借助“穿越”情境 展開想象與操作

杜夢琳

【摘? ?要】在故事情境中展開想象與操作是發(fā)展想象力的重要策略。教師可以用“圖形運動會”的故事情境為載體，通過“對接生活經(jīng)驗、依托想象說理、動手操作驗證、故事情節(jié)助推、聯(lián)結知識結構”等過程，引導學生探究“三角形的高”，幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展空間想象力。

【關鍵詞】三角形的高；圖形想象；操作活動

在“三角形的認識”中，邊和角是三角形的顯性特征，高則是隱性特征。正確找到高，感受三角形底和高的相互依存關系，需要較強的空間想象力。因此，借助“三角形的高”這一內(nèi)容，可以幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展空間想象力。

一、課前思考

在認識三角形之前，學生已經(jīng)學習了垂直關系，理解了“點到直線的距離”，具備了對距離概念與最短線段等的感性認識，掌握了過指定點畫已知直線的垂線的作圖技能。在日常生活中，也常常會遇到諸如測量身高之類的“測高”活動。因此，學生已具備學習三角形的高的經(jīng)驗基礎。

在“三角形的高”的教學中，教師一般會采用講授法，將三角形的高直接告知學生，讓他們從認識概念直接到應用概念。這個教學過程忽視了學生的直接經(jīng)驗，致使學生難以理解認識三角形的高的本質及必要性。另外，在教學實踐中，畫高對學生而言也有一定難度，特別是畫直角三角形的高和鈍角三角形的高。

基于上述分析，筆者設計了“圖形運動會”的故事情境，推動學生主動探究，在猜高、畫高、量高、試高、比高等活動中展開對三角形的高的學習，從而理解三角形的高的本質，發(fā)展空間想象力。本內(nèi)容的具體教學目標如下。

（1）通過思考三角形的穿越策略，主動構建三角形的底和高之間的聯(lián)系，為操作提供想象基礎。

（2）通過觀察銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形等三角形模型穿門的過程，直觀感知高的位置與長短，為探索三角形的高的本質提供直接經(jīng)驗。

（3）通過對各類三角形的高的觀察、對比和思考，建立結構化思維，進一步提高想象力。

二、教學實踐

（一）對接生活經(jīng)驗，豐富表象感知“高”

真實情境與問題提出有助于推動學生主動參與教學活動。學生學習的起點是生活中的一些實際事例，學習數(shù)學的過程是對現(xiàn)實經(jīng)驗的理解與反思過程［1］。在故事中融入數(shù)學問題，能激發(fā)學生的數(shù)學想象力以及他們提出問題的能力。

教學時，教師結合杭州亞運會，以小視頻的形式引入“圖形運動會”的故事情境：有3名三角形運動員準備參加“穿越運動賽”，只要穿過一道幸運門就能獲得1枚獎章（如圖1）。

師：比賽前，大家先來預測一下這3名三角形運動員的獲獎情況。

生：①號運動員看上去能穿過兩道門，能得2枚獎章。

生：②號運動員看上去有點高，只能穿過1號門，得1枚獎章；③號運動員最矮，能得3枚獎章。

生：②號運動員只要翻個身就能穿過三道門，能得3枚獎章。

生：如果可以翻身，那么每名運動員都可以獲得3枚獎章。

學生通過觀察，一一比較三扇門的門高與三角形運動員的身高，并提出設想：三角形有三條邊、三個頂點，若以不同的邊為底，那么三角形的“身高”各不相同。

設計意圖：在學習三角形的高之前，學生已經(jīng)積累了對“高”的認識。因此，學生學習三角形的高時能自然對接原有的測身高經(jīng)驗，激活對高的直觀感知。教師創(chuàng)設“圖形運動會”的故事情境，讓學生通過觀察，想象三角形的高就是三角形運動員“頭頂”（頂點）到“腳底”（底邊）之間的距離。這樣的學習方式符合學生天真活潑愛幻想的天性，擬人化的方式也有助于學生建立不同事物間的關聯(lián)以開啟想象。

（二）依托想象說理，動手探究辨析“高”

