帶粗糙核的分數(shù)次積分算子的交換子在Morrey－type空間上的加權(quán)有界

黃慧娟,王子雄,馬江山*

(1.吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 吉首 416000;2.上饒師范學院數(shù)學與計算機科學學院,江西 上饒 334001)

1 引言及主要結(jié)論

對給定的0＜α＜n,分數(shù)次積分算子(或Reisz勢算子)Iα定義為:

同樣地,帶粗糙核的分數(shù)次積分算子IΩ,α可以定義為:

其中Ω ∈Ls(Sn－1) ,1＜s≤∞是Rn上的零次齊次函數(shù),即對任意的λ＞0,x∈Rn有Ω(λx)＝Ω(x) 。

眾所周知,分數(shù)次積分算子在調(diào)和分析中有著十分重要的地位,有界性的研究也是算子性質(zhì)研究中的重要板塊之一。哈代－利特爾伍德－索博列夫(Hardy－Littlewood－Sobolev)定理[1]是分數(shù)次積分算子的一個著名的結(jié)果,即Iα是Lp空間上的有界算子。另外,陸(Lu)等人在文獻[2]中得到了IΩ,α在Lp空間以及加權(quán)Lp空間中的有界性。

有界平均振蕩空間BMO最初是1960年左右由約翰(John)和尼倫伯格(Nirenberg)在研究一類非線性偏微分方程問題時提出,具體定義如下:

定義1.1[3]BMO空間定義為:

與此同時,由帶粗糙核的分數(shù)次積分算子IΩ,α和函數(shù)b∈BMO生成的具有粗糙核的分數(shù)次積分算子的交換子的定義如下:

定義1.2 設(shè)b∈BMO,其中b是Rn上的一個局部可積函數(shù),對0＜α＜n和粗糙核Ω∈Ls(Sn－1) ,1＜s≤∞,則b和IΩ,α所生成的交換子定義為:

其中,當Ω(x) ≡1時,稱為分數(shù)次積分算子的交換子。

交換子在各類經(jīng)典的空間上的有界性已有豐富的研究結(jié)果,如:交換子在Lp上的加權(quán)有界性參見文獻[2];在加權(quán)Morrey空間上的有界性見文獻[4];在Herz型Hardy空間上的加權(quán)有界性見文獻[5]。隨后,王(Wang)[6]證明了交換子是下述新型加權(quán)Morrey空間上的有界算子。

2017 年,Wang在文獻[6－7]中定義了一類新型加權(quán)Morrey空間,并得到了分數(shù)次積分算子在這類新型加權(quán)Morrey空間上的有界性。為了獲得加權(quán)估計的結(jié)果,定義1.3和定義1.4首先給出一些關(guān)于權(quán)函數(shù)類的定義和結(jié)論,具體內(nèi)容讀者可參見文獻[8－9]。定義1.5再介紹Wang定義的新型加權(quán)Morrey空間。

定義1.3[8]設(shè)0＜p＜∞,稱權(quán)函數(shù)ω∈Ap,如果存在一個常數(shù)C＞0,使得對Rn上所有的球體B都滿足

其中p′是p的共軛。特別地,當p＝1時,若存在一個常C＞0,使得

則稱權(quán)函數(shù)ω∈A1。另外,定義A∞＝∪1≤p＜∞Ap。

定義1.4[9]對于1＜p,q＜∞,稱權(quán)函數(shù)ω∈Ap,q,如果存在一個常數(shù)C＞0,使得對Rn上所有的球體B都滿足

那么稱權(quán)函數(shù)ω∈Ap,q。對于給定的權(quán)函數(shù)ω以及勒貝格可測集E,ω(E)表示加權(quán)測度。稱一個權(quán)函數(shù)ω滿足雙倍條件,如果存在一個常數(shù)C＞0,使得對Rn上任意的球體B有:

根據(jù)文獻[10],如果ω∈A∞,那么ω滿足雙倍條件即不等式(1)。此外,如果ω∈A∞,那么對任意球體B和B的任意可測子集E,存在一個獨立于B和E的正數(shù)δ＞0,使得

以下將介紹Wang在文獻[6]中定義的加權(quán)Morrey－type空間Mp,θ(v,u) 。

設(shè)0≤k＜1,θ(· ) 是定義在 (0,＋∞) 上的非負增函數(shù)并且滿足以下一類Dk條件:

其中C1＞0且不依賴于ξ、ξ＇,則Mp,θ(v,u) 的定義如下:

定義1.5[6]設(shè)1≤p＜∞,0≤k＜1,且θ滿足Dk條件,新型加權(quán)Morrey空間定義為:

其中范數(shù)定義為:

同時,從文獻[6]中可得到了分數(shù)次積分算子的交換子在此類Morrey空間上的有界估計,具體結(jié)論如下:

定理A[6]令0＜α＜n,1＜和,并且ω∈Ap,q。假設(shè)對,θ滿足Dk條件,那么是從到的有界算子。

在此基礎(chǔ)上,受文獻[11]證明了奇異積分算子交換子是相關(guān)于θ的加權(quán)Morrey－type 空間Mp,θ(v,u) 上的有界算子的啟發(fā),本文將考慮帶粗糙核的分數(shù)次積分算子交換子在空間上的有界性。本文主要結(jié)論如下:

定理1.1 對于0 ＜α＜n,設(shè)是帶粗糙核的分數(shù)次積分算子的交換子,且Ω ∈以及,則存在一個與f無關(guān)的常數(shù)C＞0,使得

2 預備知識

引理2.1[2]令0＜α＜n,1＜s′＜p＜,并且。假設(shè)Ω(x),b∈BMO(Rn) 且ω(x)s′∈,那么存在一個與f無關(guān)的常數(shù)C,使得

引理2.2[2]令0＜α＜n,1≤p＜且,當p＞1時,如果權(quán)函數(shù)ω∈Ap,q,那么ωq∈Aq,并且ω－p′∈Ap′。

引理2.3[10、12]對于任意b∈BMO,有:

(i)對于在Rn中的任意球體B,以及j∈Z＋,那么,

(ii)對于1＜q＜∞,在Rn中的任意球體B,ω( x)∈A∞,那么,

3 主要結(jié)果的證明

設(shè)b∈BMO(Rn) ,當0＜p,q＜∞時,取f∈Mp,θ(ωp,ωq) ,ω(x)s′∈。任取Rn上的球體B＝B(x,r) ,令f＝f1＋f2,其中f1＝fχ2B,f2＝fχ(2B)c,則可得以下分解:

對I1而言,由引理2.2和的定義可得:

于是對上述不等式,利用引理2.3中的(5),有:

又因為對1＜q＜∞,有ωq∈AqA∞,再根據(jù)θ的Dk條件(3)和不等式(2),以及指標滿足δ＞0,0≤k＜直接可得:

類似地,處理J2,只需要將上述J1的估計中應用的引理2.3中的(5)更改為應用引理2.3中的(4),容易得到:

最后對于J3,對于1,利用廣義赫德(H?lder)不等式,有:

其中ω (x)s′∈,根據(jù)引理2.2有,若令φ(y)＝ω(y) －t,則φ∈At,再根據(jù)引理2.3中的(5),可得:

其中最后一個不等式由Ap.q權(quán)函數(shù)類的定義得,再將上式代入J3可得:

綜上I1、I2、J1、J2、J3的估計,再對所有的球體B取上確界,定理得證。