“數(shù)學(xué)建?！敝械膭?chuàng)新型教學(xué)實(shí)踐與探索

范馨月

（貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

引言

在國家“四新戰(zhàn)略”與地方大數(shù)據(jù)發(fā)展戰(zhàn)略的背景下，要支撐地方高速發(fā)展，需要在本地培養(yǎng)大量創(chuàng)新型人才。綜觀科學(xué)發(fā)展歷史及國家與地區(qū)的發(fā)展沿革，基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展直接或間接地推動了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，并支撐了國家、地區(qū)的可持續(xù)發(fā)展，而數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)科學(xué)的核心，在創(chuàng)新型人才培養(yǎng)中的作用極為重要。因此，提升大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、培養(yǎng)創(chuàng)新型人才已成為高校數(shù)學(xué)教師的首要教學(xué)目標(biāo)。

在近些年的教學(xué)過程中，讓學(xué)生直接面對實(shí)際問題困難重重，暴露出傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在著諸多問題，主要有以下幾方面：（1）理論教學(xué)與知識應(yīng)用相分離，表現(xiàn)為教“書本”脫離“實(shí)踐”。（2）知識傳授與能力培養(yǎng)相脫節(jié)，表現(xiàn)為注重“知”疏于“識”。（3）教學(xué)創(chuàng)新路徑不清，表現(xiàn)為“重”方法模式“輕”學(xué)生發(fā)展關(guān)照。這些問題致使部分學(xué)生對數(shù)學(xué)既學(xué)不好，也用不好，嚴(yán)重阻礙了創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。

為解決這些問題，需要積極開展數(shù)學(xué)課程建設(shè)實(shí)踐探索，以培養(yǎng)創(chuàng)新型人才為目標(biāo)、立德樹人為根本任務(wù)，圍繞創(chuàng)新能力導(dǎo)向、教學(xué)資源融合、數(shù)學(xué)課程建設(shè)、學(xué)習(xí)能力轉(zhuǎn)化，及時更新課堂教學(xué)理念，創(chuàng)新課堂教學(xué)方法，改革課程考核方式，切實(shí)提高本科人才培養(yǎng)質(zhì)量。

數(shù)學(xué)建模是相關(guān)專業(yè)教學(xué)計(jì)劃中與數(shù)學(xué)應(yīng)用緊密接觸的學(xué)科，已深入經(jīng)濟(jì)學(xué)、自然科學(xué)與社會科學(xué)等各個領(lǐng)域，建立在數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析、計(jì)算機(jī)技術(shù)等理論知識的基礎(chǔ)上，為解決實(shí)際問題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。課程的主要任務(wù)是讓學(xué)生掌握以下知識和技能目標(biāo)：（1）訓(xùn)練學(xué)生針對實(shí)際問題進(jìn)行分析、建模的能力。（2）掌握數(shù)學(xué)建模的基本思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題化為具體數(shù)學(xué)模型的建模思維。（3）選用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法并在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)編程的能力。（4）訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行解讀與必要的分析能力。（5）鍛煉學(xué)生的計(jì)算思維、算法思維、建模思維能力，理解算法的構(gòu)造思想，體會重要的科學(xué)和技術(shù)問題的算法構(gòu)造思想。近年來，數(shù)學(xué)建模競賽在創(chuàng)新人才培養(yǎng)中起到積極的推動作用［1-2］，數(shù)學(xué)建模作為應(yīng)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題的思想和方法，是科學(xué)育人和創(chuàng)新人才培養(yǎng)的有效載體［3］，是學(xué)生科研能力提升的催化劑［4］。同時，數(shù)學(xué)建模思想已滲入初高中的數(shù)學(xué)教學(xué)和實(shí)踐任務(wù)中［5］。

一、創(chuàng)新性教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)內(nèi)容

（一）課程教學(xué)理念及目標(biāo)

“數(shù)學(xué)建?！闭n程遵循啟發(fā)引導(dǎo)、目標(biāo)協(xié)同、動力支持、學(xué)以致用等方面多維并進(jìn)的原則，注重理論聯(lián)系實(shí)際，將思政元素有機(jī)地融入課程設(shè)計(jì)中，多種教學(xué)方法和手段靈活應(yīng)用，形成“以人為本，集知識傳授、能力培養(yǎng)、價值塑造于一體”的教學(xué)理念。構(gòu)建“數(shù)學(xué)建模”課程的創(chuàng)新教學(xué)體系，制訂適應(yīng)新時代的人才培養(yǎng)方案，在教學(xué)設(shè)計(jì)中倡導(dǎo)科教融合，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力，從而推動課程從知識體系為主逐步向知識體系與能力體系相融合，最終達(dá)到培養(yǎng)一流人才的目標(biāo)，具體目標(biāo)如下。

