可形變自驅(qū)動(dòng)粒子在不對(duì)稱(chēng)周期管中的定向輸運(yùn)*

郭瑞雪 艾保全

(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,廣州 510006)

粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)被整流為定向運(yùn)動(dòng)是非平衡統(tǒng)計(jì)物理的重要研究?jī)?nèi)容.盡管如此,在活性粒子整流的研究中,粒子通常被視為剛性的.然而,在軟物質(zhì)中,粒子通常具有可變形的性質(zhì).本文重點(diǎn)探討了可形變自驅(qū)動(dòng)粒子在非對(duì)稱(chēng)周期通道中的定向運(yùn)輸行為.由于這些粒子具有可變形的特性,它們可以通過(guò)比自身小的通道.本文通過(guò)數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn),可形變自驅(qū)動(dòng)粒子能夠打破熱力學(xué)平衡,在空間不對(duì)稱(chēng)的條件下產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng).粒子的集體運(yùn)動(dòng)方向完全由通道的不對(duì)稱(chēng)性決定.本文還發(fā)現(xiàn),增加自驅(qū)動(dòng)速度和粒子軟化都能促進(jìn)粒子的整流,而增大密度和旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散則會(huì)阻礙粒子的定向運(yùn)動(dòng).本文的研究成果有助于理解可形變粒子在受限結(jié)構(gòu)中的定向運(yùn)動(dòng)行為,并為相關(guān)軟物質(zhì)馬達(dá)的實(shí)驗(yàn)研究提供理論支持.

1 引言

作為生物學(xué)和物理學(xué)的前沿課題之一,分子馬達(dá)的定向運(yùn)動(dòng)一直備受關(guān)注.這些微小的分子馬達(dá)在生物體內(nèi)能夠?qū)TP 水解能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能,從而產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng)[1-3].它們?cè)诩?xì)胞內(nèi)的物質(zhì)定向輸運(yùn)方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用,并幾乎參與了生物體所有的生命活動(dòng),包括肌肉收縮、細(xì)胞運(yùn)動(dòng)和基因復(fù)制[4,5].因此,深入研究分子馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)特性具有重要意義.為了更深入地了解分子馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)特性,國(guó)內(nèi)外學(xué)者從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面進(jìn)行了全面的研究.其中,布朗馬達(dá)作為重要的理論模型為進(jìn)一步探究分子馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)特性提供了理論支持[6-8].

布朗馬達(dá)是一種利用時(shí)間或空間的不對(duì)稱(chēng)性將隨機(jī)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為定向輸運(yùn)的非平衡系統(tǒng).該輸運(yùn)機(jī)制在物理學(xué)、生物學(xué)、納米技術(shù)等領(lǐng)域引起了廣泛關(guān)注和深入研究[9-13].根據(jù)非平衡驅(qū)動(dòng)的差異,布朗馬達(dá)模型可分為搖擺棘輪[14-17]、閃爍棘輪[18-21]和關(guān)聯(lián)棘輪[22-24]3 種主要類(lèi)型.搖擺棘輪中無(wú)偏向的外力引起系統(tǒng)的瞬態(tài)時(shí)間不對(duì)稱(chēng),進(jìn)而在周期不對(duì)稱(chēng)勢(shì)中發(fā)生定向運(yùn)動(dòng).閃爍棘輪模型中粒子在空間不對(duì)稱(chēng)的勢(shì)場(chǎng)隨機(jī)在兩態(tài)或多態(tài)間躍遷或者采取勢(shì)的時(shí)間調(diào)制來(lái)形成定向運(yùn)動(dòng).關(guān)聯(lián)棘輪模型主要考慮色噪聲對(duì)整流的影響.其他類(lèi)型的布朗馬達(dá)模型則可視作上述3 種類(lèi)型的擴(kuò)展或組合,比如驅(qū)動(dòng)蛋白的頭部彈性連接,而勢(shì)在兩態(tài)之間閃爍的模型可歸為閃爍的棘輪模型[25].研究各類(lèi)布朗棘輪模型有助于深入理解定向輸運(yùn)行為,并為優(yōu)化定向輸運(yùn)提供可能性[26].

