反磁剪切托卡馬克等離子體中低頻剪切阿爾芬波的理論研究*

馬瑞瑞 陳騮 仇志勇

1) (核工業(yè)西南物理研究院,成都 610041)

2) (浙江大學物理系,杭州 310027)

3) (加州大學歐文分校物理與天文學系,加州 CA 92697-4574)

位于動理學熱離子帶隙附近的低頻阿爾芬擾動因可以與高能量粒子或背景熱粒子發(fā)生相互作用而引起了廣泛的關注.本文在一般魚骨模色散關系的理論框架下,針對反磁剪切托卡馬克等離子體中觀測到的由高能量粒子或者背景熱粒子激發(fā)的低頻剪切阿爾芬波的線性特性進行了一系列的理論研究.由于這些低頻剪切阿爾芬波與2019 年DIII-D 開展的專門研究高能量離子驅動低頻不穩(wěn)定的實驗密切相關,因此本文通過采用DIII-D 具有代表性實驗的平衡參數,證明了實驗上觀測的低頻模和比壓阿爾芬本征模分別是以阿爾芬極化為主的反應型和耗散型不穩(wěn)定模,因此,將前者稱為低頻阿爾芬模更準確.由于受逆磁和捕獲粒子動理學效應的影響,低頻阿爾芬模既可以在低頻區(qū)(頻率小于熱離子的渡越或反彈頻率)與比壓阿爾芬聲模耦合,又可以在高頻區(qū)(頻率大于或近似等于熱離子的渡越頻率)與比壓阿爾芬本征模耦合.此外,由于受到不同激發(fā)機制的影響,與局域在安全因子最小值有理面附近的低頻阿爾芬模相比,驅動比壓阿爾芬本征模的高能量離子的壓強梯度在偏離安全因子最小值的有理面時達到最大值,相應的比壓阿爾芬本征模的本征函數在高能量離子驅動最大的徑向位置處出現(xiàn)峰值.通過改變安全因子最小值理論上重現(xiàn)了實驗上觀測的比壓阿爾芬本征模和低頻阿爾芬模的上升頻譜特征.研究還表明,比壓阿爾芬聲模由于受到強烈的朗道阻尼,因而很難被高能量粒子激發(fā),這與基于第一性原理的理論預測和模擬結果一致.本文證明了一般魚骨模色散關系在解釋和預測實驗和數值模擬結果方面的強大能力.

1 引言

高能量粒子(energetic particle,EP)在聚變等離子體中的約束特性對決定當前和未來接近或在反應堆參數區(qū)間運行的托卡馬克的性能具有重要意義.例如,為了點燃氘-氚(D-T)等離子體,必須對在D-T 聚變反應中產生的阿爾法粒子進行良好的約束.同樣地,在射頻或中性束注入實驗中產生的高能量離子也必須受到良好的約束才能成功地實現(xiàn)等離子體加熱和/或電流驅動.盡管目前基于庫侖碰撞理論對EP 約束性的評估是可行的,但這一理論仍然存在嚴重的問題,問題主要來自于由EP 激發(fā)的集體振蕩所引起的EP 的反常輸運損失.這是由于攜帶著足夠強的來自壓強梯度自由能的EP,其特征頻率(例如渡越/反彈頻率)與剪切阿爾芬波(shear Alfvén wave,SAW)的頻率在同一量級(均在MHz 范圍內),并且SAW 的群速度與磁場平行,因此通過波-粒共振相互作用,可以直接激發(fā)多種SAW,并引起EP 的反常輸運.在聚變裝置中,由于磁場和等離子體的不均勻性,使得各種阿爾芬本征模(Alfvén eigenmode,AE)存在于SAW 連續(xù)譜的帶隙中.這些AE 因不受連續(xù)譜阻尼的影響,很容易被EP 激發(fā),因此通常被認為是EP 輸運的主要因素[1].