1.堅(jiān)持立德樹人，切實(shí)開展課程思政建設(shè)。在課程的教學(xué)內(nèi)容中滲入思政元素，把社會主義核心價值觀融入課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，實(shí)現(xiàn)課程與思政元素的有機(jī)結(jié)合，做到教書育人潤物無聲。

2.學(xué)以致用，做好課程的教學(xué)設(shè)計(jì)。本著“以學(xué)生發(fā)展為中心”的原則，按照“金課”“兩性一度”的要求，更新教學(xué)理念，挖掘課程內(nèi)容的深度和廣度，以加深學(xué)生對本課程內(nèi)容的理解，激發(fā)學(xué)生的科學(xué)鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

3.崇尚實(shí)踐，豐富課堂教學(xué)手段。借助團(tuán)隊(duì)社會實(shí)踐及合作單位實(shí)際問題，增加教學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)，為學(xué)生提供豐富的實(shí)踐素材。

4.科學(xué)評價，完善教學(xué)評價體系。針對不同層次和專業(yè)的學(xué)生，實(shí)施個性化評價標(biāo)準(zhǔn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自評的重要性，注重過程評價的及時分析和實(shí)時反饋，促進(jìn)教師教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整和學(xué)生知識的鞏固，增強(qiáng)師生之間、生生之間的情感互動。

（二）課程教學(xué)內(nèi)容

“數(shù)學(xué)建?！闭n程是各個學(xué)科領(lǐng)域中將理論知識應(yīng)用于實(shí)踐工作的能力體現(xiàn)。一個是建模的能力，它是學(xué)科領(lǐng)域知識和專業(yè)理論知識應(yīng)用的能力；另一個是求解模型的能力，它是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)。

在建模能力的教學(xué)中側(cè)重如下三個方面：（1）從初等模型、離散模型入手引出數(shù)學(xué)建模的全過程，完整介紹數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟。（2）以經(jīng)典數(shù)學(xué)模型入手，講授優(yōu)化模型、微分方程模型、概率模型、統(tǒng)計(jì)回歸模型、博弈模型、圖論模型，讓學(xué)生掌握經(jīng)典數(shù)學(xué)模型的建模方法及其特點(diǎn)。（3）引入優(yōu)秀的建模案例及目前數(shù)學(xué)建模的新方法，比如蒙特卡洛方法、元胞自動機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與深度學(xué)習(xí)方法等。從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模賽題和合作單位提供的實(shí)際數(shù)據(jù)及問題讓學(xué)生動手實(shí)踐，開闊學(xué)生的視野并培養(yǎng)學(xué)生的建模思維。在求解模型的能力教學(xué)中側(cè)重如下三個方面：（1）介紹數(shù)據(jù)分析方法，包括數(shù)據(jù)處理、插值、擬合等，為建立數(shù)學(xué)模型打好基礎(chǔ)。（2）介紹求解數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方法，包括數(shù)值積分、數(shù)值微分、常微分方程的求解、線性方程組的數(shù)值方法及非線性方程等，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決問題的能力。（3）引入全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽經(jīng)典賽題以及合作單位的實(shí)際數(shù)據(jù)，讓學(xué)生動手建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解驗(yàn)證。

在上述教學(xué)內(nèi)容中要圍繞“加強(qiáng)基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用”，著重培養(yǎng)學(xué)生分析與解決問題的能力及熟練運(yùn)用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算的能力，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力和建模能力。

二、創(chuàng)新性教學(xué)實(shí)例

數(shù)學(xué)模型的求解是傳統(tǒng)經(jīng)典數(shù)值算法的主要載體，也是新工科的思想工具，為大數(shù)據(jù)、人工智能領(lǐng)域的主流算法奠定了基礎(chǔ)。其核心思想目前應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算的前沿領(lǐng)域，將課程思政貫穿教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施的全過程，可以實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新性、教學(xué)形式先進(jìn)性和互動性、學(xué)習(xí)結(jié)果探究性和個性化的教學(xué)［6-7］。