在布朗馬達(dá)系統(tǒng)中,以往對(duì)于不對(duì)稱(chēng)通道中的整流運(yùn)動(dòng)的研究已經(jīng)覆蓋了多種類(lèi)型的粒子,包括活性粒子[27-29]、極性粒子[30]和手性粒子[31]等.這些研究中粒子都被看作是剛性的.然而,在細(xì)胞單層、發(fā)育中的組織、壓縮泡沫和乳劑等軟物質(zhì)系統(tǒng)中,粒子往往是可形變的.而且,軟/可形變粒子的形變特性會(huì)強(qiáng)烈影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為[32-36].例如,可形變粒子可以通過(guò)明顯小于粒子尺寸的通道并進(jìn)行定向輸運(yùn)[37].因此,在受限結(jié)構(gòu)中可形變粒子如何影響定向運(yùn)動(dòng)是一個(gè)有趣但尚未解決的問(wèn)題.

為了解決這一問(wèn)題,本文研究了在二維不對(duì)稱(chēng)周期管中可形變的自驅(qū)動(dòng)粒子,并重點(diǎn)考慮了可形變特性對(duì)粒子的定向輸運(yùn)的影響.對(duì)于可形變自驅(qū)動(dòng)粒子,自驅(qū)動(dòng)會(huì)破壞熱力學(xué)平衡,在空間不對(duì)稱(chēng)條件下產(chǎn)生定向輸運(yùn).粒子的集體運(yùn)動(dòng)方向完全由周期管的不對(duì)稱(chēng)性決定.增大粒子的自驅(qū)動(dòng)速度和粒子軟化都會(huì)促進(jìn)粒子的整流,而增大密度和旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散則會(huì)阻礙粒子的整流.此外,在大的自驅(qū)動(dòng)速度下,粒子的可形變特性對(duì)定向輸運(yùn)的影響更加顯著.

2 模型和方法

考慮N個(gè)可形變自驅(qū)動(dòng)粒子在二維周期不對(duì)稱(chēng)管中的運(yùn)動(dòng).二維不對(duì)稱(chēng)周期通道的形狀可以用其半寬度來(lái)描述(如圖1(a)所示):

圖1 (a)可形變粒子在二維不對(duì)稱(chēng)周期通道中運(yùn)動(dòng)的示意圖,通道的形狀利用其半寬度來(lái)描述((1) 式),x 方向施加周期邊界條件,y 方向 施加反射邊界條 件;(b)由20 個(gè)頂點(diǎn) 構(gòu)成 的多邊形粒子,{xm,c,ym,c}表示多 邊形m 的質(zhì)心,{xm,i,ym,i} 表示 多邊形 m的第 i 頂點(diǎn)的位置Fig.1.(a) Scheme of deformable particles moving in a two-dimensional asymmetric periodic channel,the shape of the channel is described by the half width of the channel(Eq.(1)),periodic boundary condition is imposed in the x -direction and reflection boundary condition in the y -direction;(b) the deformable polygonal particles with 20 vertices,{xm,i,ym,i} is the position of vertexi in the polygon m and {xm,c,ym,c} is the center of mass of the polygon m.

其中LL1+L2為通道的周期.通道的最小寬度和最大寬度分別為W和2H+W.定義一個(gè)不對(duì)稱(chēng)參數(shù)Δ(L1-L2)/L來(lái)描述通道的不對(duì)稱(chēng)性,當(dāng)Δ0 時(shí)通道是完全對(duì)稱(chēng)的.在通道的x方向施加周期性邊界條件,在y方向則施加反射邊界條件.類(lèi)似的幾何結(jié)構(gòu)被廣泛地應(yīng)用于非平衡定向輸運(yùn)的研究中[38,39].

其中,第1 項(xiàng)是收縮項(xiàng),它將頂點(diǎn)之間的連接視為彈簧常數(shù)為kl、平衡長(zhǎng)度為l0的彈簧.第2 項(xiàng)是粒子面積am的二次項(xiàng),描述其不可壓縮性,其中ka和a0分別表示面積剛度模量和目標(biāo)面積.第3 項(xiàng)是彎曲項(xiàng),其中kb表示彎曲剛度.無(wú)量綱的形狀參數(shù)A(Nvl0)2/(4πa0) 控制粒子的形變能力,A越大則表示粒子越軟.對(duì)于具有Nv個(gè)頂點(diǎn)的規(guī)則多邊形有AvNvtan(π/Nv)/π,且當(dāng)Nv→∞時(shí),Av1,這意味著頂點(diǎn)可以形成平滑的幾何圖形.在幾何學(xué)中,標(biāo)準(zhǔn)圓對(duì)應(yīng)于A/Av1,正五邊形對(duì)應(yīng)于A/Av1.16,正六邊形對(duì)應(yīng)于A/Av1.1.

