“二元一次不等式確定平面區(qū)域”方法的優(yōu)化探究

鄧志敏 繆詣欣

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如果能引領(lǐng)學(xué)生通過研究、討論、總結(jié)，形成一些簡捷、實(shí)用的方法或“二級(jí)結(jié)論”，將會(huì)對(duì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題提供有力的幫助.本文中嘗試在“簡單的線性規(guī)劃問題”中，傳授給學(xué)生一種快速確定二元一次不等式所確定的平面區(qū)域的辦法，力求貼近學(xué)生實(shí)際，便于有效理解、記憶和運(yùn)用.

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃問題；二元一次不等式確定的平面區(qū)域；“左右側(cè)判定法”

1 對(duì)教材意義的認(rèn)識(shí)

“簡單的線性規(guī)劃問題”是數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的典范，是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”思想和能力的重要理想素材.對(duì)于高中學(xué)子而言，簡單的二元變量線性規(guī)劃問題貼近生活實(shí)際，讓他們覺得數(shù)學(xué)“并不遙遠(yuǎn)”.而且，高中階段“線性規(guī)劃”問題一般涉及在一定條件下合理配置資源，為使某種目的達(dá)到最佳，統(tǒng)籌人力、物力等作出最優(yōu)決策而提供數(shù)學(xué)解決依據(jù).因此，該學(xué)習(xí)內(nèi)容能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的積極性，并在問題解決中獲得“成功體驗(yàn)”.該內(nèi)容能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)“函數(shù)”的理解，多角度鍛煉學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”能力，培養(yǎng)學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)”意識(shí)，是增強(qiáng)學(xué)生分析、解決問題能力的良好載體［1］.

2 問題的提出、解決及結(jié)論的推廣

2.1 問題的提出

關(guān)于二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的確定，以Ax+By+C>0或Ax+By+C<0，A2+B2≠0為例，一般有以下三種方法：

（1）取點(diǎn)判別法：直線定邊界，一點(diǎn)定區(qū)域，“合則在，不合則不在”.

（2）B符號(hào)判別法：直線定邊界，符號(hào)定區(qū)域，“同上異下”.

（3）A符號(hào)判別法：直線定邊界，符號(hào)定區(qū)域，“同右異左”.

其中后兩種判別法具體敘述如下：已知二元一次函數(shù)f（x，y）=Ax+By+C（A2+B2≠0）.

①B符號(hào)判別法：若B≠0，則有點(diǎn)P1（x1，y1）在直線Ax+By+C=0上方B與f（x1，y1）同號(hào)；點(diǎn)P1（x1，y1）在直線Ax+By+C=0下方B與f（x1，y1）異號(hào).

②A符號(hào)判別法：若A≠0，則有點(diǎn)P1（x1，y1）在直線Ax+By+C=0右側(cè)A與f（x1，y1）同號(hào)；

點(diǎn)P1（x1，y1）在直線Ax+By+C=0左側(cè)A與f（x1，y1）異號(hào).

良好的教學(xué)載體往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和深刻的教育內(nèi)涵.筆者對(duì)這部分內(nèi)容作了一些研究，在研究和教學(xué)實(shí)踐過程中一直思索如下三個(gè)問題：一是哪種方法更貼近學(xué)生實(shí)際？二是怎樣揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的思維，培養(yǎng)學(xué)生能力？三是怎樣讓學(xué)生快速、有效記憶數(shù)學(xué)知識(shí)和結(jié)論，以達(dá)到切實(shí)理解和準(zhǔn)確運(yùn)用？

2.2 問題的解決

方法：左右側(cè)判定法.

背景：在平面直角坐標(biāo)系中，一旦直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的位置確定，則直線把平面區(qū)域分為“左上、右下”和“左下、右上”兩大類情況，如圖1、圖2.

結(jié)論1 對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C>0或Ax+By+C<0（A2+B2≠0），

若A>0，則有：

不等式Ax+By+C<0表示的區(qū)域，在直線Ax+By+C=0的“左側(cè)”（含左上、左下）；

不等式Ax+By+C>0表示的區(qū)域，在直線Ax+By+C=0的“右側(cè)”（含右上、右下）.

背誦口訣：（在A>0的前提下）不等號(hào)小于零，區(qū)域在直線左側(cè)；不等號(hào)大于零，區(qū)域在直線右側(cè).簡稱“左小右大”！

證明及思維引導(dǎo)（以斜率為正的情況為例）：

設(shè)f（x，y）=Ax+By+C（A2+B2≠0）.

