例談求解疊加電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的策略

■安徽省廬江二中 吳 欣

以孤立點(diǎn)電荷為場(chǎng)源產(chǎn)生的電場(chǎng)是最簡(jiǎn)單的靜電場(chǎng),設(shè)場(chǎng)源電荷的電荷量為Q,則在其產(chǎn)生的電場(chǎng)中距離它為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度。若場(chǎng)源不是單一點(diǎn)電荷,則求其產(chǎn)生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度就需要一定的技巧。下面歸納求解疊加電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的三種常見(jiàn)方法,供同學(xué)們參考。

一、矢量疊加法

若場(chǎng)源是多個(gè)點(diǎn)電荷,則電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。若場(chǎng)源是一個(gè)比較大的不能視為點(diǎn)電荷的帶電體,則可以采用微元法先將帶電體分成足夠小的若干小塊,將每一小塊視為點(diǎn)電荷,再用點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度疊加法計(jì)算帶電體產(chǎn)生電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)。該方法適用于多個(gè)任意電場(chǎng)在空間某點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)的求解。

例1如圖1 所示,真空中兩個(gè)等量異種點(diǎn)電荷固定在水平方向上的A、B兩點(diǎn),相距為r,若正點(diǎn)電荷固定在A點(diǎn),負(fù)點(diǎn)電荷固定在B點(diǎn),兩點(diǎn)電荷的電荷量大小均為Q,則下列判斷中正確的是( )。

圖1

A.兩點(diǎn)電荷連線中點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小為0

C.與兩點(diǎn)電荷相距均為r處的場(chǎng)強(qiáng)大小為,方向豎直向上

D.與兩點(diǎn)電荷相距均為r處的場(chǎng)強(qiáng)大小為,方向水平向右

解析:如圖2所示,設(shè)兩點(diǎn)電荷在其連線中點(diǎn)M處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為E1和E2,方向均由正點(diǎn)電荷指向負(fù)點(diǎn)電荷,則,根據(jù)矢量疊加法得其連線中點(diǎn)處的合場(chǎng)強(qiáng)大小,方向水平向右,選項(xiàng)A 錯(cuò)誤,B 正確。設(shè)兩點(diǎn)電荷在與其相距均為r處P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為E3和E4,兩矢量的夾角為120°,則與兩點(diǎn)電荷相距均為r處的合場(chǎng)強(qiáng)大小,方向平行于兩點(diǎn)電荷連線,且由正點(diǎn)電荷指向負(fù)點(diǎn)電荷,即水平向右,選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。

圖2

答案:B

二、對(duì)稱(chēng)補(bǔ)償法

若場(chǎng)源是非對(duì)稱(chēng)分布的不可視為點(diǎn)電荷的帶電體A,直接求其產(chǎn)生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度比較困難,則可以采用補(bǔ)償法先將不對(duì)稱(chēng)的帶電體A補(bǔ)上一個(gè)B,使其成為一個(gè)方便直接應(yīng)用定理或公式進(jìn)行求解的對(duì)稱(chēng)分布的帶電體A+B,且補(bǔ)上的B也是方便求解的,這樣帶電體A產(chǎn)生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度就等于帶電體A+B與B產(chǎn)生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度之差。

例2如圖3所示,A、B、C、D、E、F是半徑為r的圓周上等間距分布的六個(gè)點(diǎn),在這六個(gè)點(diǎn)上各固定一個(gè)點(diǎn)電荷,其中A點(diǎn)處點(diǎn)電荷的電荷量為+q,其余五個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量均為-q,則圓心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度為( )。