問題提出后，教師要引導學生充分聯(lián)想、自由表達，在應用直接經(jīng)驗的基礎上進行辨析、探究，生成學習資源，有效促進學生從感性認識上升到理性認識。

由于每名學生對銳角三角形的高的想象都是不同的，因此，教師讓學生基于想象，借助學習單來尋找銳角三角形的高，并在銳角三角形上畫一畫、量一量高的長度（如圖2）。

學生通過交流反饋，體會到高是三角形的頂點到對邊的最短距離，是一條垂線段。

設計意圖：以三角形非水平方向的邊為底作高是學生學習的難點。教師先利用三角形運動員穿越幸運門的故事情境，引導學生展開想象，思考三角形運動員可以通過改變站姿來適應門高，從而認識銳角三角形三條不同的高。然后鼓勵學生想象與說理，明晰三角形高的概念本質，豐富對三角形三條高認知的經(jīng)驗。

（三）動手操作驗證，推動對“高”的深刻想象

操作活動需要思維的參與，思維也需要在操作活動中發(fā)展，想象力的發(fā)展離不開操作活動［2］。帶著想象進行操作活動，學生就能形成明確的研究目標，用數(shù)學的思維理解現(xiàn)實圖像的數(shù)學意義。

在學生畫銳角三角形的高的基礎上，教師提供學具（如圖3），組織學生進行操作驗證：“準備好了嗎？請銳角三角形運動員上場！”讓學生用銳角三角形學具進行穿越實驗，驗證其是否能穿過圖中的三道門。

學生在操作中發(fā)現(xiàn)：銳角三角形只能用兩種“站姿”穿過1號門，即能以兩條較短的高穿過1號門，但穿不過2號和3號門（如圖4）。因此，銳角三角形運動員能獲得1枚獎章。

設計意圖：本環(huán)節(jié)立足操作與想象，使學生獲得對三角形的高的直觀感知。教師讓學生用三角形學具和門框模型模擬比賽現(xiàn)場，通過直觀操作，將三扇門的門高與三角形運動員的身高進行一一比較，看到結果后驗證自己的想象，形成想象回路，體會“頂點”“對邊”“垂線段”的深刻內(nèi)涵。

（四）故事情節(jié)助推，對不同“高”進行充分想象

理解直角三角形、鈍角三角形的高是教學的難點，因此，教師要讓學生依托視覺、觸覺等感官活動，將產(chǎn)生的直覺感知與想象進行互動，從而形成清晰的表象。

教師為每組學生提供直角三角形（三條高分別為8 cm、6 cm、5 cm）和鈍角三角形（三條高分別為8 cm、4 cm、3 cm）學具（如圖5），組織學生繼續(xù)進行操作驗證：直角三角形和鈍角三角形運動員分別能獲得幾枚獎章呢？學生可以在學習單上畫高、量高，或直接在三角形學具上量高。

學生完成探究后，教師組織反饋。

師：這兩名三角形運動員到底有多高呢？它們的高在哪里呢？

生：（呈現(xiàn)學習單上的直角三角形作高圖）直角三角形有兩條直角邊，一條直角邊作底時，另一條直角邊就是它的高。這樣的高有兩條，分別為8 cm和6 cm，還有一條是以斜邊為底作的高，為5 cm。直角三角形無論用什么“站姿”都能穿過1號門，可以得到1枚獎章。

生：2號門的高度是6 cm，3號門的高度是4 cm。直角三角形能夠穿過2號門，但穿不過3號門，因此還可以再得1枚獎章。

生：（呈現(xiàn)鈍角三角形作高圖）我覺得鈍角三角形運動員很特別，它只有一條高在三角形內(nèi)部，長3 cm，另外兩條高好像不在三角形內(nèi)。大家看，當鈍角三角形的頂點碰到門框時，可以看到它的高在三角形外（如圖6、圖7）。

生：是的，我也發(fā)現(xiàn)了。鈍角兩邊張開的角度大，所以有兩條高在外面。

圖形外面的高能畫出來嗎，怎么畫？教師因勢利導，示范畫鈍角三角形的外高。

學生討論總結直角三角形高的位置特征和畫圖技巧：兩條直角邊互為底和高，用斜邊作底對應一條內(nèi)高。作圖時，與兩條直角邊重合的高不用重復畫，加直角符號即可。鈍角三角形有兩條外高和一條內(nèi)高。畫外高時，要先將底邊延長，再過頂點作高。

設計意圖：銳角三角形的三條高都是內(nèi)高，直角三角形有兩條直角邊互為底和高，鈍角三角形有兩條外高。其中，鈍角三角形的兩條外高是難點，學生很難想象。因此，教師要給學生提供學具，讓學生借助實物模型進行探究，有物可比，有形可想。經(jīng)過反復操作，學生打破固有想法，意識到高確實會落在鈍角三角形的外部，高雖“無形”卻真實存在，有效突破了鈍角三角形“外高”的認知難點。