在這些由不同效應引起的AE 中,其中由有限比壓引起的阿爾芬本征模(beta-induced Alfvén eigenmode,BAE)存在于由熱等離子體可壓縮效應產生的間隙中[2,3].自首次觀測到BAE 以來[2,3],動理學熱離子帶隙頻率[4]范圍內的低頻阿爾芬波譜一直是人們研究的熱點.這些模的頻率(ω)與熱離子逆磁頻率(ω?pi)同一量級,且與熱離子渡越(ωti)和/或反彈(ωbi)頻率相當,因而可以與背景熱粒子和EP 發(fā)生相互作用[1,5-9].由這種相互作用引起的有限電磁擾動和帶狀場結構會對相應粒子的輸運過程產生正面或負面的影響[1,4,10].這類低頻SAW 擾動包括但不局限于: 考慮了有限逆磁漂移效應的動理學氣球模(kinetic ballooning mode,KBM)[11-13]、由熱離子可壓縮性而引起的BAE[2,3]、由動理學熱離子可壓縮性及波-粒共振效應引起的阿爾芬的離子溫度梯度(Alfvénic ion temperature gradient,AITG)模[6,14]、以及由兩個邊帶聲模相互耦合再與SAW 耦合而產生的比壓阿爾芬聲模(betainduced Alfvén acoustic eigenmode,BAAE)[15,16].對于這些低頻SAW,由于熱等離子體的可壓縮效應會對其色散關系產生重要的修正,因此,低頻SAW 的線性性質往往與已被廣泛研究的環(huán)向阿爾芬本征模(toroidal Alfvén eigenmode,TAE)[17]和反磁剪切阿爾芬本征模(reversed shear Alfvén eigenmode,RSAE)[18,19]等高頻阿爾芬本征模的線性性質不同.一般地,包含任何熱粒子動理學效應的由高能量粒子激發(fā)的Alfvén 波的不穩(wěn)定性,均可以在由Zonca 和Chen[20,21]發(fā)展的一般類魚骨模色散關系(general fishbone-like dispersion relation,GFLDR)的理論框架下進行統(tǒng)一的描述.GFLDR 是類比磁流體能量原理的推導方法,將描述波色散關系的式子表示為類能量形式的方程.它首先要求擾動量在空間上存在兩個徑向尺度,然后采用模分解[22]和WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)[23,24]漸進匹配的方法將渦量方程表示成能量函數的形式.該理論已成功用于魚骨模、有限磁剪切下BAE 等相關實驗的解釋和模擬的驗證[25-27].在動理學處理中,低頻SAW 連續(xù)譜的極化可以迅速變化,模之間的耦合對熱離子的溫度和密度的比值以及熱離子逆磁頻率與渡越頻率的比值非常敏感[5,28].因此,與低頻間隙相關的各種特征頻率變得非常重要.例如,通行粒子共振條件取決于渡越頻率,而捕獲粒子的共振條件取決于反彈頻率和環(huán)向進動頻率.為了直觀地說明與低頻間隙相關的特征頻率對低頻SAW 連續(xù)譜的影響,我們采用GFLDR 理論[5,7,14,20,21,29,30]畫出了環(huán)向模數n=3、極向模數m=4—8 的低頻SAW 和聲波分支的連續(xù)譜,結果如圖1 所示.這里采用了DIIID 第#178631 次放電在1200 ms 的平衡剖面.其中圖1(a1)—(c1)的連續(xù)譜包含了逆磁效應和熱通行離子可壓縮效應,以及通過波-熱離子相互作用和逆磁效應而產生的漂移阿爾芬波和漂移波邊帶模的耦合[7].因此,該連續(xù)譜可以描述模頻率滿足 |ωbi|＜ω|＜|ωA| (ωA代表Alfvén 頻率)的低頻模.圖1(a2)—(c2)則包含了逆磁效應與熱通行和熱捕獲離子的可壓縮效應,能夠描述更低頻(0＜|ω|＜|ωA|)的SAW分支[5,8,28].根據GFLDR,我們可以通過模的頻率(Re(ω/ωti))(a)、增長率(Im(ω/ωti))(b)和極化性質(|Sf|)(c)對各種分支進行分類,這一點將在下文詳細闡述.這里要強調的是,通過對比圖1(a1)—(c1)和圖1(a2)—(c2)可知,捕獲粒子的動理學效應對相對高頻的BAE 的連續(xù)譜無明顯影響,而對低頻的BAAE 和KBM的連續(xù)譜(如頻率、增長率及極化性質)產生了重大的影響.

圖1 n=3,m=4—8 的 低頻SAW 和聲波分支的連續(xù)譜,此處采用了DIII-D 第#178631 次放電 在1200 ms 的平衡分布(a1)—(c1)考慮了逆磁效應和熱通行離子可壓縮效應,以及通過波-熱離子相互作用和逆磁效應而產生的漂移阿爾芬波和漂移波邊帶模的耦合[7]的低頻SAW連續(xù)譜;(a2)—(c2)包含了逆磁效應與熱通行和熱捕獲離子的可壓縮效應[5,8,28]Fig.1.Continuous spectra of low-frequency shear Alfvén and acoustic branches for n=3,m=4-8: (a1)-(c1)Considering the diamagnetic effects and thermal ion compressibility as well as drift Alfvén wave and drift wave sideband coupling via the wave thermal-passing-ion interaction and diamagnetic effect[7];(a2)-(c2) considering the diamagnetic effects and the rmalion compressibility (well passing and deeply trapped particle dynamics)[8,28].The equilibrium profiles of DIII-D #178631 at 1200 ms are adopted.