（一）Romberg求積法教學(xué)設(shè)計(jì)思路

積分的計(jì)算是具有廣泛應(yīng)用的古典問題，在很多實(shí)際問題中，積分的數(shù)值計(jì)算問題是值得研究的。Newton-Cotes求積公式當(dāng)n≥8時不穩(wěn)定，復(fù)化求積公式對提高精度是行之有效的，但使用前必須給出合適的步長h，h太小則計(jì)算量增加，h太大則精度不能滿足，如何確定h的值是復(fù)化求積公式面臨的一個重要問題。Romberg求積法就是利用反復(fù)外推得到的精度較高的一種求積方法，可以通過外推技巧提高計(jì)算的精度。具體地說，就是在求積過程中將步長逐次折半，反復(fù)利用復(fù)化求積公式，直到相鄰兩次的計(jì)算結(jié)果之差的絕對值小于允許誤差為止。Romberg求積法單元課程目標(biāo)主要包括知識與技能、過程與方法和情感態(tài)度三個類別。（1）知識與技能目標(biāo)：重點(diǎn)理解Romberg求積法的構(gòu)造思想，掌握Romberg求積法的構(gòu)造方法和步驟，熟練采用Romberg求積法求解積分問題。（2）過程與方法目標(biāo)：通過“劉徽神算”理解外推的基本思想方法及Romberg求積法，通過方法的講解和實(shí)例實(shí)現(xiàn)相關(guān)積分問題的計(jì)算，通過Romberg求積法求定積分的近似解。（3）情感態(tài)度目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和計(jì)算思維能力，樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀；可以適時激勵、感染、教育學(xué)生努力奮斗，攀登科研高峰；在新知識講解的過程中，不斷引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力；通過課堂新知識理論的教學(xué)，讓學(xué)生深刻感悟解決問題的不同方案及其優(yōu)缺點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，利用數(shù)學(xué)思維思考問題并解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究和創(chuàng)新創(chuàng)造的精神。

課程教學(xué)的邏輯環(huán)節(jié)采用BOPPPS模型的教學(xué)理念進(jìn)行設(shè)計(jì)，具體包括情景引入、目標(biāo)呈現(xiàn)、課前摸底、參與式學(xué)習(xí)、課內(nèi)評估和總結(jié)提升六個基本環(huán)節(jié)，以確保課堂教學(xué)有更好的效果。（1）情景引入：采取與教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的智能機(jī)器人進(jìn)行引入，幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)動機(jī)，通過理論聯(lián)系實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生思維。（2）目標(biāo)呈現(xiàn)：采用高爾頓釘板現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)的方式引出關(guān)鍵知識點(diǎn)，讓學(xué)生從總體上了解本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)和要求，促進(jìn)學(xué)生在后面各個教學(xué)環(huán)節(jié)里主動圍繞目標(biāo)進(jìn)行探索。（3）課前摸底：通過提問求積分的傳統(tǒng)方法、復(fù)化公式的誤差等形式引出關(guān)鍵知識點(diǎn)，讓學(xué)生從總體上了解學(xué)習(xí)任務(wù)和要求，促進(jìn)學(xué)生在后面各個教學(xué)環(huán)節(jié)里主動圍繞目標(biāo)進(jìn)行探索。（4）參與式學(xué)習(xí)：通過演繹推導(dǎo)、討論等策略提出外推法的效果，鼓勵學(xué)生大膽猜測和交流，利用自由探索和有效互動促進(jìn)學(xué)生更加積極主動地達(dá)成課程目標(biāo)。（5）課內(nèi)評估：單元知識點(diǎn)講解完成后，通過觀察、提問和互動、解題等形式來檢查學(xué)生對所學(xué)知識點(diǎn)的理解情況，檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成。（6）總結(jié)提升：通過重點(diǎn)概念、方法及應(yīng)用圖示回顧知識點(diǎn)，加深學(xué)生記憶，最后從規(guī)律、方法、應(yīng)用等方面進(jìn)行歸納提升。

（二）具體實(shí)施方案

以智能機(jī)器人切蔬菜做沙拉的場景引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，機(jī)器人自由曲線運(yùn)動的位置規(guī)劃問題的核心技術(shù)為求解定積分問題。高階能力提升，補(bǔ)充目前機(jī)器人自由曲線運(yùn)動位置規(guī)劃的一般方法為用三次樣條插值函數(shù)逼近準(zhǔn)確函數(shù)后，對其求差分的導(dǎo)數(shù)近似，代入穩(wěn)定控制器后為一個優(yōu)化問題，最優(yōu)參數(shù)的確定便涉及求解多個定積分，將實(shí)際智能科技技術(shù)分解為學(xué)生能夠通過學(xué)習(xí)課程知識點(diǎn)可以達(dá)到的目標(biāo)，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索精神。