（五）聯(lián)結知識結構，拓展對“高”的想象深度

數(shù)學知識具有內(nèi)在聯(lián)系的結構化特征。教學中，教師要利用學生已有知識，引導學生辨析學習材料，進行聯(lián)想推理，形成結構化思維，培養(yǎng)空間想象力和空間觀念。

教師引導學生思考：在三角形ABC中，如果BC邊不變，將頂點A左右移動，高會發(fā)生什么變化？三角形會發(fā)生什么變化？在學生想象的基礎上，用視頻進行動態(tài)演示，幫助學生理解：銳角三角形的高在三角形內(nèi)部，直角三角形的高在直角邊上，鈍角三角形的高在三角形外部。由此為后續(xù)學習三角形面積奠定基礎。

設計意圖：通過左右移動頂點A，激發(fā)學生的動態(tài)想象，讓學生感受高的位置變化帶來三角形形狀的變化，進一步豐富學生對高的認識。同時讓學生感受到：雖然三角形高的位置有變化，但它們有共同的底和相等的高。由此為后續(xù)學習三角形面積奠定基礎。這一環(huán)節(jié)的教學加深了學生對三角形高的本質的認識，使學生在想象三角形高與形狀發(fā)生變化的過程中，培養(yǎng)空間觀念和想象力。

三、教后所思

（一）以故事為載體，激發(fā)數(shù)學想象

數(shù)學故事可以成為承載數(shù)學知識和數(shù)學問題的載體，觸發(fā)學生的情感投入，激發(fā)學生的想象力。本內(nèi)容的教學基于學生生活中的測高經(jīng)驗展開，并與杭州亞運會相結合，通過創(chuàng)編“圖形運動會”的故事情境，讓學生在故事情節(jié)中思考：三角形的高在哪里？哪種三角形的高最矮？研究三角形的高有什么用？等等。

（二）以猜想為導向，引領數(shù)學想象

著名數(shù)學家波利亞說過：“數(shù)學既要教證明，又要教猜想?！辈孪氩皇翘祚R行空地亂想，而是要有一定的科學依據(jù)和針對性［3］。教師要讓學生在想象中提出猜想、合理推導，并操作驗證。首先，創(chuàng)設3名三角形運動員參加“穿越運動賽”的故事情境，讓學生通過觀察進行直覺猜想：各個三角形運動員都能穿過哪些門？接著，幫助學生給銳角三角形畫高、量高，理解“高是三角形的頂點到對邊的最短距離，高是一條垂線段”。最后，在學生猜想的基礎上，引導學生用實物操作驗證。在反復操作中，學生展開深度思考：頂點和底為什么要對應呢？為什么作高要作垂線段呢？由此引導學生主動建構三角形高的概念。該教學設計借助學生的猜想，讓學生順利完成從“物”到“形”的轉換，由此發(fā)展學生的空間想象力，逐步培養(yǎng)學生的空間觀念［4］。

（三）以操作為依托，助推數(shù)學想象

數(shù)學想象要有清晰表象作為經(jīng)驗素材。為突破鈍角三角形的形外高這個教學難點，教師要讓學生展開對三角形的高的本質的數(shù)學洞察。學生在對數(shù)學形式化材料的操作中，感知高不取決于三角形的形狀與位置，而只取決于頂點與底之間的距離。動手操作是探究的開始，觀察生成想象，想象又促使學生提出數(shù)學問題，探究數(shù)學規(guī)律。

在本內(nèi)容的教學中，學生在創(chuàng)編故事的活動體驗中，將數(shù)學問題轉化為具體的實踐問題，將生活經(jīng)驗內(nèi)化為數(shù)學概念，收獲了有趣的數(shù)學學習體驗和豐富的想象力。

參考文獻：

［1］史寧中，曹一鳴.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］顏秀敏.借力想象 積淀素養(yǎng)：小學數(shù)學課堂如何培養(yǎng)學生的想象能力［J］.學苑教育，2022（7）：12-13，16.

［3］費正蕾.先致其知 致知雕琢：帶著學生學習需求走進數(shù)學課堂［J］.學苑教育，2015（11）：59.

［4］顧衛(wèi)華.數(shù)學想象，讓兒童“破繭飛翔”［J］.數(shù)學大世界（下旬），2018（11）：44.