解題中化歸轉(zhuǎn)化的“五種策略”

賀姣妮

摘要：數(shù)學(xué)解題中，化歸轉(zhuǎn)化思維表現(xiàn)極其活躍.具體應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化思維解題時(shí)，揭示聯(lián)系，分析問(wèn)題，創(chuàng)造條件，創(chuàng)新應(yīng)用，遵循基本的解題策略，實(shí)現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化的目的.結(jié)合實(shí)例剖析，就常見(jiàn)的化歸轉(zhuǎn)化過(guò)程中的解題策略加以應(yīng)用，開拓?cái)?shù)學(xué)思維，優(yōu)化數(shù)學(xué)品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力.

關(guān)鍵詞：化歸；轉(zhuǎn)化；策略；思維；創(chuàng)新

數(shù)學(xué)解題的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維的化歸與轉(zhuǎn)化過(guò)程.因而在實(shí)際解題過(guò)程中，要從題設(shè)條件入手，朝著結(jié)論的方向，從不同視角、不同側(cè)面、不同知識(shí)等方面去探討問(wèn)題的破解，尋求合理有效的解題途徑與方法.在此過(guò)程中，要遵循化歸與轉(zhuǎn)化過(guò)程中的熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則、直觀化原則等一些基本原則.本文中結(jié)合實(shí)例，就解題過(guò)程中化歸轉(zhuǎn)化的基本解題策略加以剖析.

1 正向向逆向的轉(zhuǎn)化

問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論之間往往存在著一定的因果關(guān)系和辯證關(guān)系.具體解題時(shí)，若從問(wèn)題的正面入手切入時(shí)思維受阻，可以反其道，從它的反面出發(fā)，借助逆向思維，經(jīng)?？梢允斋@不錯(cuò)的效果，另辟捷徑.

例1 （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·5）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）.

A.12種

B.24種

C.36種

D.48種

所以甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48-24=24種.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：從正面入手，情況比較復(fù)雜，不易操作；合理轉(zhuǎn)化，從反面視角切入，確定“甲站在兩端”的不同排列方式，進(jìn)而利用補(bǔ)集思維進(jìn)行分析，處理起來(lái)更加直接有效.在破解一些涉及“不”“至少或至多”等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常借助補(bǔ)集思維，通過(guò)正向向逆向轉(zhuǎn)化來(lái)分析與處理.

2 局部向整體的轉(zhuǎn)化

問(wèn)題往往由局部與整體進(jìn)行合理有效的組合而形成，在解決一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以從總體角度加以把握，從整體入手，秉持全局觀念，不單打獨(dú)斗，往往會(huì)有不錯(cuò)的收獲.

例2 （2021年云南省玉溪市峨山一中高考數(shù)學(xué)三模試卷）為了給數(shù)學(xué)家帕西奧利的《神圣的比例》畫插圖，列奧納多·達(dá)·芬奇繪制了一些多面體，如圖1的多面體就是其中之一.它是由一個(gè)正方體沿著各棱的中點(diǎn)截去八個(gè)三棱錐后剩下的部分，這個(gè)多面體的各棱長(zhǎng)均為2，則該多面體外接球的體積為（）.

此時(shí)正方體的中心即為多面體外接球的球心.

而球心到多面體頂點(diǎn)的距離

故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：從條件入手直接利用多面體外接球的性質(zhì)來(lái)處理，不易找到突破口，容易出錯(cuò)；而把多面體還原補(bǔ)形為正方體，進(jìn)而確定正方體的中心即為多面體的外接球的球心，從局部還原到整體，合理化歸與轉(zhuǎn)化.從局部上升到整體，從另一個(gè)視角來(lái)分析，往往會(huì)有不錯(cuò)的效果.