最近關于EP 對這些低頻SAW 影響的實驗和模擬研究涵蓋了最新開發(fā)的創(chuàng)新診斷方法對實驗測量的解釋和建模[31-35],以及在將數值研究和/或模擬結果與觀察到的現(xiàn)象進行比較方面的最新進展[28,36-40].尤其是2019 年Heidbrink等[33-35]在DIII-D 上進行的一系列實驗專門研究了低頻SAW的不穩(wěn)定性.這些實驗中發(fā)現(xiàn): 之前被識別為DIIID 中由高能量離子驅動的低頻BAAE 不穩(wěn)定性其實與高能量離子的驅動無關,而且這種環(huán)向模數n=3—12的不穩(wěn)定性強烈地依賴于電子的參數(如電子溫度Te及其梯度),其頻率與離子逆磁頻率相當,并低于BAAE 的帶隙中心.此外,在Te≥2.1 keV且比壓β 值適中的實驗條件下,這類低頻模呈現(xiàn)出“圣誕彩燈”和“山峰”的頻譜特征,即: 這種低頻模與安全因子q的演化有關,局域在安全因子最小值qmin的徑向位置附近,并在qmin接近有理數時出現(xiàn).針對這種現(xiàn)象,陳騮[41]首次從理論上預測: 這一低頻模并不是通常所指的BAAE,而是一種與高能量離子激發(fā)無關的反應型不穩(wěn)定性.關于反應型不穩(wěn)定性的描述,將在下文進行直觀且詳細的闡述(圖6).現(xiàn)在起將低頻模稱為低頻阿爾芬模(LFAM),它屬于以阿爾芬極化為主的低頻SAW.請注意,這個術語與DIII-D 實驗中觀察到的低頻模(low-frequency mode)相同[33].此外,在DIII-D實驗研究中還發(fā)現(xiàn),當注入平行方向的中性束注入(neutral beam injection,NBI)時,除了以上的LFAM 不穩(wěn)定性外,還觀測到了由高能量離子共振激發(fā)的、且不穩(wěn)定性對NBI 的功率和注入方向非常敏感的BAE.這里為了方便讀者閱讀,選取文獻 [34]中典型的實驗結論,如圖2 所示,其中圖2(a)為布局在DIII-D 大半徑R=192—201 cm之間的ECE 通道的互功率譜圖;圖2(b)為EFIT重建得到的qmin與時間的關系.其中頻譜圖中所示的不同符號分別對應不同m/n值的不同模式:RSAE(?),BAE(?)及LFAM(□).這些不穩(wěn)定的高頻BAE 和LFAM 均出現(xiàn)在qmin附近,并且它們的頻譜特征隨著環(huán)向模數的增加呈現(xiàn)出上升的趨勢,而且相鄰環(huán)向模數的模頻率近似被環(huán)向旋轉頻率(frot)分隔.這些高頻的BAE 和低頻的LFAM之間的細微差別在于: 對于LFAM 而言,當qmin為有理值時,LFAM 才被觀測到;此外,ECE 測得的模結構也局域在qmin的徑向位置.BAE 雖也出現(xiàn)在當qmin接近有理數時,但其不穩(wěn)定性發(fā)生的時間不如LFAM 精確.此外,與LFAM 相比,BAE 的本征函數在空間上偏離qmin的徑向位置.針對以上實驗觀察,基于第一性原理的數值模擬已對BAE和LFAM 的線性性質進行了大量的模擬研究[40,42],但上述實驗現(xiàn)象仍未得到完全解釋.引用與Heidbrink 教授討論問題時的原話“That question has troubled me since2019when we did the experiment:why do these modes that seem so similar(in some ways)differ so much inothers?”.因 此,本文將基于GFLDR 的理論 框架[5,20,21,25,43-46],從理論上提供對DIII-D 實驗觀測和數值模擬中低頻SAW 不穩(wěn)定性的本質和主要特征(如LFAM,BAE 及BAAE 穩(wěn)定性和極化)的分析;同時也再次驗證GFLDR 理論框架的預測能力及其對實驗和數值模擬結果的解釋能力[20,21].

圖2 Heidbrink等[34]對DIII-D 參考炮數#178631 分析的實驗結果 (a)布局在大半徑R=192—201 cm 之間的ECE 通道 的互功率譜 圖;(b) EFIT 重建得到 的 qmin 與時 間的關系.其中頻譜圖上所示的不同符號分別對應不同m/n值的不同模式: RSAE(?),BAE(?)及LFAM(□)Fig.2.The DIII-D experimental results from Ref.[34] by Heidbrink et al.:(a)Cross-power spectrogram in the reference shot for ECE channels between192-201 cm;(b) measured qmin from EFIT reconstructions vs.time.The RSAE(?),BAE(?),and LFAM(□) symbols represent the values of m/n shown on the spectrogram.

本文從不考慮[47]以及考慮EP[48]的效應來研究低頻SAW 的線性特征.在這種情況下,不同種類粒子的動理學效應將通過其壓強特征尺度線性地進入低頻SAW 的色散關系并影響其行為.對于DIII-D 第178631 次放電,圖3 所示為熱粒子和高能量粒子的壓強特征尺度(LPth和LPE),以及在弱和/或零磁剪切情況下(|s|=|(r/q)(dq/dr)|? 0.05)模的寬度(Δm)的徑向依賴關系.這里,r為沿著小半徑方向的徑向位置.具體而言,EP 的壓強分布由“弛豫的(relaxed)”EP 剖面和“經典的(classical)”EP 剖面這兩種極限情況給出.“弛豫的”EP 剖面由EFIT[49]重建提供,其中快離子的壓強是通過計算平衡壓強與熱粒子壓強之差得到的.另一種由TRANSP/NUBEAM[50]給出,是指在考慮由不穩(wěn)定性引起的快離子輸運的情況下得到的“經典的”EP 分布.對于這兩種極限情況,EP 的壓強特征尺度分別由LPE;rel和LPE;cl表示.當模失穩(wěn)時,真實的EP分布可能介于這兩個極限之間,且最接近基于EFIT獲得的結果.在弱和/或零磁剪切區(qū)域,對于給定的環(huán)向和極向模數 (n,m),其歸一化平行波矢ΩA,m=k//n0qminR=nqmin-m,模的徑向度可以用Δm ?1/|nq''|1/2[45,46]來估算.這 里,k//n0表 示在r0處的平行波矢,其中q剖面具有最小值并由qmin給出,q''表示q在徑向上的二次導數,R是托卡馬克的大半徑.由圖3 可知,在弱和/或零磁剪切的區(qū)域,LPth?Δm.這一關系通常對應于將全局問題簡化為求解模的局域色散關系的前提條件.因此,對于與高能量粒子激發(fā)無關的LFAM 的分析,可以通過求解低頻SAW 的局域色散關系來處理[47].然而,對于高能量離子驅動的BAE,需要討論兩種不同的情況[48]: 一種是在適中的EP 壓強梯度下,即仍有＞Δm的關系,這種情況可近似通過求解局域的GFLDR[5,20,21,25,43-46]來研究EP激發(fā)的BAE 的性質;另一種是當系統(tǒng)中存在強的EP 壓強梯度時,則有?Δm,對于這種情況,需要求解低頻SAW的全局色散關系.關于這部分的討論將在理論模型中具體展開.

