小學(xué)數(shù)學(xué)智慧課堂與GeoGebra深度融合的案例分析

梁仕杰 江曉欣

摘? 要：文章主要通過三個小學(xué)數(shù)學(xué)的幾何教學(xué)案例來說明GeoGebra軟件在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。其中，在滲透和了解“不完全歸納法”這一數(shù)學(xué)思想的幾何課型中，教師應(yīng)用GeoGebra軟件，不僅能很好地體現(xiàn)出信息技術(shù)與學(xué)科的深度融合，還能構(gòu)建出數(shù)字化的智慧課堂。使用GeoGebra軟件進(jìn)行教學(xué)，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加高效、直觀和有趣，體現(xiàn)出學(xué)生的智慧學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：GeoGebra;智慧課堂;深度學(xué)習(xí);不完全歸納法

隨著科技的發(fā)展，信息技術(shù)已經(jīng)影響著人們生活的方方面面。教育部在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確指出：合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源，設(shè)計生動的教學(xué)活動，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的變革。在實際問題解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)。因此，在如今的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中以及信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的前提下，教師和學(xué)生的“教”與“學(xué)”的方式也在不斷改變，平板電腦、VR眼鏡、可穿戴電子設(shè)備都出現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中。這些技術(shù)的出現(xiàn)，為學(xué)習(xí)者提供了更自主的學(xué)習(xí)方式、更多的學(xué)習(xí)資源和更廣的學(xué)習(xí)環(huán)境。但是，現(xiàn)在很多的平板課堂、VR課堂，并不是真正意義上的信息技術(shù)與學(xué)科深度融合的智慧課堂，或是深度學(xué)習(xí)的教學(xué)過程更多的是流于形式。因此，本研究會列出幾個GeoGebra軟件與小學(xué)教學(xué)幾何教學(xué)深度融合的智慧學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的案例，以供參考。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)中“不完全歸納法”與GeoGebra的深度融合

GeoGebra對比傳統(tǒng)的教學(xué)，它的優(yōu)勢非常明顯，能為學(xué)生和教師提供直觀的幾何模型，真正做到思維可視化，并為學(xué)生提供了智慧學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的條件。學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)中通過GeoGebra進(jìn)行智慧學(xué)習(xí)，一般需要用“不完全歸納法”來得出相應(yīng)的結(jié)論。

（一）GeoGebra幫助學(xué)生掌握三角形的內(nèi)角和

很多教師都研究過“三角形內(nèi)角和”這一經(jīng)典課。該課是2014年人教版小學(xué)四年級數(shù)學(xué)下冊第五單元“三角形”的最后一個內(nèi)容。在設(shè)計這節(jié)課時，教師應(yīng)思考如何讓所有學(xué)生掌握任意三角形的內(nèi)角和是180°，而不是讓學(xué)生被動接受這個結(jié)果。因此，教師可以利用GeoGebra設(shè)計“任意三角形的內(nèi)角和”的課件（如圖1）。

在該課件中，學(xué)生可以對三角形進(jìn)行任意位置的拖動，隨之，三角形的內(nèi)角度數(shù)也會發(fā)生變化。通過計算，學(xué)生可以得到，無論拖動出來的三角形是什么類型，其內(nèi)角和都是180°。在這里，教師會進(jìn)行一次簡單的演繹推理：“同學(xué)們的三角形是通過自己隨意拖動，在沒有設(shè)定特定的條件下形成的，但大家的三角形的內(nèi)角和都是180°，因此有理由認(rèn)為，任意三角形的內(nèi)角和都是180°。”

針對“內(nèi)角和”這一經(jīng)典課，大部分教師會設(shè)計“量算”和“撕拼”這樣的教學(xué)活動，但由于四年級學(xué)生是以直觀到抽象的思維過程為主，因此不能進(jìn)行嚴(yán)格的演繹推理來證明本課的結(jié)論。而“量算”和“撕拼”都屬于驗證的范圍，實際操作是有誤差的，因此由大量的例子來得出結(jié)論就顯得尤為重要。而GeoGebra則能為學(xué)生提供大量的例子，讓學(xué)生不完全歸納出“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論。

