一道“弦圖”結(jié)構(gòu)的中考題的分析與挖掘

張希

摘 要：本文對一道內(nèi)涵豐富、蘊含數(shù)學文化的中考題進行多視角分析，理清幾何結(jié)構(gòu)^［1］與代數(shù)表達之間的關(guān)聯(lián)，得到多種解法； 通過母題開發(fā)，得到系列好題.在解題教學中，不僅提高學生的解題能力^［2］，還促進幾何直觀、推理能力、運算能力等核心素養(yǎng)的發(fā)展，向?qū)W生滲透中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化.

關(guān)鍵詞：數(shù)學文化；幾何結(jié)構(gòu);代數(shù)表達;解題教學;核心素養(yǎng)

1 “弦圖”溯源

我國古代數(shù)學家趙爽在他創(chuàng)制的“勾股圓方圖”中，利用圖1，通過數(shù)形結(jié)合，給出了勾股定理的詳細證明.后人稱之為“趙爽弦圖”.這是眾多證明勾股定理的方法中最簡潔、最巧妙的.

趙爽的證明方法實現(xiàn)了“勾股定理”的一般化，其證明過程有圖為證，用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性.趙爽證明勾股定理的方法將代數(shù)和幾何緊密結(jié)合，使之互不可分，該證明方法被哈佛大學教授庫里奇稱為“最省力的證明”.因此，“趙爽弦圖”被選為2002年國際數(shù)學家大會會徽，現(xiàn)在這個標志也成了中國數(shù)學會的標志.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》^［3］把“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”作為一條課程的基本理念，并具體指出：通過生動、豐富的事例，了解數(shù)學發(fā)展過程中若干重要事件、重要人物與重要成果，初步了解數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展的過程，體會數(shù)學對人類文明發(fā)展的作用，加深對數(shù)學的理解.

由此可見，勾股弦圖作為一種初中重要的數(shù)學文化，應(yīng)當要充分發(fā)揮其價值.而勾股弦圖又是一種解決特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學問題的模型，是一種數(shù)學的思想方法，有助于發(fā)展學生運算能力、抽象能力和推理能力，這是《標準（2022版）》^［4］的重要要求，也是教材引入趙爽弦圖的意圖和價值.

正因如此，“趙爽弦圖”近年來已成為各地中考取材的熱點.本文通過分析和挖掘2023年杭州市中考數(shù)學第10題，得到多種解法與系列好題，從而向?qū)W生滲透中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化.

2 原題呈現(xiàn)

第二十四屆國際數(shù)學家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”.如圖2，在由四個全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE.設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1∶n，tanα＝tan²β，求n.

A. 5B. 4C. 3D. 2

從命題視角看，本題給出兩個角度的三角函數(shù)關(guān)系，進而求解兩個正方形的面積之比.本題體現(xiàn)“弘揚數(shù)學文化，彰顯育人價值”的理念，融代數(shù)、幾何、三角函數(shù)于一題的命題導向；涵蓋三角形全等、勾股定理、黃金分割、三角函數(shù)、圖形面積等知識；考查學生的閱讀能力，文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言與圖形語言的能力，考查學生的構(gòu)圖能力、運算求解能力、推理論證能力；探索了數(shù)量關(guān)系的不變性，從中歸納出代數(shù)表達；也考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.

3 解法展示

從圖形結(jié)構(gòu)看，2023年杭州市中考數(shù)學第10題有“弦圖”結(jié)構(gòu).從解題思路上看，要求n的值，常見的思路是對三角形邊長設(shè)元，表示α與β的正切值，利用正方形的面積比值，列出等量關(guān)系求解.從已知條件出發(fā)設(shè)元列式，通過代數(shù)推理求解.因為本題也有特殊的數(shù)量關(guān)系，故還可以用華羅庚的優(yōu)選法黃金比求解.

本題通過設(shè)元將所求問題與黃金分割、三角函數(shù)等知識聯(lián)系起來，培養(yǎng)學生多種途徑分析問題、解決問題的能力，體現(xiàn)了解決問題方法的多樣性.如何在復雜圖形中識別基本圖形以及圖形的幾何結(jié)構(gòu)，抽出關(guān)鍵圖形，轉(zhuǎn)化為熟悉結(jié)構(gòu)，如何構(gòu)建幾何結(jié)構(gòu)與代數(shù)表達之間的關(guān)聯(lián)，尋找通性通法，獲得解題思路是本題的難點.在此過程中，促進了學生幾何直觀、推理能力、運算能力等核心素養(yǎng)的發(fā)展.

4 試題開發(fā)

2023年杭州市中考數(shù)學第10題的結(jié)構(gòu)特征、解題方法具有代表性和可衍生性.我們開發(fā)系列子題，這也是解題教學中提高教學效率的重要途徑，使學生靈活應(yīng)用原題中的幾何結(jié)構(gòu)與代數(shù)表達之間的關(guān)聯(lián)，解決新問題.下面是由原題開發(fā)的系列新題.

通過對母題的改編，改變題干條件，進而得到不同的設(shè)問：求三角函數(shù)值，求面積，求面積比、線段長、線段比等數(shù)量關(guān)系.上述變式從不同路徑衍生得到不同子題，但又緊密圍繞“弦圖”的結(jié)構(gòu)，緊扣“設(shè)元列式，代數(shù)推理”或“借助黃金比，以算代證”的方法.

在研究變式的過程中，教師應(yīng)當引導學生再與母題的解決方法進行比較，探索其本質(zhì)；引導學生明白其中相同的原理，抓住“弦圖”結(jié)構(gòu)帶來的代數(shù)表達的“不變性”.在探索系列題和衍生題時，使得學生深刻理解其中蘊含的數(shù)學方法與解題原理，學會舉一反三解決新問題；系列題教學研究深入、高效，有利于提高學生解題能力；讓學生明白只要改變題干，改變求證，就能得到千千萬萬的題目，但無論如何改變，不變的是問題的本質(zhì)，這就是萬變不離其宗.

5 結(jié)束語

本文所列舉的試題與變式均以“趙爽弦圖”為背景，真正做到了將數(shù)學文化滲入了中考.“弦圖”結(jié)構(gòu)的問題實際上是一種解決特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學問題的模型，是一種數(shù)學的思想方法.“弦圖”結(jié)構(gòu)的問題讓學生經(jīng)歷將復雜幾何問題“代數(shù)化”的過程，探索數(shù)量關(guān)系的不變性，不僅提升了運算能力、推理能力，也鍛煉了化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，這是《標準（2022版）》的重要要求，也是安排2023年杭州市中考數(shù)學第10題的意圖和價值.

中考試卷中數(shù)學文化試題不斷涌現(xiàn).為響應(yīng)學科育人的號召，廣大一線教師應(yīng)當發(fā)揮中考試題的引領(lǐng)和導向作用，借助《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《幾何原本》等著作，將數(shù)學文化真正滲入教材、融入教學，不但可使學生理解數(shù)學、喜愛數(shù)學，還可以激發(fā)學生的愛國熱情和學習激情，真正達成“情感教育”與考試功能的有機結(jié)合，力爭做到“文化搭臺，學生唱戲，教師喝彩”.

參考文獻：

［1］ 王紅權(quán).聯(lián)系促進理解 結(jié)構(gòu)揭示本質(zhì)——一個平面幾何習題的拓展性教學研究［J］.中學教研（數(shù)學），2021（10）：19-22.

［2］ 傅蘭英.一道中考幾何壓軸題的解法分析與推廣［J］.中學教研（數(shù)學），2022（10）：42-45.

［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準 （實驗）［M］.北京：人民教育出版社.2017.

［4］ 中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.