圖3 熱粒子和高能量粒子壓強特征尺度(和),以及在弱和/或零磁剪切(s=rq'/q)情況下模寬度(Δm)的徑向依賴關系Fig.3.Radial dependences of the typical scale lengths of thermal and energetic particle pressure ( and ),magnetic shear (s) as well as the estimated radial mode width (Δm).

本文的結構如下: 首先,第2 節(jié)討論弱磁剪切和/或零磁剪切附近低頻SAW 的局域和全局色散關系,這些色散關系的選取取決于LP和Δm的相對大小;緊接著,第3 節(jié)詳細討論不包含及包含EP 效應的低頻SAW 的數值結果和相應的理論分析,并進一步與實驗結果進行比較;最后第4 節(jié)對本文進行總結和討論.

2 理論模型

本節(jié)將討論具有弱反磁剪切DIII-D 放電中低頻SAW 的色散關系.正如第1 節(jié)所討論的,我們將依據LPth及LPE與Δm的相對大小,討論以下兩種情況來研究低頻SAW 的穩(wěn)定性.情況Ⅰ: 不考慮EP 的作用(LPth?Δm)以及考慮適中EP 梯度(LPE;rel＞Δm)情形下,描述低頻SAW 的局域GFLDR 模型;情況Ⅱ: 考慮強EP 壓強梯度(LPE;cl≈Δm)情形下,適用于描述低頻SAW 的全局GFLDR模型.

2.1 局域模型

其中,Λn(ω) 為廣義的慣性項,它既包括逆磁效應,也包括通行熱粒子和捕獲熱粒子的動理學效應.關于Λn(ω) 的具體推導請參考文獻 [8].這里將主要結果總結于附錄A 中以方便讀者閱讀.此外,方程(1)的右邊包含了對理想區(qū)域勢能的“流體”和“動能”貢獻.對于低頻模?1),與頻率無關,考慮圓截面近似并采用(s,α)模型[52],則的表達方程可表示為

這里需要注意的是,方程(1)的中括號的第一項代表在r=r0處有限的k//n0qminR,它來自有限的場線彎曲效應,并在方程中起著重要的穩(wěn)定作用[20,21,25].此外,通過Sf≡(iδE///k//)a.c./δφd.c.來定義模的極化.這里的 a.c.和 d.c.分別對應于平行電場、波矢和標勢擾動的正弦分量和幾乎恒定的分量.Sf的詳細表達方程也在附錄A 中給出.根據文獻 [8,28,51]中的討論,|Sf| 的值遠遠小于1,表示模具有SAW 的極化特征;而 |Sf| 的值與1 可比擬或大于1 則代表模具有離子聲波的極化特征.

當粒子壓強特征尺度與模的徑向寬度可以很好區(qū)分開時,我們得到了描述低頻SAW 的局域GFLDR,即方程(1).進一步,可以借助數值方法研究方程(1)中涉及的各項,來描述實驗觀測和模擬中低頻SAW 的基本物理.然而,在強EP壓強梯度存在的情況下,如上述討論的情況Ⅱ,此時描述低頻SAW 的局域GFLDR 將不再適用,需要借助全局的GFLDR 來處理.

2.2 全局模型

求解常微分方程(4)一般需要借助數值方法.然而,對于DIII-D 的情形,如圖4 中的黑色曲線所示的“經典”分布下高能量離子歸一化壓強梯度的徑向關系,它可以用紅色曲線所示的解析方程αE(ρ)=c1[1-(ρ-c2)2/]來很好地擬合.這里c1=0.7099,c2=0.3018,c3=0.2944.這一方法使得我們可以解析得到描述低頻SAW 的全局色散關系.需要注意的是,高能量離子的最大驅動位于ρ=c2=0.3018 附近,它偏離了qmin的徑向位置.此外,方程(3)中αE為r的函數:

圖4 “經典”EP 分布下EP 歸一化壓強梯度的徑向關系.其中紅線是解析擬合曲線,qmin 的歸一化徑向位置為ρ0≡r0/a=0.28Fig.4.Radial dependence of the normalized pressure gradient of EPs with the classical profile.Here,the normalized radial position of qmin is ρ0 ≡r0/a=0.28.

其中δa=c1/αE0,δb=r0-c2a,a為等離子小半徑,δc=c3a/LPE;cl,αE0和LPE;cl表示在r=r0的值.

進一步,引入變量代換x=r-r0=σz-Δb,則方程(4)可進一步簡化為

則由方程(7)可導出描述低頻SAW 的全局色散關系:

式中的正整數L表示徑向本征模數.相應的本征函數為

其中,HL(z) 表示L次厄密多項方程.對于離散模,其因果限制條件要求 Re(σ2)＞0 ;這里的σ2由方程(7)中的第二個方程求解,且滿足色散關系——方程(8).此外,δφm(r) 的典型徑向寬度w則由w2=4σ2給出.

方程(1)和方程(8)組成了本節(jié)理論模型的主要結論,即由高能量離子激發(fā)的低頻SAW 的局域和全局的GFLDR.根據各項的具體表達式,就可以計算方程中的各項,分析它們對色散關系的影響,進而研究實驗觀察到的低頻SAW 的線性性質.

