不確定分?jǐn)?shù)階超混沌Tang系統(tǒng)的有限時(shí)間滑模同步

楊喜平,毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450015)

滑模方法由于其良好的魯棒性能被廣泛應(yīng)用于自動(dòng)化、控制、通信、生化、醫(yī)療、化工等學(xué)科領(lǐng)域[1-3],相關(guān)混沌系統(tǒng)滑模同步控制方法的研究已經(jīng)取得了豐富的成果[4-8].文獻(xiàn)[9]基于滑模方法研究不確定非線性動(dòng)力系統(tǒng)控制問題,并對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了詳細(xì)分析.文獻(xiàn)[10]研究不確定超混沌Bao系統(tǒng)的積分滑模同步問題,給出了滑模面的設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[11]基于自適應(yīng)方法研究分?jǐn)?shù)階不確定Victor-Carmen系統(tǒng)的滑模同步,設(shè)計(jì)了控制器和自適應(yīng)控制律.文獻(xiàn)[12]研究超混沌Bao系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步,得到超混沌Bao系統(tǒng)滑模同步的充分條件.隨著人們對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的深入了解,眾多學(xué)者開始認(rèn)識(shí)到實(shí)際系統(tǒng)都可以用分?jǐn)?shù)階微分方程來建立數(shù)學(xué)模型且更符合模型本身,因而該方面的研究備受關(guān)注.文獻(xiàn)[13]研究分?jǐn)?shù)階新超混沌系統(tǒng)滑模同步的4種方法,給出滑模面的選取及控制器的設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[14]研究分?jǐn)?shù)階不確定非線性Sprott混沌系統(tǒng)的滑模同步,給出了滑模函數(shù)的設(shè)計(jì).另外系統(tǒng)建模時(shí)必須考慮不確定因素帶來的影響,且大多數(shù)情況下實(shí)際的控制系統(tǒng)都要求系統(tǒng)能在有限時(shí)間內(nèi)取得同步,即 “有限時(shí)間同步”.文獻(xiàn)[15]研究不確定Victor-Carmen系統(tǒng)有限時(shí)間滑模同步.文獻(xiàn)[16]研究不確定臨界系統(tǒng)的有限時(shí)間滑模同步.而Tang混沌系統(tǒng)自2009年被提出以來就備受關(guān)注.文獻(xiàn)[17]研究3階Tang混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為等特性.文獻(xiàn)[18]研究超混沌Tang系統(tǒng)的吸引性及電路實(shí)現(xiàn).另一方面分?jǐn)?shù)階不確定超混沌Tang系統(tǒng)的有限時(shí)間滑模同步問題還沒有被系統(tǒng)地研究過,基于以上研究,論文考慮不確定分?jǐn)?shù)階超混沌Tang系統(tǒng)的有限時(shí)間滑模同步問題,得到不確定分?jǐn)?shù)階超混沌Tang系統(tǒng)有限時(shí)間滑模同步的充分性條件.

1 系統(tǒng)描述

Tang系統(tǒng)[17]狀態(tài)方程可描述為

(1)

當(dāng)a=25.6,b=66.8,c=39.22,d=0.2,k=4時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)吸引子特性,其吸引子相圖如圖1所示.

圖1 Tang系統(tǒng)的吸引子相圖

將上述系統(tǒng)增加一個(gè)非線性項(xiàng),得到新的超混沌Tang系統(tǒng)[18],具體可描述為

(2)

當(dāng)a=20,b=35,p=1,c=30,d=5,k=16時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)超混沌特性,吸引子相圖如圖2所示.

圖2 超混沌Tang系統(tǒng)的吸引子相圖

定義1[19]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

引理1[19]若x(t)為連續(xù)可微的函數(shù),則對任意的t≥0,有

(1)α1‖x(t)‖a≤V(t,x(t))≤α2‖x(t)‖ab;

(2)kV1/β(t,x(t))≤α3‖x‖ab;

以下考慮分?jǐn)?shù)階超混沌Tang系統(tǒng)

(3)

當(dāng)a=20,b=35,p=1,c=30,d=5,k=16,q=0.987時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)超混沌吸引子,吸引子相圖如圖3所示.

圖3 超混沌分?jǐn)?shù)階Tang系統(tǒng)的吸引子相圖

以系統(tǒng)(3)為主系統(tǒng),設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

(4)

其中:Δfi(y)為不確定項(xiàng),di(t)為有界外擾,ui(t)為控制器,y=[x1,y1,z1,ω1]T.