（1）在直線左側(cè)任取一點(diǎn)P1（x1，y1），則它離直線“有一小段距離”，想一想怎樣才能“刻畫或計(jì)算”這個(gè)距離？

（2）引導(dǎo)學(xué)生作直線y=y1交直線l于點(diǎn)P0，設(shè)P0的坐標(biāo)為（x0，y1），如圖3，則“距離”可以考慮用與“x1-x0”相關(guān)的式子來表示.

（3）進(jìn)一步思考，怎樣計(jì)算能夠出現(xiàn)“x1-x0”？

（4）由P0（x0，y1）在直線l上，則f（x0，y1）=0.

考慮f（x1，y1）=f（x1，y1）-f（x0，y1）

=（Ax1+By1+C）—（Ax0+By1+C）

=A（x1-x0）.

因?yàn)镻1（x1，y1）在直線l左側(cè)，所以x1-x0<0，而A>0，則f（x1，y1）-f（x0，y1）<0，

故f（x1，y1）＜0，即直線左側(cè)區(qū)域的點(diǎn)（x，y）

必滿足Ax+By+C<0.

因此A>0時(shí)，不等式Ax+By+C<0表示的區(qū)域在直線Ax+By+C=0的“左側(cè)”.

同理，若在直線右側(cè)取點(diǎn)，則x1-x0>0，由A>0，得f（x1，y1）-f（x0，y1）>0，

故f（x1，y1）＞0，即直線右側(cè)區(qū)域的點(diǎn)（x，y）必滿足Ax+By+C>0.

因此當(dāng)A>0時(shí)，不等式Ax+By+C>0表示的區(qū)域在直線Ax+By+C=0的“右側(cè)”.

2.3 結(jié)論的推廣

根據(jù)結(jié)論1不難得出直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)的值符號(hào)相同，異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)值符號(hào)相反，于是有如下結(jié)論：

結(jié)論2 已知二元一次函數(shù)f（x，y）=Ax+By+C（A2+B2≠0），則有：

①點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直線Ax+By+C=0同側(cè)f（x1，y1）·f（x2，y2）>0;

②點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直線Ax+By+C=0異側(cè)f（x1，y1）·f（x2，y2）<0.

證明略，可以留作學(xué)生思考.相信在結(jié)論1的基礎(chǔ)上，結(jié)論2很容易被學(xué)生接受.

3 方法對(duì)比和體會(huì)

“取點(diǎn)判別法”，即取特殊點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)值，判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系再確定平面區(qū)域.而“A，B符號(hào)判別法”需由A（或B）的符號(hào)與不等式的符號(hào)的異同來確定平面區(qū)域，其口訣“同上異下”“同右異左”的理解具有一定的難度.

相比之下，筆者認(rèn)為“左右側(cè)判定法”是對(duì)“A符號(hào)判定法”的深化和進(jìn)一步簡便，優(yōu)勢在于：

（1）從根本上避免了“取點(diǎn)判別法”和“A，B符號(hào)判別法”中代入求f（x1，y1）的計(jì)算過程；

（2）先將不等式（或直線）的系數(shù)A化為“正”，符合直線的“一般式方程”系數(shù)A為正的要求，以及學(xué)生的一般思維習(xí)慣；

（3）對(duì)于給定的二元一次不等式（組），要快速判定相關(guān)區(qū)域得到線性規(guī)劃問題的“可行域”只需兩步：①

在坐標(biāo)系中快速畫出直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）.②依據(jù)結(jié)論1的口訣“左小右大”，快速確定相關(guān)區(qū)域.

4 運(yùn)用舉例

解：在坐標(biāo)系中分別作出兩條直線（如圖4），

則x-3y+6<0表示的平面區(qū)域在直線x-3y+6=0（虛線）左上側(cè)，x-y+2≥0表示的區(qū)域在直線x-y+2=0（實(shí)線）的右下側(cè)，故可行域應(yīng)是圖中的陰影區(qū)域，且兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）.

設(shè)z=2x+y，得y=-2x+z，當(dāng)斜率為-2的直線經(jīng)過點(diǎn)（0，2）時(shí)，縱截距z最小，且

zmin=2×0+2=2.

故2x+y的取值范圍是（2，+∞）.

參考文獻(xiàn)：

［1］劉洪見.對(duì)二元一次不等式確定平面區(qū)域的探究［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（高考數(shù)學(xué)），2011（5）：59-60.