壓電梯度板殼結(jié)構(gòu)熱電彈耦合建模與仿真

王雄, 陳倩, 黃鐘童, 薛婷, 張順琦

(1.榆林學(xué)院 能源工程學(xué)院, 陜西 榆林 719000; 2.上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院, 上海 200444;3.西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院, 陜西 西安 710072)

復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天產(chǎn)品。為了能夠?qū)崿F(xiàn)壁板結(jié)構(gòu)的形狀與振動控制,通常將壓電材料集成在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中形成智能結(jié)構(gòu)。無論是復(fù)合材料還是壓電材料,都是通過不同參數(shù)的材料粘結(jié)固化而成,界面容易出現(xiàn)應(yīng)力集中,存在分層風險。壓電梯度結(jié)構(gòu)(FGPM)具有梯度化的彈性參量和壓電參量,可有效避免分層損傷風險。壓電梯度結(jié)構(gòu)在熱電彈耦合作用下的建模與仿真是目前的一大挑戰(zhàn)。

在壓電梯度板的電彈耦合靜力學(xué)建模研究方面,針對具有任意梯度材料特性的FGPM梁,Zhong和Yu[1]推導(dǎo)了其在電載荷作用下的遞推控制方程,以研究FGPM梁在懸臂、簡支和剛性夾緊等不同邊界條件下的機電性能。基于混合變分原理,Wu和Ding[2]考慮了4種機電載荷條件,對簡支FGPM梁進行了相應(yīng)的電彈性耦合分析。Zenkour和Alghanmi[3]利用準三維剪切和法向變形理論,探討了結(jié)構(gòu)尺寸、材料參數(shù)對簡支FGPM板彎曲特性的影響。更有一些學(xué)者,針對FGPM結(jié)構(gòu),研究了新的建模與計算方法。Meng等[4]為提高含孔FGPM板的計算精度,提出力電耦合的無網(wǎng)格伽遼金法,求解其力學(xué)問題。Nourmohammadi和Behjat[5]采用徑向點插值法研究了壓電層合FGPM板在機械載荷和電載荷作用下的幾何非線性靜態(tài)響應(yīng)。Zhong和Shang[6]針對上下表面承載機械和電載荷作用的FGPM板結(jié)構(gòu),利用狀態(tài)空間方法,得到了四邊簡支FGPM矩形板的精確三維解。

在熱載荷條件下,Lee[15]基于線性熱電彈耦合原理,將分層有限元法應(yīng)用到FGPM梁中,并研究了厚度變化對位移和應(yīng)力響應(yīng)的影響。基于歐拉-伯努利梁理論和非線性應(yīng)變-位移關(guān)系,Kiani等[16]針對表面粘有壓電層的功能梯度材料梁,在恒壓和熱載荷作用下,開展屈曲特性研究,同時考慮邊界條件和冪律指數(shù)等對FGPM梁屈曲溫度的影響。Yang和Xiang[17]基于Timoshenko梁理論研究了FGPM制動器在熱機電聯(lián)合載荷作用下的靜動態(tài)響應(yīng),利用微分求積法求解控制微分方程,明確了結(jié)構(gòu)熱機電特性的重要指標。Saadatfar 和Aghaie-Khafri[18]研究了固定于彈性地基上的FGPM圓柱殼在熱機電載荷下的力學(xué)響應(yīng)。Babaei和Eslami[19]研究了表面集成壓電層的功能梯度拱,探究了FGPM拱在均勻溫度、線性溫度和熱傳導(dǎo)3種不同類型熱載荷下的非線性熱致大撓度問題。Kumar和Harsha[20]研究了FGPM板在熱機電載荷下的靜態(tài)和自由振動響應(yīng)。

