更有方向性，也更有趣。

3. 創(chuàng)見(jiàn)型猜想

要想提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，在練習(xí)階段教師應(yīng)該關(guān)注問(wèn)題的拓展和延伸，通過(guò)“跳一跳”就夠得著的問(wèn)題來(lái)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。對(duì)于拓展性和延伸性問(wèn)題的提出不能局限于教師的預(yù)設(shè)，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行研討，讓學(xué)生提出具有獨(dú)創(chuàng)性的見(jiàn)解，從而有效地拓展知識(shí)的外延，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

案例3? 認(rèn)識(shí)三角形的高

在教學(xué)中，教師首先通過(guò)設(shè)置情境幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形的高，然后講授高的具體畫(huà)法，最后組織學(xué)生動(dòng)手畫(huà)，進(jìn)一步體驗(yàn)三角形的高。

師：對(duì)于任意三角形，你認(rèn)為它們有幾條高呢？

生1：我認(rèn)為這個(gè)應(yīng)該和三角形的形狀有關(guān)，有的好像有3條，有的好像只有1條。

生2：不對(duì)，應(yīng)該都是3條，只不過(guò)有些高會(huì)藏起來(lái)，所以看起來(lái)像只有1條。

師：看來(lái)對(duì)于這個(gè)問(wèn)題大家有不同的意見(jiàn)，我們有必要一探究竟了。

對(duì)于鈍角三角形高的理解一直是教學(xué)的難點(diǎn)，為了深化問(wèn)題的理解，教師引導(dǎo)學(xué)生研討“三角形有幾條高”，學(xué)生結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)提出了“1條”“藏起來(lái)”等觀點(diǎn)，從而為深入探究提供了素材。以上觀點(diǎn)具有一定的猜測(cè)性和創(chuàng)新性，這是學(xué)生思考的必然產(chǎn)物。

總之，無(wú)論何種類型的猜想，其往往都是建立在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上的一種判斷和推測(cè)。猜想雖然具有一定的主觀性，但是也有一定的探究性，是開(kāi)展有效教學(xué)必不可少的前提。

二、分析猜想

猜想是寶貴的教學(xué)資源，教師在教學(xué)中應(yīng)該充分地利用，并基于猜想有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，從而將猜想逐漸轉(zhuǎn)化為結(jié)論、定理等，讓學(xué)生親身體驗(yàn)猜想在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律中的價(jià)值。在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，教師需要弄清兩個(gè)問(wèn)題：一是為什么要這樣想；二是這樣想的主要依據(jù)是什么。只有弄清緣由，摸清真正的成因，才能了解學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)，才能明確猜想的經(jīng)驗(yàn)背景，從而找到探究的著力點(diǎn)。

1. 明確經(jīng)驗(yàn)背景

猜想大多依賴于個(gè)體經(jīng)驗(yàn)，個(gè)體經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生提出猜想的思考原點(diǎn)。因?yàn)閭€(gè)體差異的存在，所以學(xué)生在面對(duì)同一個(gè)問(wèn)題時(shí)會(huì)有不同的猜想，這就要求教師真正去理解學(xué)生，從主觀、客觀兩種途徑對(duì)提出猜想的知識(shí)背景進(jìn)行分析，從而明確學(xué)生的思維起點(diǎn)，為有針對(duì)性地實(shí)施驗(yàn)證活動(dòng)提供依據(jù)。

在案例1中，學(xué)生提出了這樣的猜想：“一個(gè)數(shù)若是3的公倍數(shù)，則其個(gè)位數(shù)可能是3、6、9。”在驗(yàn)證中只要列舉一個(gè)反例，猜想就能不攻自破，但是提出該猜想也有一定的經(jīng)驗(yàn)背景，教師根據(jù)主觀教學(xué)經(jīng)驗(yàn)容易判斷，學(xué)生之所以提出這個(gè)猜想是對(duì)“2和5的倍數(shù)特征”規(guī)律的一種生搬硬套。從學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方式來(lái)看，學(xué)生能夠提出這一猜想符合他們的現(xiàn)有認(rèn)知水平。當(dāng)驗(yàn)證這一猜想不成立后，學(xué)生自然會(huì)進(jìn)入下一個(gè)猜想：“對(duì)于3的公倍數(shù)，不能單看個(gè)位，可能還要考慮到其他的數(shù)位。”對(duì)于這一猜想教師可以采用客觀分析法引導(dǎo)學(xué)生從猜想的內(nèi)容結(jié)構(gòu)、組成要素等方面進(jìn)行進(jìn)一步的分析，從而確定提出這一猜想借助了學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。

2. 分析知識(shí)指向

猜想的提出大多以舊知或已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，同時(shí)指向新知識(shí)、新內(nèi)容。為了使猜想更有價(jià)值，教師要充分利用好學(xué)生的已有認(rèn)知，使學(xué)生的猜想更具合理性，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正向遷移。學(xué)生提出猜想常常有如下的知識(shí)指向：

（1）指向規(guī)律性知識(shí)。學(xué)生對(duì)于規(guī)律性內(nèi)容的探究較為擅長(zhǎng)，比如在探究“平行線”的特征時(shí)，學(xué)生根據(jù)觀察容易提出“兩平行線間的距離可能是相等的”，直指平行線的特征，體現(xiàn)了直覺(jué)思維在猜想中的重要價(jià)值，顯示出規(guī)律性知識(shí)的特征。