3 未知向已知的轉(zhuǎn)化

類比化歸與轉(zhuǎn)化是知識(shí)遷移與學(xué)習(xí)能力提升的一種基本途徑.數(shù)學(xué)解題中，往往要抓住題目中已知關(guān)鍵信息，將未知的結(jié)論與已知的條件進(jìn)行類比轉(zhuǎn)化與類比推理，答案往往就在其中，巧中取勝.

點(diǎn)評(píng)：從平面中點(diǎn)到直線的距離公式這一已知信息入手，通過(guò)合理化歸與轉(zhuǎn)化，利用類比推理可得空間中點(diǎn)到平面的距離公式，化未知為已知，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與突破.類比推理往往可以實(shí)現(xiàn)低維度向高維度的化歸與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)未知向已知的過(guò)渡與轉(zhuǎn)變，突破界限.

4 抽象向具體的轉(zhuǎn)化

對(duì)于一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以結(jié)合抽象問(wèn)題的幾何意義或其他特征，合理具體化，構(gòu)建聯(lián)系，建立與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而啟迪解題思路，尋找解決問(wèn)題的突破口[1].

C.f（-1）=f（4）

D.g（-1）=g（2）

分析：依題意，通過(guò)特值法，探尋特殊的函數(shù)，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)均是偶函數(shù)，引入三角函數(shù)加以合理構(gòu)造.

而g（x）=f′（x）=πcos πx，則有g(shù)（2+x）=πcos（2π+πx）=πcos πx，故g（2+x）也是偶函數(shù).

因此，以上構(gòu)造的特殊函數(shù)f（x）滿足題目條件.

綜上分析，選項(xiàng)BC正確.故選擇答案：BC.

點(diǎn)評(píng)：由抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，構(gòu)建與之相應(yīng)的具體的特殊函數(shù)，實(shí)現(xiàn)抽象向具體的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用特殊函數(shù)進(jìn)行求值與判斷.構(gòu)建滿足題設(shè)條件的數(shù)學(xué)模型，是實(shí)現(xiàn)抽象向具體轉(zhuǎn)化的一種基本手段，也是破解數(shù)學(xué)小題比較常用的一種特殊技巧方法.

5 個(gè)別向一般的轉(zhuǎn)化

華羅庚說(shuō)過(guò)：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的決竅.”具體解題時(shí)，可以借助特殊現(xiàn)象的研究，再借助類比、分析、歸納、遷移等去概括一般性的規(guī)律，由此實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.

A.-3

B.-2

C.0

D.1

解析：令x=1，y=0，則有f（1）+f（1）=f（1）＼5f（0），結(jié)合f（1）=1，可得f（0）=2.

令y=1，可得f（x+1）+f（x-1）=f（x）f（1）=f（x），即f（x+1）=f（x）-f（x-1），

所以

f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-2，

f（4）=f（3）-f（2）=-1，f（5）=f（4）-f（3）=1，

f（6）=f（5）-f（4）=2，f（7）=f（6）-f（5）=1，歸納可知f（x）的周期為6.

故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，借助特殊賦值法處理，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)遞推關(guān)系式，利用前若干項(xiàng)函數(shù)值的求解，由個(gè)別到一般加以轉(zhuǎn)化，通過(guò)歸納來(lái)確定函數(shù)的周期性，進(jìn)而利用函數(shù)的周期性來(lái)分析與求解.歸納推理往往可以達(dá)到從個(gè)別到一般的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，也是破解問(wèn)題常用的一種推理方式.

著名的數(shù)學(xué)家、莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題.”在實(shí)際的數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，其實(shí)質(zhì)就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單、從抽象到具體等的轉(zhuǎn)化.合理熟練掌握一些基本的解題轉(zhuǎn)化策略，可以開拓?cái)?shù)學(xué)思維，優(yōu)化數(shù)學(xué)品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]王東.化歸轉(zhuǎn)化思想在三角恒等變換題型中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（15）：70-71.

[2]曾麗萍，王奇南.滲透數(shù)學(xué)思想 提升核心素養(yǎng)——以化歸與轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)為例[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（5）：28-30.