3 數值結果與分析

本節(jié)將分別給出低頻SAW 局域的和全局的GFLDR 的數值結果,其色散關系分別由方程(1)和方程(8)給出.

這里的數值研究采用了如圖5 所示的DIIID 第#178631 次 放電t=1200 ms 的 平衡分布[33],其中q剖面具有反磁剪切的位形,并在r0/a=0.28時具有最小值qmin=1.37.此外,在 1050 ms＜t ＜1350 ms 的時間窗口內,qmin從1.49 降至1.18,具體可參考文獻 [33]中的圖6(b).此處應注意,快粒子的溫度是通過慢化分布快粒子的平均動能定義的等效溫度.

圖5 DIII-D 第#178631 次放電的(a)溫度和q 的徑向分布,(b)密度的徑向分布,以及(c)環(huán)向磁場 Bt 和環(huán)向旋轉頻 率 frot 的徑向分布Fig.5.Radial profiles of (a) temperature and q,(b) density and (c) Bt as well as toroidal rotation frequency frot of DIII-D shot #178631 used for numerical studies.

圖6 在不包含EP 效應的情況下,低頻SAW 的(a)頻率、(b)增長率和(c)極化性質對 Ω?pi ≡ω?pi/ωti 的依賴關系Fig.6.Dependence of (a) mode frequencies,(b) growth rates and (c) polarization of modes onΩ?pi ≡ω?pi/ωti without EP effect.

3.1 局域數值結果和分析

首先研究局域低頻SAW 的線性性質,即情況Ⅰ.在數值研究中所采用的局域平衡參數均在qmin的徑向位置r0/a=0.28 處取值:S=0.5895,τ=Te/Ti=3.86 keV/2.37 keV=1.62,ne=3.80×1019m-3,ni=3.19×1019m-3,εr=r0/R=0.10,βi≈0.01,εni=Lni/R=0.414,ηi=Lni/LTi=0.8324,ω?ni/ωti=0.1919,(m,n)=(8,6),kθρLi=0.2555,kθρLe=0.0054.此外,其他固定的平衡量為:a=0.64 m,等離子體磁軸處的大半徑R0=1.74 m,B0=1.8 T.這里的kθ為極向波數,ρLi和ρLe分別是熱離子和熱電子的拉莫爾半徑.

首先,研究低頻SAW 在不考慮EP 效應時的(a)模頻率、(b)增長率和(c)模極化對歸一化熱離子逆磁頻率Ω?pi≡ω?pi/ωti的依賴關系,如圖6 所示.根據模頻率和 |Sf| 的值,可將圖中的3 個分支分類為: 1) KBM (用圓圈標記的紅色曲線),且ω ∝ω?pi;2) BAE 及其諧波分支BAE1和BAE2 (藍色曲線),頻率接近MHD 極限值ω/ωti=qmin≈2.51;3) BAAE (用鉆石標記的綠色曲線),頻率約為BAE 的一半,并經歷強的朗道阻尼.此處需要注意的是,BAE1 和BAE2 均是BAE 諧波的分支,它們來自于慣性項Λn(ω) (方程(A1))中的超越函數,由于不同的平行模結構,它們通常具有更強的朗道阻尼,因此需要更多的自由能來激發(fā).由圖6可知,即使在不考慮EP 效應的情況下,KBM 在低頻區(qū)和高頻區(qū)都不穩(wěn)定(見圖6(b)中紅色曲線).隨著ω ∝ω?pi的增加,KBM 的頻率先增大,然后約在Ω?pi=0.75 附近與強阻尼的BAAE 耦合,兩者發(fā)生耦合后BAAE 的阻尼明顯減弱.隨著Ω?pi的進一步增大,KBM 的頻率也隨之增加,不穩(wěn)定的KBM 與強阻尼的BAE2 (如圖6(a)和圖6(b)中帶“ × ”標記的藍色曲線所示)耦合,同時降低了BAE2 的阻尼率,相應的頻率和增長/阻尼率呈現(xiàn)出典型的復共軛特征,這是線性反應型不穩(wěn)定性的一個基本特征[54,55].請注意,在這種情況下,KBM的頻率始終隨Ω?pi而變化.此外,圖6(c)所示的極化曲線表明,BAAE 具有SAW 和聲波混合的極化特征;而BAE 和KBM 本質上都是SAW的極化.這里需要指出,所謂的反應型不穩(wěn)定性涉及兩種振蕩模方程的耦合: 一種是正能波,另一種是負能波.正、負能波的定義為: 如果用D(ω,k)=Dh(ω,k)+iDa(ω,k) 表示模方程的色散關系,其中Dh和Da分別表示色散關系中的厄米和反厄密分量,那么正能波滿足?(ωrDh)/?ωr＞0 ;負能波滿足?(ωrDh)/?ωr＜0.其中ωr代表模的實頻.在不穩(wěn)定的臨界點(如方程(13)所討論的),這兩支正負能波之間發(fā)生能量交換而簡并,沒有任何凈能量轉移到等離子體介質中.