可形變粒子的質(zhì)心的自驅(qū)動(dòng)速度大小為v0,方向?yàn)閚m(cosθm,sinθm),其中θm滿(mǎn)足如下方程:

其中,Dθ為旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散系數(shù).通常情況下,熱擴(kuò)散可以用高斯白噪聲來(lái)描述,因此,這里的ξm(t) 表示具有單位方差和零均值的高斯白噪聲,滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)關(guān)系:〈ξm(t)〉0,〈ξm(t)ξm(t′)〉δ(t-t′).

構(gòu)成多邊形的頂點(diǎn)i的運(yùn)動(dòng)可以用過(guò)阻尼朗之萬(wàn)方程描述:

為了計(jì)算粒子之間的排斥相互作用,將每個(gè)頂點(diǎn)都視為直徑δl0的圓盤(pán)(如圖1(b)所示).通過(guò)將接觸的多邊形上的重疊粒子間的排斥相互作用相加,從而得到了總的排斥相互作用能為[34]

式中,kr是排斥相互作用的強(qiáng)度,Θ是Heaviside階躍函數(shù).

由于可形變粒子沿y方向的運(yùn)動(dòng)受到通道邊界的限制,因此只關(guān)注沿x方向的集體運(yùn)動(dòng).在足夠長(zhǎng)的時(shí)間下,粒子沿x方向的平均速度可以表示為

模擬中采用隨機(jī)歐拉算法對(duì)方程(3)和方程(4)進(jìn)行數(shù)值積分,積分時(shí)間步長(zhǎng) dt0.001,總積分時(shí)間t105,以確保系統(tǒng)達(dá)到非平衡穩(wěn)態(tài).無(wú)特殊說(shuō)明時(shí),將設(shè)置參數(shù)為μ1,N100,Nv20,klka1,kb0,kc10,L20,W4,H4,以及Dθ0.01.

3 結(jié)果與討論

3.1 通道不對(duì)稱(chēng)性對(duì)定向運(yùn)動(dòng)的影響

圖2 描述了不同自驅(qū)動(dòng)速度v0的情況下,粒子的平均速度Vs隨不對(duì)稱(chēng)參數(shù)Δ的變化關(guān)系.研究結(jié)果表明,自驅(qū)動(dòng)速度能夠使系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡,從而發(fā)生定向輸運(yùn),且定向運(yùn)動(dòng)方向完全由通道的不對(duì)稱(chēng)性決定的.當(dāng)Δ ＜0時(shí),粒子的平均速度為正,Δ ＞0時(shí),粒子的平均速度為負(fù),Δ0時(shí),定向輸運(yùn)消失.這種現(xiàn)象可以解釋為,粒子傾向于向斜坡平緩的一側(cè)移動(dòng).當(dāng)Δ ＜0時(shí),通道的最大寬度的左側(cè)更陡,因此,粒子更容易向更平穩(wěn)的右側(cè)移動(dòng),即〈Vs〉＞0.同理,當(dāng)Δ ＞0時(shí),〈Vs〉＜0.當(dāng)Δ0時(shí),通道是完全對(duì)稱(chēng)的,粒子在兩個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)的概率相同,因此 〈Vs〉0.因此,定向運(yùn)動(dòng)的方向完全由通道的不對(duì)稱(chēng)性決定,N,A,v0等參數(shù)僅影響平均速度的大小,而不影響運(yùn)動(dòng)方向.因此,在下文討論中,只考慮Δ ＜0 的情況,設(shè)置Δ-0.8,并通過(guò)改變密度φ、形狀參數(shù)A、自驅(qū)動(dòng)速度v0和旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散系數(shù)Dθ來(lái)研究可形變粒子的定向輸運(yùn).

圖2 平均速度〈Vs〉隨不對(duì)稱(chēng)參數(shù) Δ 在不同 v0 下的變化曲線(xiàn),A1.16Fig.2.Average velocity 〈Vs〉versus the asymmetric parameter Δ for different v0 at A1.16.

