高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能開發(fā)

王輝

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)在動(dòng)力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的專注性、主動(dòng)性，改變學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)歷和學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)力，有助于學(xué)生潛能的開發(fā)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；潛能開發(fā)；生本課堂

中學(xué)時(shí)期是潛能開發(fā)的最佳階段，發(fā)現(xiàn)并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能是教師最核心的任務(wù)，為此，教師需要更新教學(xué)理念，提高理論水平和實(shí)踐能力，從“改變學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)歷，提升學(xué)生學(xué)習(xí)力”“提高學(xué)生綜合素質(zhì)，充分發(fā)揮學(xué)生個(gè)性特長(zhǎng)”等角度深入探討“學(xué)生學(xué)習(xí)潛能”開發(fā)。

一、編制學(xué)習(xí)材料，啟迪思維開發(fā)潛能

課堂教學(xué)要收集大量適合學(xué)生的教學(xué)素材，針對(duì)不同層次的學(xué)生個(gè)性化要求，編制出適合不同學(xué)生數(shù)學(xué)潛能開發(fā)及思維能力提升的學(xué)習(xí)材料，環(huán)環(huán)相扣、步步為營(yíng)，充分發(fā)展自身潛能，通過對(duì)學(xué)習(xí)材料的興趣激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在潛能，實(shí)現(xiàn)思維飛躍。

課前認(rèn)真收集教科書、教輔資料、參考教案、教師教學(xué)用書等教與學(xué)的材料，在充分尊重教科書的前提下，從學(xué)生“何以學(xué)會(huì)”出發(fā)，認(rèn)真編寫每一個(gè)“教—學(xué)—評(píng)”三位一體的大單元—分課時(shí)“單元學(xué)歷案”（也稱微課程），并于課前2～3天印發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生做好課前準(zhǔn)備；課中通過“問題串”的方式，按照學(xué)教評(píng)一致性（CLTA）教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)技術(shù)框架及其標(biāo)準(zhǔn)開展教學(xué)活動(dòng)，遵循引起注意、呈現(xiàn)目標(biāo)、激活舊知、提供情境、指導(dǎo)學(xué)習(xí)、引出表現(xiàn)、反饋評(píng)價(jià)、學(xué)習(xí)檢測(cè)、保持遷移等九個(gè)步驟實(shí)施教學(xué)。在新課的引入上，特別注重向?qū)W生講述新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，依據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)“探究”“思考”，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性，學(xué)完一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，隨即讓學(xué)生代表到講臺(tái)前搖號(hào)抽簽確定到黑板扮演的一位或多位學(xué)生名單，進(jìn)行指向?qū)W習(xí)目標(biāo)的“評(píng)價(jià)”；課后在充分尊重學(xué)生差異設(shè)計(jì)分層次作業(yè)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)與學(xué)習(xí)目標(biāo)相匹配的，體現(xiàn)學(xué)生立場(chǎng)的校本化課后檢測(cè)與練習(xí)作業(yè)。通過課前學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)意圖的確立；課中調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與課堂及理清數(shù)學(xué)知識(shí)的“前后聯(lián)系”“來龍去脈”；課后自主建構(gòu)知識(shí)體系，增強(qiáng)學(xué)生信心，激發(fā)了興趣和潛能。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學(xué)（選擇性必修第一冊(cè)）“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，圍繞目標(biāo)進(jìn)行“教—學(xué)—評(píng)”三位一體設(shè)計(jì)，具體如下。

本節(jié)課其中一個(gè)“學(xué)習(xí)目標(biāo)”為：會(huì)由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據(jù)條件寫出圓的方程。

設(shè)計(jì)如下“學(xué)習(xí)過程”。

思考1：在平面直角坐標(biāo)系中如何確定一個(gè)圓呢？圓的定義是什么？（指向以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

小結(jié)：

思考2：利用圓的定義可以推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？圓心為（a，b），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么？（指向以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

小結(jié)：

例1（教材第83頁）：求圓心為A（2，-3），半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)M1（5，-7），M2（-2，-1）是否在這個(gè)圓上。（指向以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

練習(xí)1（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

（1）判斷正誤：

①方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圓。（）

②圓（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圓心坐標(biāo)是（1，2），半徑是4。（）

③（0，0）在圓（x－1）2＋（y－2）2＝1上。（）

（2）求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①圓心是（4，0），且過點(diǎn)（2，2）；

②圓心在y軸上，半徑為5，且過點(diǎn)（3，-4）。

二、由師本課堂向生本課堂轉(zhuǎn)變，增強(qiáng)學(xué)生信心

要改變目前的師本教堂，就要以學(xué)生為主體，尊重學(xué)生的個(gè)性、人格和愛好，以平等、友善、寬容、民主的氛圍和態(tài)度對(duì)待學(xué)生，讓學(xué)生在一種和諧并寬松的教育環(huán)境中與教師一起參與教和學(xué)，做學(xué)習(xí)的主人，把師本教堂變成生本課堂。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學(xué)（選擇性必修第三冊(cè)）“二項(xiàng)式定理”為例，進(jìn)行“生本課堂”教學(xué)，課堂實(shí)錄如下。