進一步研究了EP 對低頻SAW 穩(wěn)定性的影響.為了便于對比,畫出了包含EP 效應和不包含EP 效應的數值結果,如圖7 所示,其中虛線代表無EP 效應,而實線代表包含EP 效應.EP 對低頻SAW 穩(wěn)定性的影響由圖7(b)中紫色曲線所示的區(qū)域標出,可以明顯看出: KBM 在沒有EP 的情況下是唯一不穩(wěn)定的模,而KBM 和BAE在有EP 存在時,在低頻區(qū)域同時不穩(wěn)定.根據實驗參數計算出的離子逆磁頻率為Ω?pi;exp=0.3517,如圖7(b)的垂直虛線所示.在這種情況下,方程(1)在離子逆磁頻率方向上根的分布如圖8 所示,其中橫軸和縱軸分別表示根的實頻和增長/阻尼率.圖8 再次表明: 在EP 存在的情況下(如圖8(b)所示),KBM 和BAE 都是不穩(wěn)定的.經計算,在等離子體框架下KBM 和BAE 的頻率分別為5.6 kHz和63.7 kHz;該理論預測結果與實驗觀測結果一致.此外,圖7(c)所示的極化曲線表明: 對于KBM和BAE,其|Sf|?0.1,這表明KBM 和BAE 本質上是SAW 極化的模.

圖7 在不包含(w/o)和包含(w/)EP 效應情況下,低頻SAW 的(a)頻率、(b)增長率和(c)極化性質對Ω?pi ≡ω?pi/ωti 的依賴關系.圖中所示的垂直虛線表示 Ω?pi;exp 的實驗值,約為0.35Fig.7.Dependence of the (a) real frequencies,(b) growth rates and (c) polarization of the low-frequency SAWs on Ω?pi ≡ω?pi/ωti for the cases without (w/o) and with (w/)EP effects.Here,a dashed vertical line represents the experimental value of Ω?pi;exp of about 0.35.

圖8 (a)無EP 效應和(b)有EP 效應的情況下,色散關系方程(1)在復平面上的本征值分布Fig.8.Eigenvalues of the dispersion relation Eq.(1) in the complex-ω plane for the cases (a) without and (b) with EPs

值得注意的是,與對EP 效應不敏感的頻率相比,在有和沒有EP 效應的情況下,KBM 的增長率發(fā)生了顯著的變化.這是因為在本文的理論模型中,EP 的絕熱和對流貢獻通過α 修改了 δW?f的值,如方程(2)所示.在這一點上,為了獲得更加令人信服的理論預測和實驗觀測的對比,有必要提供更精確的理論模型和更全面的實驗分析.這里還應注意到,即使在足夠強的Ω?pi效應下,BAAE由于逆磁和捕獲粒子效應而與KBM 耦合變得弱阻尼,但BAAE 的穩(wěn)定性和性質仍不受高能量離子的影響,如圖7 中帶有符號(沒有EP 效應)的綠色虛線和帶有符號(具有EP 效應)的實線所示,它們在3 個圖中顯然是重疊的.此外,從圖8 中根的分布也可以清晰地看出BAAE 的穩(wěn)定性不受EP 的影響.本文的數值計算結果與文獻報道的數值模擬結果[37,39,40]以及理論預測(“EPs preferen-tially excite the BAE over the BAAE branch due to the stronger wave-EP interaction”)[51]相符合.

接下來,將qmin作為掃描參數來研究在DIIID 中觀察到如圖2 所示的高頻BAE 和LFAM 上升頻譜的潛在不穩(wěn)定性機制.圖9 給出了KBM(紅色曲線)和BAE (藍色、綠色、紫色和橙色曲線)的模頻率(帶標記的實線曲線)和增長率(帶標記的虛線曲線)在不同極向和環(huán)向模數(m,n)下對qmin的依賴關系.

圖9 KBM (紅色曲線)和BAE (藍色、綠色、紫色和橙色曲線)的模頻率(帶標記的實線)和增長率(帶標記的虛線)在不同(m,n)下對qmin 的依賴關系.圖中還給出了實驗觀測的頻率.對于BAE,由于模跨越了一個頻率范圍,因此這些線表示不穩(wěn)定區(qū)域的上下限;對于LFAM,實驗頻率變化小于0.5 kHz.橫坐標為 qmin 的變化,是依據參考文獻 [34]的圖8 所示的實驗測量的 qmin(t),將時間t 轉換為 qmin 的變化,與此相關的不確定度為 Δqmin ≈0.01.縱坐標為理論實驗室框架下的頻率,已將多普勒頻移合并到計算的等離子體框架下的頻率 nfrot,相關的不確定度為～0.5×n kHzFig.9.Dependence of mode frequencies (solid curves with markers) and growth rates (dashed curves with markers) on qmin of the KBMs (red curves) and the BAEs (blue,green,purple and orange curves) for different (m,n).The experimentally observed frequencies are also shown.For the BAE,since the modes span a range of frequencies,the lines indicate the upper and lower limits of the unstable bands;for the LFAM,the experimental frequency variation is ＜0.5 kHz.In the abscissa,the experimentally measured qmin(t) fit shown in Fig.8 of Ref.[34] is used to convert time to qmin,with an associated uncertainty of Δqmin ≈0.01.In the ordinate,the theoretical lab-frame frequency incorporates a Doppler shift to the calculated plasma-frame frequency of nfrot,with an associated uncertainty of～0.5×n kHz.

圖9 表明,高頻的BAE 和低頻的KBM 在上升方向上的模頻率間隔均約為7.5 kHz,此頻率正好對應于ρ=0.28 處 的等離子體旋轉頻率frot(見圖5(c)中黑色實線).對于KBM,其不穩(wěn)定性的最大值正好出現(xiàn)在當qmin為有理數時,如圖9 中紅色虛線.對于BAE,其不穩(wěn)定性出現(xiàn)的時間不像KBM 那樣精確,表現(xiàn)為BAE 增長率的最大值偏離qmin有理面的位置.此外,相對于高n的BAE(如橙色曲線),低n的BAE (如藍色曲線)偏離qmin有理值的距離更大.圖中同時標記出了理論預測的頻率(彩色曲線)與實驗測量值(帶“ ★ ”的黑線)的比較,清晰可見這些數值結果與實驗觀測結果能夠較好地符合.我們將在結論部分中對理論預測和實驗結果的比較進行詳細的總結與討論.