（2）指向規(guī)范性知識(shí)。數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，在教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些大膽的猜想和推理，便于學(xué)生更好地內(nèi)化知識(shí)。比如在教學(xué)有小括號(hào)的混合運(yùn)算時(shí)，學(xué)生提出“如果遇到小括號(hào)，可能要先算小括號(hào)的算式”，借助猜想直指運(yùn)算的順序法則。

（3）指向規(guī)定性知識(shí)。在概念教學(xué)中，大多數(shù)教師習(xí)慣直接拋出概念讓學(xué)生記憶，并未引導(dǎo)學(xué)生參與觀察、猜想、分析、推理等過(guò)程，從而使學(xué)生對(duì)概念的理解難以深入。數(shù)學(xué)概念雖然是抽象的，但并不是學(xué)生完全不能駕馭的，在給出概念前教師可以先引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想，從而指向規(guī)定性知識(shí)。比如在教學(xué)認(rèn)識(shí)角時(shí)，教師給出角的圖形讓學(xué)生進(jìn)行猜想，學(xué)生提出“角是由兩條直線組成的”，這樣學(xué)生對(duì)角的概念初步形成，教師只要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)細(xì)節(jié)進(jìn)行分析，就能達(dá)到知識(shí)的完善。

3. 分析探究?jī)r(jià)值

不同的學(xué)生會(huì)提出不同類型、不同指向、不同層次的猜想，這些“不同”從側(cè)面反映出學(xué)生的認(rèn)知水平和思維水平。有些猜想相對(duì)較為淺顯，探究?jī)r(jià)值較低，不需要太深入探究便可以驗(yàn)證；有些猜想的探究?jī)r(jià)值較高，只有開(kāi)展深入探究才能得以解決。為此，教師需要對(duì)學(xué)生提出的猜想進(jìn)行評(píng)估，從而明確學(xué)生的思考方向，確定學(xué)生的探究走向。

三、驗(yàn)證猜想

經(jīng)歷了猜想的分析，明確了猜想的探究?jī)r(jià)值之后，接下來(lái)應(yīng)選取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行驗(yàn)證，從而達(dá)成深化理解和得出科學(xué)結(jié)論的目的。眾所周知，猜想具有一定的主觀性，若不經(jīng)過(guò)科學(xué)的驗(yàn)證將使猜想失去真正的價(jià)值。通過(guò)驗(yàn)證可以解決學(xué)生的認(rèn)知困惑，讓學(xué)生明晰“真”為什么為真，“假”又假在何處，從而達(dá)到深化理解的效果。在開(kāi)展“猜想”驗(yàn)證的教學(xué)中，教師應(yīng)做好以下幾點(diǎn)：

1. 選取合適的驗(yàn)證方法

合適的方法是開(kāi)展科學(xué)驗(yàn)證的前提。在方法的選擇上教師應(yīng)遵循以下幾點(diǎn)：

首先，要從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，尊重個(gè)體差異，所選取的方法不僅要照顧個(gè)體，而且也要關(guān)注全體。在驗(yàn)證時(shí)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)合作、展示、爭(zhēng)論等方式進(jìn)行驗(yàn)證，這樣既能展示個(gè)性思維，又能讓學(xué)生在互動(dòng)交流中獲得新的提升。

其次，基于不同的猜想類型確定不同的思考方法。在分析猜想時(shí)可以看出，猜想不僅類型不同，其認(rèn)知指向及探究?jī)r(jià)值也有所不同。因此，在方法的選擇上教師應(yīng)關(guān)注類型，比如案例1中的猜想可以通過(guò)舉例說(shuō)明的方法進(jìn)行驗(yàn)證，案例3中的猜想可以通過(guò)操作演示的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

2. 經(jīng)歷完整的探究過(guò)程

在探究過(guò)程中，部分教師為了追求效率，常常關(guān)注結(jié)果而忽視探究驗(yàn)證的過(guò)程，從而使得驗(yàn)證活動(dòng)失去了原有價(jià)值。在驗(yàn)證過(guò)程中，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，鼓勵(lì)學(xué)生自主進(jìn)行實(shí)證研究和推理演繹。同時(shí)，教師要給予適時(shí)的指導(dǎo)，幫助學(xué)生跨過(guò)思維障礙，重拾學(xué)習(xí)信心。此外，在驗(yàn)證活動(dòng)中，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，比如驗(yàn)證使用的方法和發(fā)現(xiàn)等，從而讓學(xué)生在經(jīng)歷的過(guò)程中有所發(fā)現(xiàn)、有所成長(zhǎng)。比如在案例3的驗(yàn)證過(guò)程中，教師讓學(xué)生畫(huà)一畫(huà)，關(guān)注三角形高的條數(shù)，指導(dǎo)學(xué)生讓“隱藏”的高顯現(xiàn)出來(lái)，從而幫助學(xué)生跳出思維誤區(qū)，重新認(rèn)識(shí)三角形的高，最終確定“猜想”的真假性。

總之，在面對(duì)學(xué)生猜想時(shí)，教師應(yīng)保持客觀的態(tài)度和科學(xué)的判斷，以“三個(gè)理解”為基礎(chǔ)，有的放矢地開(kāi)展探究教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)生成和演變的過(guò)程，從而將不確定的、不完整的、不科學(xué)的內(nèi)容，通過(guò)思考、探索、辨析等驗(yàn)證過(guò)程將其向確定性、完整性、科學(xué)性轉(zhuǎn)化，以此促進(jìn)學(xué)生探究能力的不斷提高。