在整個探究的過程中，學(xué)生都是利用這個課件資源進(jìn)行智慧學(xué)習(xí)的。如果學(xué)生愿意進(jìn)行探究，得到的例子將非常多，并可以試圖利用這個課件資源去尋找一個反例反駁這一結(jié)論，而這個過程正是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的過程。學(xué)生在探究的過程中，不僅獲得了“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論，還對結(jié)論進(jìn)行了質(zhì)疑和反思，從而掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，以及養(yǎng)成了反思的思維習(xí)慣。

（二）利用GeoGebra讓學(xué)生直觀感受“任意兩邊之差小于第三邊”

同樣是“三角形”這一單元的內(nèi)容，對學(xué)生而言，“內(nèi)角和”的課堂是比較有趣的，而三角形的三邊關(guān)系則是抽象性和邏輯性都很強(qiáng)。在教材的要求中，學(xué)生只要掌握三角形三邊關(guān)系中的一個即可，即“任意兩邊的和大于第三邊”，而不需要掌握另一個關(guān)系——“任意兩邊之差小于第三邊”。由于教材中沒有直觀的幾何模型讓學(xué)生理解這一關(guān)系，因此教材沒有安排這一內(nèi)容。這時教師可以利用GeoGebra為學(xué)生制作出探究的課件，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容更完整。

學(xué)生在學(xué)習(xí)“任意兩邊之和大于第三邊”這一關(guān)系時，教材事先安排學(xué)生學(xué)習(xí)了“兩點之間線段最短”這一公理，然后利用嚴(yán)格的演繹推理來說明“任意兩邊之和大于第三邊”。因此，教師在教授這一課時，也沒有用GeoGebra讓學(xué)生去驗證這個關(guān)系。而當(dāng)學(xué)習(xí)完這一內(nèi)容時，教師問學(xué)生：“既然三角形的任意兩邊和與第三邊有關(guān)系，那你還會聯(lián)想到什么內(nèi)容？”大部分學(xué)生就會想，任意兩邊的差會跟第三邊有類似的關(guān)系嗎？正是這一個問題，引出了下一節(jié)課的教學(xué)方向。

在教學(xué)“三角形任意兩邊之差小于第三邊”這一內(nèi)容時，教師可以為學(xué)生提供以下的Geogebra課件和學(xué)習(xí)單（如圖2）。在該課件中，學(xué)生可以對三角形進(jìn)行任意拖動，形成不同類型和不同大小的三角形，而對應(yīng)的三角形的各邊的長度也隨之變化。學(xué)生記錄下每次拖動的三角形的數(shù)據(jù)，并在表格中進(jìn)行計算和分析。

在整個探究過程中，學(xué)生利用了GeoGebra課件資源進(jìn)行自主和個性化的探究和分析，最終得到結(jié)論。由于課堂時間只有40分鐘，留給學(xué)生探究的時間不多，因此學(xué)生可以在課后繼續(xù)分析。學(xué)生通過對各個例子的分析與不完全歸納，很容易就得到了“任意兩邊之差小于第三邊”的這一結(jié)論。

上述過程，已經(jīng)體現(xiàn)了學(xué)生的智慧學(xué)習(xí)。同時在課堂上，有部分學(xué)生自覺地把上節(jié)課學(xué)習(xí)的“任意兩邊之和大于第三邊”和本節(jié)課得到的“任意兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行了對比和整合，最終得到了小學(xué)階段很少出現(xiàn)，而學(xué)生又可以理解的結(jié)論：三角形任意邊的取值范圍——兩邊差<第三邊<兩邊和。這是學(xué)生對獲得的新知和舊知進(jìn)行對比和聯(lián)系，從而再獲得新知的過程，也正是本節(jié)課學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的一個體現(xiàn)。