為了從理論上深入理解圖9 中不穩(wěn)定性的激發(fā)機制,我們進一步分析了一般魚骨模色散關系(GFLDR)在高頻(|ω|?ωti)和低頻 |ω|?ωbi兩種極限下的行為.

同樣地,對于KBM,當頻率滿足 |ω|?|ωbi|,其慣性項可簡化為

并且系統(tǒng)在滿足以下情況時出現(xiàn)反應型不穩(wěn)定性:

由方程(13)可知,對于反應型不穩(wěn)定性,當k//n0qminR →0時,方程(13)的右側出現(xiàn)最大值,對應于不穩(wěn)定性在qmin為有理數時達到峰值,當偏離有理面時,KBM 被有限的k//n0qminR(代表的場線彎曲致穩(wěn)效應)迅速致穩(wěn).因此,qmin中的不穩(wěn)定窗口也非常窄,大約為 |Δqmin|≈0.02—0.04,將qmin的變化與t的變化對應起來,Δt大約7.5 ms,這種頻譜特征正是實驗上觀測到的“圣誕彩燈”的現(xiàn)象.此外,對于Te?Ti,主要的驅動項來自熱電子,而來自EP 的驅動由于其特征頻率(如進動共振頻率)遠大于模的頻率而忽略不計.

另外還研究了在保持電子溫度Ti不變的情況下,KBM 的模頻率和增長率對電子溫度Te的依賴關系,結果如圖10 所示.可以清楚地看出,不穩(wěn)定性驅動隨著Te的增加而增加.這是由于較大的Te通過(2)式中的 dβ/dr使得負數 δW?nf的絕對值更大,而負的 δW?nf提供了MHD 不穩(wěn)定性的驅動.因此,在保持Ti不變的情況下,KBM 的增長率將隨著Te的增加而增加,這與實驗觀測的LFAM 不穩(wěn)定性與電子溫度成正相關的結論一致.

圖10 模頻率(Re(ω/ωti))和增長 率(Im(ω/ωti))對Te的依賴關系,其中 Ti=2.45 keVFig.10.Dependence of mode frequency and growth rate on Te.Here,Ti=2.45 keV.

上述的數值結果和理論分析解釋了實驗觀測結果: 1)理論預測的KBM 與實驗觀測的LFAM對Te的依賴關系一致;2)與KBM 相比,BAE 在時間上偏離有理qmin值的程度更大.為進一步解釋這種偏差及其對徑向模結構的影響,需要對低頻SAW 的全局模型進行數值研究.

3.2 全局數值結果和分析

本節(jié)將應用方程(8)來研究“經典”高能量離子分布下的全局低頻SAW 的穩(wěn)定性.

圖11 所示為KBM (三角形標記)和BAE (帶標記的線)的頻率(藍色標記)和增長率(紅色標記)與徑向模方程數L的關系.結果表明: 1)對于BAE 和KBM,基本征態(tài)(L=0)最不穩(wěn)定;2)對于BAE,等離子體框架下的頻率和增長率為(80.7+15.2i) kHz,增長率與實頻之比為γ/ωr≈0.19,這是EP 激發(fā)的臨界不穩(wěn)定帶隙模的典型特征;對于KBM,等離子體框架下的頻率和增長率為 (-3.2+5.7i) kHz,γ/ωr≈1.8 ;這是反應型不穩(wěn)定性的典型特征.這一數值結果與文獻 [40]中報道的模擬結果一致.

圖11 KBM(三角形標記)和BAE(帶標記的曲線)的頻率(藍色標記)和增長率(紅色標記)與徑向模數L 的依賴關系Fig.11.Dependence of the real frequencies (blue markers)and growth rates (red markers) of the KBM (triangle markers) and BAE (line with markers) on the radial mode number L.

相應地,圖12 為L=0 的BAE 的徑向模結構δφm(r).可以看出,當L=0 時,BAE 的徑向本征函數 δφm具有與實驗測量的徑向模結構相似的高斯型.在這種情況下,理論上預測的 δφm的徑向寬度為w=0.2107,與高能量離子壓強的特征度相當,即LPE;cl=0.1773,這一點與圖3 的分析一致.此處值得注意的是,由EP 分布決定,BAE 的本征函數在最大高能量粒子壓強梯度的徑向位置處出現(xiàn)峰值,這導致與qmin的徑向位置出現(xiàn)較大的偏差.由此可以預期,KBM 的本征函數應該在不穩(wěn)定性驅動最大的qmin有理值處達到峰值.

圖12 L=0 的BAE 的徑向模結構 δφm (r).圖中還給出了BAE 模結構的近似實驗測量結果,如帶‘ × '的紅線所示Fig.12.Radial mode structure δφm (r) for theL=0 BAE.The approximate experimental measurement of the mode structure of BAE is also shown.

