四點(diǎn)共圓角關(guān)聯(lián)　截長(zhǎng)補(bǔ)短線轉(zhuǎn)換

許婧

摘 要：對(duì)一道為“a+b=c型”八年級(jí)奧林匹克幾何問(wèn)題，從三種思路入手，進(jìn)行解法探究.抓住圖形結(jié)構(gòu)特征，厘清圖形幾何性質(zhì)，是探索已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)，是尋找解決這類幾何問(wèn)題突破口的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞：幾何性質(zhì)；解法；變式；反思

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

（第18屆沙雷金幾何奧林匹克通訊賽八年級(jí)組第3題）如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，作正△AED和正△CFD，其中E，C在AB同側(cè)，F(xiàn)，B在CD同側(cè)，直線EF和AC交于點(diǎn)L.求證：FL=CL+LD.

2 幾何性質(zhì)

抓住圖形結(jié)構(gòu)特征，厘清圖形幾何性質(zhì)，是建立已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)，也是解決幾何問(wèn)題的基本策略.如圖2，根據(jù)已知條件，易知△ABC是直角三角形，△AED和△CFD是兩個(gè)具有公共頂點(diǎn)D的正三角形，

這是圖2的基本結(jié)構(gòu)特征，由此易聯(lián)想到“手拉手”幾何模型.從所證結(jié)論來(lái)看，本題需要證明三條線段之間的和差關(guān)系，不妨稱之為“a+b=c型”幾何問(wèn)題.

基本性質(zhì)1 AC=EF.

根據(jù)已知，易知AD=DE，DC=DF，∠ADE=∠CDF=60°，所以∠ADC=∠EDF，從而可得△ADC≌△EDF，AC=EF.

基本性質(zhì)2 ∠ALD=∠ALE=60°.

因?yàn)椤鰽DC≌△EDF，所以∠CAD=∠FED，從而易知A，D，L，E四點(diǎn)共圓.根據(jù)圓的性質(zhì)，易知∠ALD=∠AED=60°，∠ALE=∠ADE=60°，所以∠ALD=∠ALE=60°.

根據(jù)基本性質(zhì)2，易得基本性質(zhì)3.

基本性質(zhì)3 ∠DLF=∠CLF=60°.

由此易知C，F(xiàn)，D，L四點(diǎn)共圓.

顯然，通過(guò)A，D，L，E四點(diǎn)共圓，溝通了∠ALD與∠AED、∠ALE與∠ADE之間的數(shù)量關(guān)系，即∠ALD=∠AED=60°，∠ALE=∠ADE=60°，所以∠ALD=∠ALE=60°.由此也得到了∠DLF=∠CLF=60°.這些性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵條件，借助60°的角可構(gòu)造等邊三角形，從而能夠?qū)崿F(xiàn)有關(guān)線段之間的相互轉(zhuǎn)換，為利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”解決問(wèn)題創(chuàng)造有利條件.

3 解法探究

思路1：利用“截長(zhǎng)法”證明

證法1：如圖3，在線段FL上取一點(diǎn)G，使LG=CL.

由基本性質(zhì)3，得∠CLF=60°.

∴△CLG是等邊三角形，

∴CL=CG，∠LCG=∠DCF=60°.

∴∠LCD=∠GCF.

又∵CD=CF，

∴△CLD≌△CGF，

∴LD=GF.

從而可得FL=LG+GF=CL+LD.

證法2：如圖4，在線段FL上取一點(diǎn)G，使LG=LD.

由基本性質(zhì)3，得∠DLF=60°.

∴△DLG是等邊三角形，

∴LD=GD，∠LDG=∠CDF=60°.

∴∠CDL=∠FDG.

又∵CD=FD，

∴△CLD≌△FGD，

∴CL=FG.

從而可得FL=LG+FG=LD+CL.

點(diǎn)評(píng)：證法1～2都是“截長(zhǎng)法”，證法1是在線段FL上截取與線段CL相等的線段，然后證明截剩部分與線段LD相等.證法2是在線段FL上截取與線段LD相等的線段，然后證明截剩部分與線段CL相等.這兩種證法的本質(zhì)都是在較長(zhǎng)線段上截取一段等于欲證的兩條較短線段中的一條，然后證明截剩部分等于另一條較短線段.對(duì)于“a+b=c型”幾何問(wèn)題，都可考慮利用“截長(zhǎng)法”解決問(wèn)題.

思路2：利用“補(bǔ)短法”證明

證法3：如圖5，在線段AL上取一點(diǎn)G，使LG=LD.

由基本性質(zhì)2，得∠ALD=60°.

∴△LDG是等邊三角形，

∴DL=DG，∠LDG=∠ADE=60°.

∴∠ADG=∠EDL.

又∵∠ADC=∠EDF=90°，

∴∠CDG=∠FDL.

又∵CD=FD，

∴△CDG≌△FDL，

∴CG=FL.

從而可得FL=CL+LG=CL+LD.

點(diǎn)評(píng)：這種證法不唯一，也可以通過(guò)△ADG≌△EDL證明AG=EL.根據(jù)基本性質(zhì)1，得AC=EF，從而可得CG=FL.

證法4：如圖6，延長(zhǎng)DL到點(diǎn)G，使LG=CL，連接CG.