1.引入

問題：4個(gè)容器有白、紅小球各1個(gè)，每次從4個(gè)容器各取出1個(gè)球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？

生：取法及取法種數(shù)如下：

取4個(gè)白球（4白0紅，共取4個(gè)球）：C44=C04，即取4個(gè)白球相當(dāng)于取0個(gè)紅球；

取3個(gè)白球（3白1紅，共取4個(gè)球）：C34=C14，即取3個(gè)白球相當(dāng)于取1個(gè)紅球；

取2個(gè)白球（2白2紅，共取4個(gè)球）：C24=C24，即取2個(gè)白球相當(dāng)于取2個(gè)紅球；

取1個(gè)白球（1白3紅，共取4個(gè)球）：C14=C34，即取1個(gè)白球相當(dāng)于取3個(gè)紅球；

取0個(gè)白球（0白4紅，共取4個(gè)球）：C04=C44，即取0個(gè)白球相當(dāng)于取4個(gè)紅球。

易得性質(zhì)：Cmn=Cnn-m。

2.試驗(yàn)

問題：寫出（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4展開式未合并同類項(xiàng)前的式子。

生：（a+b）2=（a+b）·（a+b）=aa+ab+ba+bb；（a+b）3=

（a+b）·（a+b）·（a+b）=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb；（a+b）4=（a+b）·（a+b）·（a+b）·（a+b）=aaaa+

aaab+…+bbba+bbbb。

師追問：（1）以上每項(xiàng)的各個(gè)因子分別來自哪里？（生：分別來自各個(gè)括號(hào)的一因式）

（2）換句話說，展開式中的每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？（生：分別從每一個(gè)（a+b）中取出一個(gè)字母相乘構(gòu)成）

（3）展開式中各項(xiàng)次數(shù)是否都相同？（生：相同）

（4）展開式未合并前分別共有多少項(xiàng)？（生：4=22項(xiàng)；8=23項(xiàng)；16=24項(xiàng)）

3.發(fā)現(xiàn)

生：以上展開式與白、紅小球取法類似。比如：a3即在3個(gè)（a+b）的因式中取出3個(gè)a，有C33個(gè)a2b；a2b即在3個(gè)（a+b）的因式中取出2個(gè)a，自然留下1個(gè)b，共有C33個(gè)a2b……

師：很好！

4.歸納

請(qǐng)同學(xué)們一起來歸納（a+b）n的展開式，并歸納出各項(xiàng)次數(shù)與二項(xiàng)式指數(shù)、各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)。

師：（a+b）n的展開式，如不進(jìn)行合并有幾項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)為多少？

生：有2n項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)均是1。

師：合并后各項(xiàng)系數(shù)分別是多少？

生：C0n，C1n，C2n，…，Cnn。

5.應(yīng)用

例1：求的展開式。（解答過程此處略）

練習(xí)：寫出（p+q）5的展開式。（解答過程此處略）

6.小結(jié)

本節(jié)課通過實(shí)例引入、試驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、歸納，研究了（a+b）n展開式的規(guī)律，運(yùn)用從特殊到一般的思想方法，推導(dǎo)出了二項(xiàng)式定理。

與傳統(tǒng)采用記憶型的教學(xué)相比，以上教學(xué)過程建構(gòu)在對(duì)學(xué)生認(rèn)知分析的基礎(chǔ)上，在探究的過程中構(gòu)建起二項(xiàng)展開式中系數(shù)和指數(shù)的特點(diǎn)，開發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)潛能。

三、利用生活實(shí)例構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，開發(fā)潛能

在應(yīng)用意識(shí)日益加深的今天，數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系、息息相關(guān)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)“我要學(xué)”，讓學(xué)生在不斷解決實(shí)際問題的過程中培養(yǎng)興趣，開發(fā)潛能。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）“函數(shù)的應(yīng)用（二）”，汽車剎車距離和人口增長(zhǎng)問題為例分別構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

1.汽車剎車距離問題

示例1：已知汽車剎車距離y（米）與行駛速度的平方v2（v的單位：千米/小時(shí)）成正比，當(dāng)汽車行駛速度為60千米/小時(shí)，剎車距離為20米.若某人駕駛汽車的速度為90千米/小時(shí)，則剎車距離為米。

學(xué)生解答如下：依題意可設(shè)y=kv2，則有20=3600k，

解得，所以；

若v=90千米/小時(shí)，則902=45（米）。

2.人口增長(zhǎng)問題

示例2：目前海南某市有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人。如果年平均增長(zhǎng)率為1.2%，請(qǐng)回答以下問題：

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）計(jì)算10年后該市的人口總量（精確到0.1萬人）；

