一道拋物線問題的思路突破與教學(xué)微設(shè)

陳超

1 考題呈現(xiàn)，思路突破

1.1 考題呈現(xiàn)

考題? （2021年常州市中考卷第28題）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y=kx （k≠0）和二次函數(shù)y=－14x2+bx+3的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（4，3）和B，過點(diǎn)A作OA的垂線交x軸于點(diǎn)C.D是線段AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A，O，B不重合），E是射線AC上的一點(diǎn)，且AE=OD，連接DE，過點(diǎn)D作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，以DE，DF為鄰邊作平行四邊形DEGF.

（1）填空：k=，b=；

（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t（t>0），連接EF，若∠FGE=∠DFE，求t的值；

（3）過點(diǎn)F作AB的垂線交線段DE于點(diǎn)P，若S△DFP=13SDEGF，求OD的長.

1.2 思路突破

本題為以拋物線為背景的函數(shù)綜合題，題設(shè)三問，分別求直線與拋物線的特征參數(shù)，分析等角關(guān)系下的坐標(biāo)值，以及探究幾何面積的構(gòu)建.

（1）點(diǎn)A和B為正比例函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，可采用待定系數(shù)法求特征參數(shù).將點(diǎn)A（4，3）分別代入對應(yīng)的解析式中，可解得k=34，b=1.

（2）該問探究當(dāng)∠FGE=∠DFE時(shí)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，圖象較為復(fù)雜，解析的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化等角條件.

第一步，推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).

如圖2，在平行四邊形DEGF中，有∠FGE=∠FDE，又知∠FGE=∠DFE，所以∠FDE=∠DFE，則EF=ED.點(diǎn)D在函數(shù)y=[SX（]34[SX）]x的圖象上，其坐標(biāo)設(shè)為t，34t（t>0）.由DF平行于y軸，可知Ft，－14t2+t+3.由△DEF為等腰三角形，知點(diǎn)E位在DF的垂直平分線上，故點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1234t－14t2+t+3=－18t2+78t+32.

第二步，構(gòu)建方程求坐標(biāo).

過點(diǎn)A作EG的垂線，設(shè)垂足為M，延長GE與x軸的交點(diǎn)設(shè)為N，如圖2所示，則∠AEM=∠NEC=∠AOC，所以cos∠AOC=cos∠AEM=EMAE=45.又因?yàn)锳E=OD=t2+34t2=54t，可解得t=15+1772（舍去），或t=15－1772，所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的值為15－1772.

點(diǎn)評：第（2）問的題設(shè)有兩大特點(diǎn)：一是等角條件所涉角度與平行四邊形的內(nèi)角相關(guān)；二是平行四邊形的一組對邊平行于y軸.按照“等角轉(zhuǎn)化—關(guān)鍵點(diǎn)推導(dǎo)—構(gòu)建坐標(biāo)參數(shù)方程”的思路進(jìn)行解題，即首先將等角轉(zhuǎn)化為等邊條件，然后推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，基于三角函數(shù)構(gòu)建參數(shù)方程，進(jìn)而完成求解.其中，平行四邊形的特征性質(zhì)與三角函數(shù)是破題的關(guān)鍵知識.

（3）該問設(shè)定S△DFP=13×SDEGF，求OD的長，需要構(gòu)建面積模型，轉(zhuǎn)化面積條件，然后求線段長.

第一步，轉(zhuǎn)化面積條件.

當(dāng)S△DFP=13SDEGF時(shí)，可推知DPDE=23.因?yàn)锳B⊥FP，AB⊥AC，所以FP∥AC.設(shè)FP交AB于點(diǎn)Q，如圖3，由平行線的性質(zhì)可得DQDA=DPDE=23.

第二步，構(gòu)建線段關(guān)系.

設(shè)直線FD交x軸于點(diǎn)H.由∠FDQ=∠ODH，得cos∠FDQ=DQDF=DHOD=cos∠ODH=35.因?yàn)镈F=－14t2+14t+3，所以可知DQ= 35－14t2+14t+3，則DA=32DQ=32×35×－14t2+14t+3.又DA+OD=5，所以32×35×－14t2+14t+3+54t=5，可解得t=239或t=4（舍去）.故OD=54t=11536.

點(diǎn)評：

第（3）問則是將函數(shù)與圖形面積緊密關(guān)聯(lián)，同樣特點(diǎn)鮮明：一是構(gòu)建三角形與四邊形的面積關(guān)系；二是隱含眾多平行與垂直關(guān)系.故探究線段長需分步進(jìn)行：轉(zhuǎn)化面積關(guān)系條件，推導(dǎo)線段長，利用三角函數(shù)構(gòu)建坐標(biāo)參數(shù)方程.其中的破題方法特點(diǎn)突出，實(shí)用性強(qiáng).