綜上所述,近些年來國內(nèi)外學(xué)者對FGPM結(jié)構(gòu)的研究主要集中在材料參數(shù)、模型優(yōu)化和加載方式等方面,大部分熱場下的研究僅針對結(jié)構(gòu)在均勻或者線性溫度場下的響應(yīng)結(jié)果,很少有研究能夠計算非線性溫度分布對結(jié)構(gòu)的影響,尤其是溫度沿厚度 方向呈二次分布連續(xù)變化的結(jié)果。研究非線性溫度梯度載荷對結(jié)構(gòu)的影響,能夠模擬結(jié)構(gòu)在多變環(huán)境溫度下產(chǎn)生的形變,使仿真環(huán)境更接近實際情況。本文針對非線性熱場下壓電梯度結(jié)構(gòu),開展了熱-電-彈多物理場耦合的建模與仿真研究。

1 梯度壓電的材料分布

梯度薄壁結(jié)構(gòu)指的是材料參數(shù)沿著厚度方向按一定規(guī)律變化,一般可分為線性分布、指數(shù)分布、冪律分布。

1.1 線性分布

線性分布的梯度結(jié)構(gòu)一般由兩相材料組成,材料參數(shù)可表達為

(1)

式中:h為薄板結(jié)構(gòu)的厚度,M為結(jié)構(gòu)任意厚度位置的材料參數(shù);M1,M2分別為2種不同相的材料參數(shù)。

1.2 指數(shù)分布

指數(shù)分布規(guī)律是以自然數(shù)e為底的一個函數(shù),兩相材料隨厚度方向的變化規(guī)律為

(2)

1.3 冪律分布

冪律分布的材料參數(shù)可以表示為

(3)

從(3)式可以看出,當n=0時,表示結(jié)構(gòu)完全由增強材料構(gòu)成;當n=1時,表示材料參數(shù)沿厚度方向線性變化;當n=∞時,表示結(jié)構(gòu)僅由基體材料組成。

2 梯度壓電結(jié)構(gòu)熱電彈耦合模型

2.1 熱電彈耦合本構(gòu)模型

在小應(yīng)變、弱電場假設(shè)下,熱電彈耦合的FGPM材料本構(gòu)方程描述如下:

εij=sijklσkl+dijmEm+αijT

(4)

Dm=dmklσkl+emnEn+βmT

(5)

式中:下標i,j,k,l,m和n取值為1,2或3;同時,ij和kl的組合用來表示11,22,33,12或21,13或31,以及23或32的數(shù)字組合;σ,ε和s分別表示應(yīng)力、應(yīng)變和彈性柔度系數(shù);D,E,d和e分別表示電位移量、電場強度、壓電常數(shù)和介電常數(shù);α為熱膨脹系數(shù);β為熱電常數(shù);T表示梯度變化的溫度,結(jié)構(gòu)任意點都對應(yīng)一個溫度變化量。

2.2 熱電場分布模型

假設(shè)電場沿厚度方向線性變化,電場強度定義為電勢的負梯度,表達為

E=-φ=Bφφ

(6)

式中:φ表示電勢;Bφ是電場矩陣。

將溫度梯度的函數(shù)寫成矩陣形式如下

(7)

式中,BT是溫度分布矩陣,描述熱場沿厚度方向的分布規(guī)律。

對于熱場沿厚度方向的分布,考慮3種情形,1種線性分布和2種非線性分布,如圖1所示。

圖1 沿厚度方向溫度分布曲線

線性分布(TLIN)表達為

(8)

第二種分布為下拋物線分布(TNL1),表達式為

(9)

第三種分布為上拋物線分布(TNL2),表達式為

(10)

2.3 梯度壓電結(jié)構(gòu)有限元模型

基于一階剪切變形假設(shè)

(11)

(12)

(13)

(14)

對于薄板結(jié)構(gòu),式中應(yīng)變分量表達式為

對于薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu),應(yīng)變分量表達式為

采用八節(jié)點二次型板殼單元,任意點位移用二次形函數(shù)插值獲得

(32)

式中,Ni為第i個節(jié)點的形函數(shù)。因此,應(yīng)變寫作

ε=LNq=Buq

(33)

式中:L是微分算子;Bu稱為應(yīng)變矩陣;q是自由度向量。

通過哈密爾頓變分原理

(34)

獲得FGPM板殼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型

式中

(37)