3.2 自驅(qū)動(dòng)速度對(duì)定向運(yùn)動(dòng)的影響

圖3 為不同φ值下,平均速度 〈Vs〉隨自驅(qū)動(dòng)速度v0的變化曲線(xiàn).其中,可以觀察到較大的v0會(huì)促進(jìn)可形變粒子的整流.當(dāng)v0→0時(shí),系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),〈Vs〉→0.當(dāng)v0不斷增大時(shí),非平衡驅(qū)動(dòng)增強(qiáng),持續(xù)長(zhǎng)度Lpv0/Dθ ?L,使粒子容易通過(guò)熵壘,便于粒子通過(guò)不對(duì)稱(chēng)管道.另外,發(fā)現(xiàn)隨著速度的增大,粒子的拉伸效應(yīng)會(huì)變得更加顯著,拉伸效應(yīng)也會(huì)進(jìn)一步促進(jìn)粒子的整流.然而,當(dāng)φ較大時(shí),隨著v0的增大,粒子與瓶頸快速接觸會(huì)加劇擁堵,從而會(huì)阻礙棘輪輸運(yùn);但是當(dāng)v0足夠大時(shí),粒子有足夠的動(dòng)能跨越瓶頸.因此當(dāng)φ較大時(shí),〈Vs〉-v0曲線(xiàn)中會(huì)出現(xiàn)凹值的現(xiàn)象.

圖3 平均速度 〈Vs〉隨自驅(qū)動(dòng)速度 v0在不同φ下 的變化曲線(xiàn),A1.16Fig.3.Average velocity 〈Vs〉versus the self-propulsion speed v0 for different φ at A1.16.

3.3 旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散對(duì)定向運(yùn)動(dòng)的影響

圖4 為不同v0時(shí)的平均速度 〈Vs〉隨旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散系數(shù)Dθ的變化曲線(xiàn),從圖中可發(fā)現(xiàn)平均速度〈Vs〉隨Dθ的增大而逐漸減小.這是因?yàn)槌掷m(xù)長(zhǎng)度Lp(Lpv0/Dθ)在逐漸減小,導(dǎo)致粒子通過(guò)通道更加困難.當(dāng)Dθ →∞時(shí),持續(xù)長(zhǎng)度Lp→0,活性粒子變?yōu)楸粍?dòng)粒子,系統(tǒng)中沒(méi)有非平衡驅(qū)動(dòng),因此定向輸運(yùn)消失.

圖4 平均速度 〈Vs〉隨旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散系數(shù) Dθ在不同v0下 的變化曲線(xiàn),A1.16, φ0.625Fig.4.Average velocity 〈Vs〉versus the rotational diffusion coefficient Dθ for different v0 at A1.16 and φ0.625.

3.4 粒子軟化對(duì)定向運(yùn)動(dòng)的影響

形狀參數(shù)A越大,粒子越容易變形和變軟.圖5(a)為不同v0下,平均速度 〈Vs〉隨形狀參數(shù)A的變化關(guān)系.從圖5(a)可以觀察到在較小的v0下,形狀參數(shù)對(duì)平均速度的影響很小,而在較大的v0下,〈Vs〉隨形狀參數(shù)的增大逐漸增大.隨著A的增大,粒子被軟化,這意味著粒子的面積可以增大,甚至大于初始面積.粒子的面積越大,拉伸效應(yīng)就越明顯.因此在v0較大時(shí),形狀參數(shù)A的增大會(huì)促進(jìn)粒子的整流.而v0較小時(shí),粒子的拉伸效應(yīng)不是很明顯,此時(shí)A對(duì)整流的影響較小.圖5(b)描述了〈Vs〉在v0-A平面的相圖,從圖中能夠更清晰地觀察〈Vs〉隨v0和A的變化情況.當(dāng)固定A時(shí),平均速度〈Vs〉隨著速度增大而變大.固定較小v0時(shí),A對(duì)平均速度的影響非常小,當(dāng)固定較大v0時(shí),A對(duì)平均速度的影響較大.

圖5 (a) 平均速度〈Vs〉隨形狀參數(shù)A 在不同v0下的變化曲線(xiàn);(b) 平均速度 〈Vs〉在v0-A 平面的相圖,φ0.625Fig.5.(a) Average velocity 〈Vs〉versus the shape parameter A for different v0 at ?0.625 ;(b) phase diagram of the average velocity 〈Vs〉in the v0-A representation at φ0.625.