由基本性質(zhì)2，得∠ALD=60°.

∴∠CLG=60°.

∴△CLG是等邊三角形，

∴CL=CG，∠GCL=∠DCF=60°.

∴∠DCG=∠FCL.

又∵CD=CF，

∴△DCG≌△FCL，

∴DG=FL.

從而可得FL=LG+LD=CL+LD.

證法5：如圖7，延長(zhǎng)LD到點(diǎn)G，使LG=FL，連接FG.

由基本性質(zhì)2，得∠ALE=60°.

∴△LFG是等邊三角形，

∴FG=FL，∠GFL=∠DFC=60°.

∴∠DFG=∠CFL.

又∵DF=CF，

∴△DFG≌△CFL，

∴DG=CL.

從而可得FL=LD+DG=LD+CL.

證法6：如圖8，延長(zhǎng)LC到點(diǎn)G，使LG=FL，連接FG.

由基本性質(zhì)2，得∠ALE=60°.

∴∠FLG=60°，

∴△LFG是等邊三角形，

∴FG=FL，∠GFL=∠DFC=60°.

∴∠CFG=∠DFL.

又∵FC=FD，

∴△CFG≌△DFL，

∴GC=LD.

從而可得FL=CL+GC=CL+LD.

點(diǎn)評(píng)：證法3～6都是“補(bǔ)短法”，這種證法有兩種基本思路，一是將較短線段a（或線段b）進(jìn)行延長(zhǎng)，使得延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段b（或線段a），然后利用全等三角形的性質(zhì)證明a+b=c；二是將較短線段a（或線段b）進(jìn)行延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分的長(zhǎng)度為d，使a+d=c，然后利用全等三角形的性質(zhì)證明b=d即可.對(duì)于“a+b=c型”幾何問(wèn)題，都可考慮利用“補(bǔ)短法”解決問(wèn)題.

思路3：利用特殊圖形的性質(zhì)證明

證法7：（利用角平分線的性質(zhì)證明）如圖9，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥LD，F(xiàn)H⊥LC，垂足分別為G，H.

由基本性質(zhì)3，得∠DLF=∠CLF=60°，

∴LF平分∠CLD，

∴FG=FH.又∵FL=FL，

∴△FGL≌△FHL，∴LG=LH.

又∵∠HFL=30°，

∴FL=2LH=LG+LH.

易知△FGD≌△FHC，∴DG=CH.

∴FL=LG+CL+CH=LG+CL+DG=LD+CL.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圖形的基本結(jié)構(gòu)特征，∠DLF=∠CLF=60°，即LF是∠CLD的平分線，故可考慮利用角平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題.由此可以看出，角平分線的性質(zhì)也是證明線段相等的常用方法.

證法8：（利用托勒密定理證明）如圖10，由基本性質(zhì)3，得∠DLF=60°.

又∵∠DCF=60°，

∴∠DLF=∠DCF，

∴L，D，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓.

由托勒密定理，得FL·CD=CL·DF+LD·CF.

又∵CD=DF=CF，

∴FL=CL+LD.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圖形的基本結(jié)構(gòu)特征，易得到L，D，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，從而可考慮利用托勒密定理解決問(wèn)題.這種證法反映了問(wèn)題的本質(zhì)特征和命題背景，證明過(guò)程非常簡(jiǎn)潔，是本題的一種最優(yōu)證法.由此可以看出，托勒密定理是解決與圓內(nèi)接四邊形有關(guān)的線段長(zhǎng)度問(wèn)題的基本工具.

4 問(wèn)題變式

如圖11，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，作正△AED和正△CFD，其中E，C在AB同側(cè)，F(xiàn)，B在CD同側(cè)，直線EF和AC交于點(diǎn)L，直線EF和BC交于點(diǎn)G.

求證：FG=|LD-CL|.

限于篇幅，證明從略，請(qǐng)讀者自行證明.

5 解題反思

5.1 抓住圖形結(jié)構(gòu)特征，突破問(wèn)題解決瓶頸

抓住圖形結(jié)構(gòu)特征，厘清圖形幾何性質(zhì)，是探索已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)，是尋找解決幾何問(wèn)題突破口的關(guān)鍵.當(dāng)已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系不明顯時(shí)，需構(gòu)造輔助線，使已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系外顯化，從而突破問(wèn)題解決瓶頸.在解決本題的過(guò)程中，借助“四點(diǎn)共圓”實(shí)現(xiàn)了已知角與未知角的關(guān)聯(lián)，為理清圖形幾何性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)，為“截長(zhǎng)補(bǔ)短”實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)換找到了突破口.

5.2 夯實(shí)“四基”“四能”，培養(yǎng)創(chuàng)新素養(yǎng)

2022版新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的初中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有：運(yùn)算能力、抽象能力、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí).上述賽題的解法探究中，“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是解決“a+b=c型”幾何問(wèn)題的最基本的思想與方法，是學(xué)生應(yīng)該掌握的基本技能，也是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).只有這樣，學(xué)生才能從多角度思考問(wèn)題，創(chuàng)新解決問(wèn)題思路，從不同視角給出問(wèn)題的創(chuàng)新解法，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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