式中:Muu表示質(zhì)量矩陣;Kuu,Kuφ和KuT分別表示剛度矩陣,壓電耦合剛度矩陣和熱-機耦合剛度矩陣;Kφu,Kφφ和KφT分別表示壓電耦合電容矩陣,壓電電容矩陣和熱電耦合電容矩陣;Fue是外力向量;Gφe是外電向量。

3 數(shù)值模擬

3.1 模型驗證

為保證模型的準確性,計算文獻[15]中線性溫度梯度下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)結(jié)果。模型幾何結(jié)構(gòu)如圖2所示,壓電功能梯度懸臂梁長l1、寬l2、高h1分別為80,10和0.22 mm。

圖2 壓電功能梯度懸臂梁

結(jié)構(gòu)中頂層和底層的材料屬性相反,其余各層材料屬性沿厚度方向呈梯度分布。為了更全面地研究梯度分布的材料參數(shù)對結(jié)構(gòu)的影響,采用4種分布情況并命名為Case1～Case4。材料參數(shù)如表1～2所示,其中Y為彈性模量,G為剪切模量,α為熱膨脹系數(shù),P為熱釋電常數(shù)。

表1 Case1～Case2 FGPM梁各層材料參數(shù)[15]

表2 Case3～Case4 FGPM梁各層材料參數(shù)[15]

對結(jié)構(gòu)施加5℃線性溫度梯度的熱載荷,末端位移比較如表3所示,計算獲得的結(jié)果與文獻[14]中的結(jié)果十分接近,每組數(shù)據(jù)的偏差都在1%以內(nèi),說明本文構(gòu)建的有限元模型具有較高的可靠性。

表3 壓電功能梯度梁末端位移

以Case4的材料參數(shù)為例,開展本文有限元模型的高效性和收斂性驗證。對結(jié)構(gòu)沿厚度方向施加5℃非線性溫度TNL2模型對應(yīng)的等效應(yīng)力,同時采用商業(yè)軟的ABAQUS的板殼單元S8R和三維單元C3D8R,與本文八節(jié)點二次型板殼單元進行比較,計算結(jié)果如表4所示。從結(jié)果可以看出,本文計算結(jié)果更接近三維單元C3D8R,并且收斂速度比S8R板殼單元更快。

表4 壓電功能梯度梁計算效率與收斂性驗證

3.2 壓電層合功能梯度板結(jié)構(gòu)計算

材料參數(shù)對結(jié)構(gòu)有很大的影響,功能梯度材料(FGM)往往使用增強材料對基體材料進行摻雜,而其混合的比例會對制成的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大影響。采用材料參數(shù)呈一定規(guī)律分布的壓電層合FGM懸臂梁如圖3所示,長邊l′和短邊w′分別為800和400 mm,壓電驅(qū)動層厚度為0.1 mm,FGM層為5 mm。

圖3 壓電層合FGM梁

FGM層由鋁合金中摻入鈦合金的材料構(gòu)成,隨厚度方向變化的材料參數(shù)由指數(shù)分布公式(2)和冪律分布公式(3)所得,材料參數(shù)[21]如表5所示。

表5 材料參數(shù)

其中,d31、d32為壓電參數(shù),c為介電系數(shù),ρ為密度。有限元建模使用10×10網(wǎng)格,八節(jié)點單元,為保證結(jié)果準確性將結(jié)構(gòu)離散成30層。

為探究不同材料參數(shù)分布下壓電層合FGM板結(jié)構(gòu)的特性,對其施加10℃線性溫度梯度和100 V的電壓,并改變冪律指數(shù)n以研究組成材料體積分數(shù)對FGM結(jié)構(gòu)特性的影響。

對比指數(shù)分布規(guī)律和冪律分布規(guī)律下懸臂梁的末端位移如表6所示,中心線位移如圖4所示。隨著冪律指數(shù)的增大,懸臂梁位移也在不斷增大。對比后發(fā)現(xiàn)指數(shù)分布情況下的壓電層合FGM懸臂梁末端位移比所有冪律指數(shù)下的冪律分布情況的數(shù)值都大?？芍牧蠀?shù)的分布情況對同種載荷下結(jié)構(gòu)有較大影響。