3.5 粒子密度對(duì)定向運(yùn)動(dòng)的影響

圖6 為不同v0下的平均速度〈Vs〉隨著密度φ的變化曲線(xiàn).從圖6 可以觀察到密度的增大會(huì)阻礙粒子的定向運(yùn)動(dòng),而且這個(gè)影響在大v0時(shí)比在小v0時(shí)更為顯著.因?yàn)閷?duì)于小v0的情況,粒子有足夠的時(shí)間變形及調(diào)整使其順利通過(guò)瓶頸.而對(duì)于大v0的情況,粒子會(huì)迅速接近瓶頸,粒子數(shù)的增加會(huì)加劇粒子的堵塞,使其通過(guò)通道的難度增大,從而阻礙了棘輪輸運(yùn).

圖6 平均速度 Vs隨密度φ在不同v0下的變化曲線(xiàn),A1.16Fig.6.Average velocity Vs versus the density φ for different v0 at A1.16.

3.6 多粒子和單粒子的對(duì)比

最后,在φ相同的情況下,將多粒子和單粒子運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行比較.在這種情況下,設(shè)置單粒子的面積等于多粒子面積之和.圖7(a)—(c)分別描述了多粒子和單粒子的平均速度 〈Vs〉隨A,v0,Dθ三個(gè)參數(shù)的變化關(guān)系.結(jié)果表明,雖然多粒子和單粒子都可通過(guò)通道瓶頸,但多粒子更能促進(jìn)整流.事實(shí)上,盡管單個(gè)可形變粒子能夠通過(guò)比其自身尺寸更小的通道瓶頸,但當(dāng)它分裂成多個(gè)可形變粒子時(shí),顯然更容易通過(guò)通道瓶頸,從而促進(jìn)粒子的整流.

圖7 φ0.625時(shí),單粒子和多粒子的平均速度〈Vs〉分別隨 A, v0, Dθ 的變化曲線(xiàn)Fig.7.The average velocity of single particle and many particles 〈Vs〉is taken as a function of A, v0,and Dθ at φ0.625.

4 結(jié)論

本文通過(guò)數(shù)值模擬研究了二維不對(duì)稱(chēng)周期通道中的可形變自驅(qū)動(dòng)粒子的定向輸運(yùn).粒子的自驅(qū)動(dòng)速度作為非平衡驅(qū)動(dòng),打破熱力學(xué)平衡,在空間不對(duì)稱(chēng)的條件下產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng).研究結(jié)果表明,粒子的定向運(yùn)動(dòng)方向完全由通道的不對(duì)稱(chēng)參數(shù)決定,粒子更傾向于向較平緩的一側(cè)運(yùn)動(dòng).粒子自驅(qū)動(dòng)速度的增大和粒子的軟化能夠促進(jìn)棘輪輸運(yùn).特別是在大自驅(qū)動(dòng)速度下,粒子的拉伸效應(yīng)會(huì)更加明顯,粒子軟化對(duì)定向輸運(yùn)的促進(jìn)會(huì)更加顯著.然而,密度和旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散的增大會(huì)阻礙粒子的整流.密度的增大會(huì)導(dǎo)致粒子堵塞,使其通過(guò)通道變得更加困難.而旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散的增加則會(huì)導(dǎo)致粒子運(yùn)動(dòng)的持續(xù)長(zhǎng)度減小,同樣使得粒子通過(guò)通道更加困難.當(dāng)密度一定時(shí),相較于單個(gè)可形變粒子,多個(gè)可形變粒子總是促進(jìn)整流的.

細(xì)胞的集體運(yùn)動(dòng)在組織生長(zhǎng)、傷口愈合和免疫反應(yīng)中起著重要的作用,這對(duì)于理解病理機(jī)制,如癌癥和轉(zhuǎn)移的形成也很重要.在本文中,粒子的形狀可以用多自由度來(lái)描述,這比以往用于描述軟/可形變粒子系統(tǒng)的模型更有優(yōu)勢(shì).從結(jié)果來(lái)看,可形變粒子可以通過(guò)明顯小于自身尺寸的通道瓶頸,并進(jìn)行定向輸運(yùn),這不同于以往剛性粒子的結(jié)果.本文的研究結(jié)果有助于理解可形變粒子在受限結(jié)構(gòu)中的輸運(yùn)行為,并為相關(guān)的軟物質(zhì)實(shí)驗(yàn)提供理論支持.期望這些結(jié)果能夠促使細(xì)胞集體運(yùn)動(dòng)的進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)研究,以深入了解與集體細(xì)胞運(yùn)動(dòng)相關(guān)的生物過(guò)程.