圖3

解析:設(shè)想在A點(diǎn)處同時(shí)放一個(gè)電荷量為-q的點(diǎn)電荷和一個(gè)電荷量為+2q的點(diǎn)電荷,代替原來(lái)電荷量為+q的點(diǎn)電荷,這樣圓周上對(duì)稱(chēng)分布的六個(gè)電荷量為-q的點(diǎn)電荷在圓心O處產(chǎn)生電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)E1=0,電荷量為+2q的點(diǎn)電荷在圓心O處產(chǎn)生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小,方向沿AO連線方向。根據(jù)矢量運(yùn)算法則可知,題設(shè)六個(gè)點(diǎn)電荷在圓心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小,方向沿AO連線方向。

答案:D

點(diǎn)評(píng):從對(duì)稱(chēng)性的角度分析物理過(guò)程,求解物理問(wèn)題,往往可以避開(kāi)冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)求解過(guò)程,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的。補(bǔ)償法的本質(zhì)就是通過(guò)巧妙補(bǔ)充,將不具有對(duì)稱(chēng)性的物理模型轉(zhuǎn)化為兩個(gè)具有對(duì)稱(chēng)性的物理模型,以便于一些物理定理或公式的直接應(yīng)用。

三、極限特殊值法

若疊加電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度用常規(guī)方法難以直接求解,而利用極限法把某個(gè)物理量推向極端求得特殊值,則可以根據(jù)特殊值合理推斷出一般結(jié)論。該方法一般適用于求解定性判斷型選擇題。

例3如圖4所示,一半徑為R的圓環(huán)上均勻地分布著電荷量為Q的電荷,在垂直于圓環(huán)平面的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P,它與環(huán)心O之間的距離為L(zhǎng)。已知靜電力常量為k,下列關(guān)于P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的四個(gè)表達(dá)式中有一個(gè)是正確的。請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí),通過(guò)分析判斷這個(gè)正確的表達(dá)式是( )。

圖4

解析:當(dāng)R=0時(shí),均勻帶電圓環(huán)等同于一個(gè)所有電荷量集中于環(huán)心O的點(diǎn)電荷,根據(jù)孤立點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算公式可知,P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小。將R=0 代入四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證,只有選項(xiàng)A、D 滿足。當(dāng)L=0時(shí),P點(diǎn)與O點(diǎn)重合,均勻帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)在環(huán)心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度E=0。將L=0代入A、D 兩選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證,只有選項(xiàng)D 滿足。

答案:D

點(diǎn)評(píng):利用極限特殊值法求解疊加電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí),需要先判斷哪些量是可以推向極端的,再確定可以推向的極端是趨于零還是趨于無(wú)窮大。本題中將R、L推向極值零,得出P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度,分別代入四個(gè)選項(xiàng)即可判斷哪個(gè)表達(dá)式是正確的。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖5所示,正方體的八個(gè)頂點(diǎn)處分別固定著電荷量為+q和-q的點(diǎn)電荷,正方體范圍內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)分別是( )。

圖5

A.體中心、各面中心和各邊中點(diǎn)

B.體中心、各頂點(diǎn)和各邊中點(diǎn)

C.體中心和各面中點(diǎn)

D.體中心和各邊中心

2.一半徑為R的半球面上均勻分布著電荷量為Q的正電荷,電荷Q在球心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小。把半球面分為表面積相等的上、下兩部分,如圖6甲所示,上、下兩部分表面所帶電荷在球心O處產(chǎn)生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小分別為E1、E2;把半球面分為表面積相等的左、右兩部分,如圖6乙所示,左、右兩部分表面所帶電荷在球心O處產(chǎn)生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為E3、E4。下列判斷正確的是( )。

圖6

3.如圖7 所示,一個(gè)內(nèi)、外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)狀均勻帶電平面,其單位面積帶電荷量為q。取環(huán)面中心O為原點(diǎn),以垂直于環(huán)面的軸線為x軸,設(shè)軸上任意點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離為x,P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,靜電力常量為k。下列關(guān)于E的四個(gè)表達(dá)式中只有一個(gè)是合理的。請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí),通過(guò)分析判斷這個(gè)合理的表達(dá)式是( )。

圖7

參考答案:1.C 2.D 3.B