假設(shè)1設(shè)不確定項(xiàng)Δfi(y)和外部擾動(dòng)di(t)有界,即存在未知參數(shù)mi,ni>0,使得

|Δfi(y)|

定義e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω,得到誤差系統(tǒng)方程

(5)

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)1條件下,設(shè)計(jì)滑模面si(t)=ei(t)+λiDt-q|ei(t)|θsgn(ei(t)),0<θ<1,控制器

自適應(yīng)規(guī)則

根據(jù)不等式

‖x1‖p+‖x2‖p+‖x3‖p+‖x4‖p≥

取λ=min{λ1,λ2,λ3,λ4},有

根據(jù)引理3,化簡后得

λ1|e1(t)|θsgn(e1(t))]+s2[ce1-x1z1+xz-e2+Δf2(y)+d2(t)+u2(t)+

λ2|e2(t)|θsgn(e2(t))]+s3[x1y1-xy-d(e1+e3)+Δf3(y)+d3(t)+u3(t)+

λ3|e3(t)|θsgn(e3(t))]+s4[k(e1+e2)+Δf4(y)+d4(t)+u4(t)+λ4|e4(t)|θsgn(e4(t))]+

作為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的特例,以整數(shù)階系統(tǒng)(2)為主系統(tǒng),設(shè)計(jì)從系統(tǒng)如下

(6)

定義e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω,得到誤差系統(tǒng)方程

(7)

V1-η(t)≤V1-η(t0)-p(1-η)(t-t0),t0≤t≤T,

自適應(yīng)規(guī)則

根據(jù)不等式

取λ=min{λ1,λ2,λ3,λ4},有

不在滑模面上時(shí),構(gòu)造

s1[-ae1+be2-pe4+Δf1(y)+d1(t)+u1(t)+λ1|e1(t)|θsgn(e1(t))]+

s2[ce1-x1z1+xz-e2+Δf2(y)+d2(t)+u2(t)+λ2|e2(t)|θsgn(e2(t))]+

s3[x1y1-xy-d(e1+e3)+Δf3(y)+d3(t)+u3(t)+λ3|e3(t)|θsgn(e3(t))]+

s4[k(e1+e2)+Δf4(y)+d4(t)+u4(t)+λ4|e4(t)|θsgn(e4(t))]+

其中:k=min{k1,k2,k3,k4},上式兩邊積分得

3 數(shù)值仿真

取a=20,b=35,p=1,c=30,d=5,k=16,q=0.987,(x(0),y(0),z(0),ω(0))=(3.2,8.5,3.5,2),

Δf1(y)+d1(t)=0.1sin(t)x1+0.1cost,Δf2(y)+d2(t)=-0.1cos(t)y1+0.1cost,

Δf3(y)+d3(t)=-0.1sin(t)z1+0.1cos(2t),Δf4(y)+d4(t)=0.1cos(t)ω1+0.1sint.

定理1中選取滑模面

si(t)=ei(t)+λiDt-q|ei(t)|θsgn(ei(t)),0<θ<1,

定理2中選取滑模面

定理1,2中的誤差曲線如圖4,5所示.從圖4,5中可以看出,初始時(shí)刻誤差相差較大,且系統(tǒng)誤差距離坐標(biāo)原點(diǎn)較遠(yuǎn),隨時(shí)間變化誤差逐步趨向一致,并且逐漸向坐標(biāo)原點(diǎn)趨近,說明系統(tǒng)達(dá)到同步.另外文中討論的問題雖然是分?jǐn)?shù)階,但對于整數(shù)階系統(tǒng)也同樣成立.論文所使用的方法對整數(shù)階、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)均具有適用性和可移植性.

圖4 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線

圖5 定理2中的系統(tǒng)誤差曲線

4 結(jié)束語

根據(jù)有限時(shí)間滑模同步控制理論研究不確定分?jǐn)?shù)階超混沌Tang系統(tǒng)的同步,通過構(gòu)造滑模函數(shù)和控制器及自適應(yīng)規(guī)則,獲得分?jǐn)?shù)階不確超混沌Tang系統(tǒng)取得有限時(shí)間滑模同步的充分性條件,結(jié)論不僅對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)成立,對整數(shù)階同樣適用,并用數(shù)值仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論.如何設(shè)計(jì)出更加簡潔的滑模面,使系統(tǒng)誤差能夠快速收斂到原點(diǎn),是作者下一步需要考慮的問題.