最后,采用局域理論模型(當EP 由“弛豫”分布給出時)與全局理論模型(當EP 由“經典”分布給出時)分別計算的模數為(m,n)=(8,6)的LFAM,BAAE 及BAE 的頻率匯總至表1 中,通過對比發(fā)現(xiàn): 兩種模型下得到的LFAM 和BAE均為不穩(wěn)定性模,而BAAE 為穩(wěn)定性模;并且兩種模型下計算得到低頻SAW 的歸一化角頻率結果非常接近.這里需要說明的是,角頻率前的負號(“-”)代表模式沿著熱電子逆磁漂移方向傳播.對于LFAM,由于其本質是與EP 驅動無關的反應型不穩(wěn)定的KBM,因此,只要滿足(13)式的反應型不穩(wěn)定性條件,LFAM 就可以在沿著熱離子或者熱電子逆磁漂移方向上進行傳播.這一結論與文獻 [33]中的實驗觀測(對六炮具有相似放電條件的不同環(huán)向模數(n=5—11) LFAM 頻率的統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn),在零頻附近既有沿熱電子逆磁漂移方向傳播的模,又有沿熱離子逆磁漂移方向傳播的模)一致.

表1 采用局域模型與全局模型計算(m,n)=(8,6)低頻SAW 頻率(ω/ωti)的對比Table 1.Comparison of the low-frequency SAW frequencies (ω/ωti) with (m,n)=(8,6) calculated by local and the global models.

4 結論

本文研究了DIII-D 反磁剪切托卡馬克實驗中低頻剪切Alfvén 波(SAW)的線性特性.通過分析實驗平衡分布,基于廣義的魚骨模色散關系(GFLDR)的統(tǒng)一理論框架,討論了弱和/或零磁剪切低頻SAW 的局域和全局模型.通過數值和理論分析,描述了模的頻率、增長率和極化性質對安全因子最小值(qmin)的依賴關系以及低頻SAW 在不同粒子分布下的失穩(wěn)機制.研究結果表明,在DIII-D 實驗中觀察到的LFAM 和BAE 分別是反應型和耗散型不穩(wěn)定模,且以阿爾芬波的極化為主.由于不同的失穩(wěn)機制,相比于局域在有理qmin面的LFAM,BAE 的本征函數在空間上位于高能量離子驅動最強的徑向位置,導致偏離qmin的徑向位置.

此外,本文的理論分析解釋了許多實驗觀察結果,總結如下.

1)基于GFLDR 理論,成功解釋了BAE 和LFAM 兩個不穩(wěn)定頻率范圍的時間模式,這兩個不穩(wěn)定頻譜都出現(xiàn)在qmin的有理值附近,但具有明顯不同的不穩(wěn)定性性質.

2)理論上KBM 的頻率與實驗中LFAM 的頻率符合得很好;即使在沒有高能粒子(EP)的情況下KBM 也可能是不穩(wěn)定的;對于BAE 而言,其頻率的理論預測值與實驗值的范圍也相同;該理論還證明了BAAE 是穩(wěn)定的,即BAAE 與DIII-D中觀測的不穩(wěn)定的低頻模無關.

3)對于LFAM 和BAE 而言,其共同特征是:環(huán)向模數較大的不穩(wěn)定模的持續(xù)時間都比環(huán)向模數較低的環(huán)模的持續(xù)時間短,隨著n的增加,圖9中較窄的增長率曲線成功地解釋了這一特征.

4)理論上成功預測了實驗上觀測的單個不穩(wěn)定的BAE 比不穩(wěn)定的LFAM 跨越的頻率范圍要大得多的特征.除此之外,實驗上不穩(wěn)定的LFAM持續(xù)時間很短,大約只有幾毫秒,這與理論上得到的KBM 增長率對qmin的強烈依賴是一致的;而不穩(wěn)定的BAE 比LFAM 持續(xù)的時間更長,這與理論上得到的BAE 增長率對qmin的依賴性較弱是一致的.

5)實驗中的LFAM 出現(xiàn)在qmin為有理值時;而BAE 雖也出現(xiàn)在接近有理值時,但出現(xiàn)的時間不如LFAM 精確.理論對穩(wěn)定性的預測重現(xiàn)了這一特征: 即KBM 的增長率在有理qmin值處急劇增加,而BAE 增長率的峰值相對有理qmin值略有偏離.

6)在實驗上,BAE 的徑向本征函數具有近似的高斯分布,這與理論預測的L=0 的徑向諧波最不穩(wěn)定是一致的.此外,實驗中LFAM 在含氫等離子體中比在純氘等離子體中更不穩(wěn)定[35];這一特征可通過方程(13)得知: 在含氫的等離子體中,較大的ωA(∝1/mi) 會降低不穩(wěn)定性閾值.

感謝Fulvio Zonca 教授(意大利國家新技術、能源和可持續(xù)經濟發(fā)展研究機構非線性等離子體中心)和William Walter Heidbink 教授(加州大學歐文分校物理與天文學系)對本工作提供的技術指導和支持,感謝DIII-D 團隊提供的實驗數據,感謝楊磊博士(中國工程物理研究院)和鄒云鵬博士(核工業(yè)西南物理研究院)的有益討論.同時,作者也非常感謝意大利ENEA 非線性等離子體中心(Center for Nonlinear Plasma Science,CNPS)為本工作的開展提供的富有啟發(fā)性的學術討論氛圍和寶貴的科學引導.

此外,Sf≡(iδE///k//)a.c./δφd.c.的表達方程[8]為

式中的函數F(x),ΔF(x),G(x),ΔG(x),N1(x),ΔN1(x),D1(x),ΔD1(x),P1,P2,P3,及,x=ω/ωti均為等離子體色散函數Z(x) 的函數,它們的定義如下: