例析帶電粒子在洛倫茲力作用下的多解問題

■重慶市巫溪縣中學(xué)校 劉顯平

不考慮重力的帶電粒子垂直射入勻強(qiáng)磁場中,帶電粒子在磁場中僅受洛倫茲力作用,將在與磁場方向垂直的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動。帶電粒子在洛倫茲力作用下運(yùn)動時,會因受諸多因素的影響,而出現(xiàn)多解。分析多解問題的關(guān)鍵是明確形成多解的原因,并全面分析符合題意的各種可能性,避免漏解。下面歸納四種因素導(dǎo)致的帶電粒子在磁場中的多解問題的求解策略,希望對同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考有所幫助。

一、因帶電粒子的電性不確定而導(dǎo)致的雙解問題的求解策略

電荷有正有負(fù),在題目未明確指出受洛倫茲力作用的粒子是帶正電還是帶負(fù)電的情況下,粒子以一定的初速度垂直射入勻強(qiáng)磁場后在垂直于磁場方向的平面內(nèi)將可能沿順時針方向做勻速圓周運(yùn)動,也可能沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動,這樣就會導(dǎo)致出現(xiàn)雙解。

例1如圖1 所示,在平面直角坐標(biāo)系Oxy的第一象限內(nèi)分布著垂直于紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一帶電荷量為q、質(zhì)量為m的粒子,以速度v沿與x軸正方向成30°角的方向,從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場中,不計粒子自身重力,則粒子在磁場中的運(yùn)動方向和運(yùn)動時間分別為( )。

圖1

A.粒子沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動,在磁場中的運(yùn)動時間為

B.粒子沿順時針方向做勻速圓周運(yùn)動,在磁場中的運(yùn)動時間為

C.粒子沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動,在磁場中的運(yùn)動時間為

D.粒子沿順時針方向做勻速圓周運(yùn)動,在磁場中的運(yùn)動時間為

解析:因為不知粒子所帶電荷是正還是負(fù),所以需要分兩種情況進(jìn)行討論。若粒子帶正電,則根據(jù)左手定則可知,它僅在洛倫茲力作用下沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動,其運(yùn)動軌跡如圖2 所示。根據(jù)幾何知識可知,粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡所對的圓心角θ1=120°。粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期,因此它在磁場中的運(yùn)動時間。若粒子帶負(fù)電,同理可知,它僅在洛倫茲力作用下沿順時針方向做勻速圓周運(yùn)動,其運(yùn)動軌跡如圖3 所示。粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡所對的圓心角θ2=60°,粒子在磁場中的運(yùn)動時間。

圖3

答案:AD

二、因磁場方向不確定而導(dǎo)致的雙解問題的求解策略

在題目只確定磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,而未明確指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向的情況下,帶電粒子以一定的初速度垂直射入勻強(qiáng)磁場后受到的洛倫茲力的方向?qū)⒆兊貌淮_定,這樣就會導(dǎo)致出現(xiàn)雙解。

例2如圖4所示,一帶電荷量為-q、質(zhì)量為m的電子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出)中繞固定的正電荷沿光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動。若勻強(qiáng)磁場方向垂直于電子運(yùn)動軌跡所在平面,且作用于電子的靜電力恰好等于洛倫茲力的2倍,不計電子自身重力,則電子做圓周運(yùn)動的角速度可能是( )。

圖4

解析:勻強(qiáng)磁場的方向可能垂直于紙面向里,也可能垂直于紙面向外,根據(jù)左手定則可知,電子在方向相反的兩種勻強(qiáng)磁場中受到的洛倫茲力方向也是相反的。在由固定的正電荷形成的電場中,電子受到的靜電力由電子所在位置指向正電荷。設(shè)軌道半徑為R,當(dāng)電子受到的洛倫茲力與靜電力方向相同時,根據(jù)牛頓第二定律得,解得,因此電子做圓周運(yùn)動的角速度。當(dāng)電子受到的洛倫茲力與靜電力方向相反時,根據(jù)牛頓第二定律得,解得,因此電子做圓周運(yùn)動的角速度。

答案:BD

三、因臨界狀態(tài)不唯一而導(dǎo)致的多解問題的求解策略

如圖5 所示,在長度為l的平行邊界MN、PQ之間分布著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,邊界MN、PQ之間的距離為d,當(dāng)帶電粒子從M、P兩點(diǎn)之間某一位置以某一初速度垂直于磁場方向飛入后,粒子在洛倫茲力的作用下可能從右側(cè)穿出磁場,也可能偏轉(zhuǎn)180°從左側(cè)穿出磁場,這樣就會導(dǎo)致出現(xiàn)多解。

圖5

例3如圖6 所示,足夠長平行邊界a、b之間分布著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁場的寬度為L。一帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子,以速率v0沿與邊界a成夾角θ的方向,從邊界a上的P點(diǎn)射入磁場中,不計粒子自身重力,求粒子從勻強(qiáng)磁場中射出所經(jīng)歷的時間。

解析:粒子既可以從邊界b射出,也可以從邊界a射出,需要分兩種情況進(jìn)行討論。根據(jù)帶電粒子所受洛倫茲力提供它做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力得,解得。若粒子恰能從邊界a射出,則粒子的運(yùn)動軌跡如圖7 所示,根據(jù)幾何關(guān)系得L=R(1+cosθ)。因此當(dāng)時,粒子將從邊界a射出,所經(jīng)歷的時間,又有,解得。當(dāng)時,粒子將從邊界b射出。若粒子從邊界b射出,則粒子的運(yùn)動軌跡如圖8 所示,根據(jù)幾何關(guān)系得L=R(cosθ+sinβ),粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡所對的圓心角,粒子從勻強(qiáng)磁場中射出所經(jīng)歷的時間,且。

圖7

圖8

四、因運(yùn)動具有周期性而導(dǎo)致的多解問題的求解策略

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做周期性的勻速圓周運(yùn)動,或在周期性變化的磁場中做往復(fù)運(yùn)動,都將會導(dǎo)致出現(xiàn)多解。求解因運(yùn)動具有周期性而導(dǎo)致的多解問題,可以借助分析第一個周期內(nèi)粒子的運(yùn)動規(guī)律,找到周期性運(yùn)動的通解,以及需要滿足的限定條件,進(jìn)而將通解變?yōu)橛邢迋€解或單一解。

例4如圖9甲所示,間距為l的M、N兩塊平行金屬板豎直放置,兩金屬板中央各有一個小孔O、O',兩小孔正對。兩金屬板間分布著垂直于紙面方向的磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的變化規(guī)律如圖9乙所示。一群質(zhì)量為m、帶電荷量為-q的粒子在t=0時刻垂直于磁場方向從小孔O射入磁場,已知負(fù)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期相同,均為T0。不考慮因磁場變化而產(chǎn)生的電場影響,不計粒子自身重力和粒子之間的相互作用。

圖9

(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大小。

(2)要使負(fù)粒子從小孔O'垂直于N板射出磁場,求負(fù)粒子射入磁場時的速度v0的可能值。

解析:設(shè)垂直于紙面向外的磁場方向為正方向,兩金屬板間的距離l足夠大,則粒子在t=0時刻垂直于M板從小孔O射入磁場后,將在時間內(nèi)沿逆時針方向做周的勻速圓周運(yùn)動,在時間內(nèi)沿順時針方向做周的勻速圓周運(yùn)動,在時間內(nèi)沿逆時針方向做周的勻速圓周運(yùn)動,然后重復(fù)0～T0時間內(nèi)的運(yùn)動。

(1)負(fù)粒子在磁場中僅受洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動,設(shè)粒子的運(yùn)動速度為v,運(yùn)動軌跡半徑為R,根據(jù)洛倫茲力提供向心力得,又有負(fù)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期,解得。

(2)根據(jù)負(fù)粒子在磁場中的運(yùn)動規(guī)律可知,要使負(fù)粒子從小孔O'垂直于N板射出磁場,則它射入磁場時的速度v0的方向如圖10所示,若負(fù)粒子在兩金屬板之間只完成一個周期T0內(nèi)的運(yùn)動就從小孔O'垂直于N板射出磁場,則,又有,,解得。若負(fù)粒子在兩金屬板之間完成n個周期nT0內(nèi)的運(yùn)動再從小孔O'垂直于N板射出磁場,則,解得。綜上,滿足題意的負(fù)粒子射入磁場時速度的可能值。

圖10

總結(jié):帶電粒子在洛倫茲力的作用下會受不同因素的影響而出現(xiàn)多解問題,求解帶電粒子的多解問題時,需要先根據(jù)已知條件,確定形成多解的原因,再根據(jù)粒子的運(yùn)動規(guī)律,作出粒子的運(yùn)動軌跡示意圖,全面考慮滿足題目條件的多種可能性,最后根據(jù)粒子滿足的物理規(guī)律列式求解。