表6 不同材料參數(shù)下懸臂梁的末端位移

圖4 不同冪律分布指數(shù)的FGM懸臂梁中心線位移

3.3 FGPM殼結(jié)構(gòu)計算

為了進一步得到非線性熱場對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響,使用四邊簡支壓電功能梯度圓柱殼如圖5所示。

圖5 FGPM圓柱殼幾何模型

殼體直邊長度l為200 mm,曲邊半徑R為2 000 mm,圓心角θ=0.1 rad,厚度0.22 mm。各層材料參數(shù)如表7所示,泊松比ν為常值0.25。根據(jù)(8)～(10)式給出的溫度分布情況,依次沿FGPM圓柱殼厚度方向加載10℃線性與2種非線性溫度梯度,分別記作TLIN,TN1和TN2,其中心點位移結(jié)果如表8所示。

表7 FGPM殼各層材料參數(shù)

表8 FGPM殼中心點位移 mm

由于沿厚度方向各層材料參數(shù)的不同,溫度梯度驅(qū)動下的殼體位移情況也產(chǎn)生很大區(qū)別。同一材料參數(shù)分布情況下,2種非線性溫度梯度分布與線性溫度梯度導(dǎo)致的位移有著較大的差異,TN2產(chǎn)生的位移較大而TN1較小。

在考慮環(huán)境溫度變化或其他熱載荷作用下的FGPM結(jié)構(gòu)時,承受復(fù)雜分布的溫度載荷對結(jié)構(gòu)位移產(chǎn)生的作用差別很大,有必要結(jié)合材料參數(shù)將溫度分布納入考慮范疇。

3.4 FGPM殼結(jié)構(gòu)參數(shù)化仿真

圓柱殼的半徑R在模型中決定了Θ3方向的形狀,改變FGPM圓柱殼模型中的半徑,保持其余參數(shù)不變。研究材料參數(shù)分布情況下,不同溫度載荷對結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生的影響,隨曲率變化的中心點位移如圖6所示。

圖6 隨曲率變化的中心點位移

圖中橫坐標使用曲率1/Rmm-1描述殼的彎曲程度,可以看到隨著曲率的不斷增大,4種材料分布情況的中心點位移都在減小同時其減小的速度不斷變小。曲率從0.1到0.8的過程可以較為完備地說明曲率變大的過程中,結(jié)構(gòu)的剛度不斷增大,中心點位移可能相差約4個數(shù)量級,其中曲率0.1與0.25相差2個數(shù)量級。隨著曲率增大,4種材料參數(shù)結(jié)構(gòu)承受線性和非線性溫度梯度,TN2產(chǎn)生的影響最大,而TN1最小。

4 結(jié) 論

本文在小應(yīng)變、弱電場假設(shè)下推導(dǎo)了非線性熱場的熱彈電耦合本構(gòu)方程,研究了FGPM板殼結(jié)構(gòu)同時受彈性、電和熱載荷的靜力學(xué)響應(yīng)。

1) 考慮了不同材料參數(shù)分布下壓電層合FGM板結(jié)構(gòu)的特性,結(jié)果表明,材料參數(shù)的分布情況對同種載荷下結(jié)構(gòu)有較大影響。 隨著摻雜比例的增大,FGPM結(jié)構(gòu)位移也隨之增大。

2) 在考慮環(huán)境溫度變化或其他熱載荷作用下的FGPM結(jié)構(gòu)時,復(fù)雜非線性變化的溫度載荷會對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大影響,有必要結(jié)合材料參數(shù)將溫度分布納入考慮范疇。

3) 對不同半徑的FGPM殼體結(jié)構(gòu)進行了參數(shù)化研究。結(jié)果表明:結(jié)構(gòu)剛度隨著曲率變大而變大,中心點位移也隨之不斷減小。熱梯度的分布對FGPM板殼結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)響應(yīng)有重要影響。此外,證實了與幾何尺寸相比,材料性能構(gòu)型對結(jié)構(gòu)的靜態(tài)彎曲響應(yīng)有更顯著的影響。