（3）計(jì)算大約多少年后該市的人口總數(shù)將達(dá)到120萬（精確到1年）。

學(xué)生解答如下：

（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=100+100×1.2%=100（1+1.2%）；

當(dāng)x=2時(shí)，y=100（1+1.2%）+100（1+1.2%）×1.2%=100（1+1.2%）2；

當(dāng)x=3時(shí)，y=100（1+1.2%）2+100（1+1.2%）2×1.2%=100（1+1.2%）3；

……

所以，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=100（1+1.2%）x

（x∈N*）。

（2）當(dāng)x=10時(shí)，y=100（1+1.2%）10=100×1.012%10≈112.7；

所以，10年后該市的人口總數(shù)約為112.7萬。

（3）設(shè)x年后該市的人口總數(shù)為120萬，則有100×（1+1.2%）x=120，

解得≈16，所以大約16年后該市的人口總數(shù)將達(dá)到120萬。

以上分別構(gòu)建了二次函數(shù)模型和指數(shù)型函數(shù)模型解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了函數(shù)模型的應(yīng)用價(jià)值。

四、構(gòu)建典型數(shù)學(xué)問題，優(yōu)化潛能促進(jìn)創(chuàng)新

通過設(shè)計(jì)開放性和探索性問題，讓學(xué)生自主探究，讓學(xué)生在觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納和整理的過程中，感悟問題的提出、概念的形成過程、結(jié)論的探索過程以及如何應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和創(chuàng)新精神。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）“復(fù)數(shù)的概念—數(shù)系的擴(kuò)充新課引入”為例，進(jìn)行設(shè)疑激趣。

解下列方程：（1）x-1=0；（2）2x-1=0；（3）x+1=0；

（4）x2-2=0。

學(xué)生容易解得各題答案：（1）x=1；（2）；

（3）x=-1；（4）。

教師進(jìn)一步追問：（2）2x-1=0在自然數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？（3）x+1=0在正數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？（4）x2-2=0在有理數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？

學(xué)生：沒有。

通過回顧已有數(shù)集擴(kuò)充過程，學(xué)生明顯感受到每一次數(shù)的擴(kuò)充都與實(shí)際需求密切相關(guān)，從自然數(shù)集擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)集。

教師再追問：方程x2+1=0在實(shí)數(shù)集中有解嗎？

學(xué)生：無解。

教師又追問：如何解決以上問題？

學(xué)生：思考、嘗試回答。

此時(shí)，教師因勢(shì)利導(dǎo)，自然的想法是能否像引進(jìn)無理數(shù)那樣，把有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集，通過引進(jìn)新的數(shù)而使實(shí)數(shù)集得到擴(kuò)充，從而解決類似方程x2+1=0這樣的問題。

如此有意識(shí)地設(shè)計(jì)問題，學(xué)生會(huì)“心欲求而不得，口欲言而不能”，產(chǎn)生了求知欲望，點(diǎn)燃了思維的火花，從潛意識(shí)里激活其創(chuàng)新潛能。

五、培養(yǎng)勤于思考和定時(shí)定量完成任務(wù)的學(xué)習(xí)習(xí)慣

勤于思考和每天定時(shí)定量完成學(xué)習(xí)計(jì)劃的習(xí)慣一旦養(yǎng)成，就會(huì)有利于提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，也有利于激發(fā)學(xué)生的潛能，更有利于增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造力。筆者在每一個(gè)課前編寫的單元學(xué)歷案“課后作業(yè)與檢測(cè)”部分，每一道題的設(shè)計(jì)意圖都是指向相應(yīng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并要求學(xué)生按時(shí)完成。以上“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”一課可設(shè)計(jì)如下“課后作業(yè)與檢測(cè)”。

1.課后作業(yè)

（教材第85頁）練習(xí)：第1、3、4題（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）。

2.課后檢測(cè)

（1）圓心為（3，1），半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）。

A．（x＋3）2＋（y＋1）2＝5

B．（x＋3）2＋（y＋1）2＝25

C．（x－3）2＋（y－1）2＝5

D．（x－3）2＋（y－1）2＝25

（2）已知點(diǎn)A（3，-2），B（-5，4），以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（） （檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）。

A．（x－1）2＋（y＋1）2＝25

B．（x＋1）2＋（y－1）2＝25

C．（x－1）2＋（y＋1）2＝100

D．（x＋1）2＋（y－1）2＝100

（3）若點(diǎn)P（-1，）在圓x2＋y2＝m2上，則實(shí)數(shù)m＝________。（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

（4）已知點(diǎn)A（-1，2）和B（3，4）．求以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

總之，依據(jù)課標(biāo)要求、課標(biāo)分析、教材分析、學(xué)情分析確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，并圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)，從學(xué)生“何以學(xué)會(huì)”出發(fā)設(shè)計(jì)“教—學(xué)—評(píng)”一體的教學(xué)方案；煥發(fā)學(xué)生的生命活力，課后學(xué)生的潛能自然地得到了最大限度的開發(fā)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張愛軍.備課專業(yè)化：學(xué)教評(píng)一致性教學(xué)設(shè)計(jì)的理念與操作[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2020.