2 基于考題開展教學(xué)微設(shè)計(jì)

上述充分利用數(shù)學(xué)思想和解題方法來破解考題的后兩問，教學(xué)中需要重視思維的引導(dǎo)，合理設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，幫助學(xué)生理解方法，形成自我的解題策略.下面基于第（2）（3）問開展教學(xué)微設(shè)計(jì).

環(huán)節(jié)一：知識強(qiáng)化，初識圖象

題干? 如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y=34x和和二次函數(shù)y=－14x2+x+3交于點(diǎn)A和B，過點(diǎn)A作OA的垂線交x軸于點(diǎn)C.D是線段AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A，O，B不重合），E是射線AC上的一點(diǎn)，且AE=OD，連接DE，過點(diǎn)D作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，以DE，DF為鄰邊作平行四邊形DEGF.

設(shè)問1? 根據(jù)函數(shù)解析式提取特征參數(shù)，并求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo).

設(shè)問2? 理解構(gòu)圖過程，梳理?xiàng)l件，提取其中的幾何性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：直接呈現(xiàn)函數(shù)解析式，強(qiáng)化特征參數(shù)，掌握求交點(diǎn)的方法，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生讀題，把握圖象構(gòu)建過程，理解圖象，提取幾何性質(zhì)，為后續(xù)探究作鋪墊.

環(huán)節(jié)二：拾級而上，轉(zhuǎn)化構(gòu)建

在環(huán)節(jié)一的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步設(shè)定：如圖2，過點(diǎn)A作EG的垂線，設(shè)垂足為M，延長GE與x軸的交點(diǎn)設(shè)為N.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t（t>0），連接EF，∠FGE=∠DFE.

設(shè)問1? 在平行四邊形DEGF中，可以得出怎樣的線段關(guān)系？△DEF有怎樣的特性？

設(shè)問2 ?設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為t，34t（t>0），請推出點(diǎn)F，E，N，M的坐標(biāo)，并求OD，EM，AE的長.

設(shè)問3? 分析可得∠AEM=∠NEC=∠AOC，是否有cos∠AOC=cos∠AEM？并求該函數(shù)值，

設(shè)問4? 請?jiān)赗t△AEM中構(gòu)建cos∠AEM，并求出t的值.

設(shè)計(jì)意圖：將第（2）問的解析過程進(jìn)行拆解，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化條件，推導(dǎo)關(guān)鍵坐標(biāo)和線段長，利用三角函數(shù)構(gòu)建方程求解，使學(xué)生充分體驗(yàn)解題過程.

環(huán)節(jié)三：思維發(fā)散，提升能力

在環(huán)節(jié)一的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步設(shè)定：如圖3，過點(diǎn)F作AB的垂線交線段DE于點(diǎn)P，若S△DFP=13SDEGF.

設(shè)問1? 構(gòu)建關(guān)于△DFP和平行四邊形DEGF的面積模型，轉(zhuǎn)化面積條件，分析DPDE的比值.

設(shè)問2? FP∥AC，圖象中是否有相似三角形，DQDA與DPDE是否相等？

設(shè)問3? 已知∠FDQ=∠ODH，在Rt△ODH中構(gòu)建三角函數(shù)，求cos∠ODH的值.

設(shè)問4? 根據(jù)上述三角函數(shù)構(gòu)建的邊長比例，推導(dǎo)DF，DQ，DA的線段長.根據(jù)DA+OD=5構(gòu)建關(guān)于t的方程，進(jìn)而求出OD.

設(shè)計(jì)意圖：拆解第（3）問的解析過程，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化面積條件，充分利用三角函數(shù)知識來構(gòu)建方程.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體會解題的思想方法，感悟思想內(nèi)涵.

解題教學(xué)建議采用教學(xué)微設(shè)計(jì)的方式，微設(shè)環(huán)節(jié)精選問題，合理拆解問題，通過設(shè)問來引導(dǎo)學(xué)生思考，探索解題步驟，體會解題過程，促進(jìn)解題思維的發(fā)展.設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)要注意兩點(diǎn)：一是問題設(shè)計(jì)的連續(xù)性，采用連續(xù)設(shè)問來引導(dǎo)學(xué)生遞進(jìn)思考，促進(jìn)思維形成；二是問題設(shè)計(jì)的導(dǎo)向性，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知能力，利用具有引導(dǎo)性的問題來輔助學(xué)生思考.總之，整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)要尊重學(xué)生的主體地位，給學(xué)生留足思考空間，以培養(yǎng)學(xué)生的解題思維為教學(xué)重點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

［1］張小麗.問題解讀思路構(gòu)建，方法探究思維提升——以一道拋物線為背景的考題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（5）：72-73，80.

[2]王玉兵.定點(diǎn)判斷、軌跡求解、定義應(yīng)用——一道拋物線試題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（9）：64-65.