直接推導(dǎo)變步長梯形公式余項(xiàng)得出Romberg求積稍顯生硬，很多漂亮的數(shù)學(xué)公式背后是數(shù)學(xué)家苦苦探尋得到的，將冰冷的數(shù)學(xué)公式呈現(xiàn)給學(xué)生不利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神，也并非提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效手段。我國當(dāng)代著名計(jì)算數(shù)學(xué)家陳傳淼先生在紀(jì)念劉徽“割圓術(shù)”1 753周年時首次談對劉徽數(shù)學(xué)思想的新認(rèn)識，延續(xù)王能超教授破解“割圓術(shù)”之謎的發(fā)現(xiàn)，揭開了“劉徽神算”的神秘面紗［8］?！案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，劉徽采用外推的思想計(jì)算了3 072邊形面積，得到π的近似值3 927/1 250（3.141 6）。“劉徽神算”中的外推思想比Richardson提出外推法早了16個世紀(jì)。

在教學(xué)時通過數(shù)形結(jié)合給學(xué)生講述劉徽的方田（圖1中的ABEF為“方田”，面積記為Tn），從而得到圓面積S*的區(qū)間范圍（S2n，S2n+（S2n-Sn）），再逐步導(dǎo)出外推式，在逼近的過程中，圓內(nèi)接正2n邊形面積與正n邊形面積的偏差S2n-Sn作為校正量，生成圓面積S*的強(qiáng)近似值，從而舍棄了圓的外切多邊形的計(jì)算，相比阿基米德的窮竭法顯著地節(jié)省了計(jì)算量，劉徽用192邊形和96邊形面積進(jìn)行加工的結(jié)果相當(dāng)于3 072邊形的面積，在教學(xué)過程中讓學(xué)生跟著數(shù)學(xué)家的思維進(jìn)行發(fā)現(xiàn)和探索，感受外推技巧的神奇，弘揚(yáng)我國數(shù)學(xué)家不斷探索的數(shù)學(xué)精神。之后，通過推演與學(xué)生共同探討變步長梯形法的計(jì)算規(guī)律，由復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)可得

圖1 劉徽“割圓術(shù)”中的方田ABEF

完全延續(xù)“劉徽神算”的外推思想，并驗(yàn)證其為復(fù)化Simpson序列Sn。類似的思想得到具有5次代數(shù)精度的Newton-Cotes序列以及具有7次代數(shù)精度的Romberg序列。

結(jié)語

經(jīng)典算法的構(gòu)造思想在現(xiàn)代科學(xué)算法的構(gòu)造中起著舉足輕重的作用，并且對數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造方法有一定的創(chuàng)新導(dǎo)向作用。數(shù)學(xué)是描述世界的一門語言，在這門語言上建立了一套理論體系。華羅庚在和王元院士一起編寫的《數(shù)學(xué)模型選談》［9］中開門見山地提出了他在多年具體實(shí)踐中體會到的普及數(shù)學(xué)方法的三個原則，即“為誰？”“什么技術(shù)？”“如何推廣？”?；A(chǔ)科學(xué)怎樣和生產(chǎn)實(shí)踐緊密而有效地結(jié)合起來，這就是數(shù)學(xué)建模的過程。模型的求解就需要用到現(xiàn)代的數(shù)值方法，數(shù)值方法為模型服務(wù)，最終目標(biāo)是回答現(xiàn)實(shí)問題、解決現(xiàn)實(shí)問題。Romberg求積是非常經(jīng)典的且實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)值積分方法，其具有精度高、便于程序?qū)崿F(xiàn)、收斂快等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于科學(xué)工程、人工智能、機(jī)電工程學(xué)及生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域等，計(jì)算機(jī)輔助制造依賴于對指定路徑上的運(yùn)動的精確控制。在電影工業(yè)中，計(jì)算機(jī)生成的動畫、計(jì)算機(jī)游戲、虛擬現(xiàn)實(shí)應(yīng)用面臨相同的問題［10］。正是面對如此廣泛的實(shí)際應(yīng)用問題，如何教才能讓學(xué)生學(xué)會、學(xué)懂、學(xué)之有興趣、學(xué)之有所用，是值得我們深思的。課程思政并非口號，需要在課堂中自然融入科學(xué)研究和創(chuàng)新創(chuàng)造精神，發(fā)揮小課堂的大作為——立德樹人。