（三）GeoGebra為學(xué)生直觀呈現(xiàn)正方體表面的涂色問題

在2021年人教版小學(xué)五年級數(shù)學(xué)下冊第三單元的“長方體和正方體”中，有這樣一個“探索圖形”的活動課。該課是讓學(xué)生探索這樣的一個問題：將n階正方體的表面涂上顏色，探究其三面涂色的小正方體個數(shù)、兩面涂色的小正方體個數(shù)、一面涂色的小正方體個數(shù)和沒有涂色的小正方體個數(shù)分別有幾個。

首先，這個問題在教材中的作用是，通過解決這個問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想;其次，培養(yǎng)學(xué)生能夠利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題。對這個問題，學(xué)生認(rèn)為無從下手，教師也會認(rèn)為很難在課堂上組織有效的教學(xué)。根本原因是，這是對立體圖形的探究，學(xué)生很難在腦海中直觀地想象，教師能提供的直觀的教具也有限（可能只有1階、2階、3階的正方體），難以讓學(xué)生進(jìn)行有效的觀察并總結(jié)規(guī)律。為了解決上述問題，教師可以在堂課中為學(xué)生提供三種學(xué)習(xí)資源：一是由125個小正體堆積而成的大正方體，其中表面涂上了顏色，這一資源的應(yīng)用是為了幫助空間想象能力比較弱的學(xué)生，在課堂上真正實現(xiàn)“做中研、做中學(xué)”;二是教師利用VR眼鏡，提供沉浸式的學(xué)習(xí)資源，讓學(xué)生戴上眼鏡觀察1至10階正方體的情況，最后總結(jié)出結(jié)論;三是教師利用GeoGebra的課件，提供一個可以改變階數(shù)、自由聚合與離散的正方體，讓學(xué)生進(jìn)行探究。

根據(jù)學(xué)生的上課情況來看，這三種資源都有學(xué)生使用，但大部分學(xué)生都會選擇在平板電腦上使用GeoGebra課件進(jìn)行探究，原因是學(xué)生認(rèn)為這樣的課件比實物的小正方體更方便，相對于VR眼鏡，不用轉(zhuǎn)換場景，不會打斷學(xué)習(xí)的過程。下面是提供給學(xué)生的GeoGebra課件。

可以看到，正方體為聚合狀態(tài)時，其表面涂了顏色的情況（如圖3）;當(dāng)正方體處于離散狀態(tài)時，正方體表面涂色和內(nèi)部涂色的情況（如圖4）。由于這個課件可以自由旋轉(zhuǎn)，學(xué)生在實際操作中，可以任意觀看正方體上下左右前后的涂色情況，從而能直觀觀察出各種涂色的小正方體處在大正方體中的位置。這樣不僅能為學(xué)生直觀展示小正方體的情況，還能為學(xué)生進(jìn)一步探索規(guī)律、形成數(shù)學(xué)思維提供有效的素材。

二、教學(xué)反思

本節(jié)課對學(xué)生而言，難點在于難以想象、難以觀察和難以描述。而教師利用GeoGebra課件，則可以幫助空間想象能力較弱的學(xué)生直接觀察，方便學(xué)生準(zhǔn)確地描述發(fā)現(xiàn)。同時在該課中，學(xué)生不僅使用GeoGebra課件進(jìn)行了探究學(xué)習(xí)，還在這樣的探究活動中，具有了以下的數(shù)學(xué)思維：一是用化繁為簡的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的探究;二是對數(shù)學(xué)信息進(jìn)行不完全歸納，得出結(jié)論;三是用字母表示最終的發(fā)現(xiàn)，以便實際運用。學(xué)生在對問題的探究中，有所發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，并能得出結(jié)論和解決實際問題，這正是這堂課學(xué)生的智慧學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn)。

對這堂課，有點遺憾的是，學(xué)生未能完全使用GeoGebra課件進(jìn)行更深入的探究。該課件除了能顯示各階數(shù)正方體的涂色情況外，還能調(diào)整正方體長寬高的參數(shù)，讓本節(jié)課的結(jié)論得到更多的結(jié)果。

在本研究原來的設(shè)想中，是讓學(xué)生將自己的發(fā)現(xiàn)聯(lián)系起來，得到下面的等式：

（n-2）3=n3-6n2+12n-8

但這個二項展開式已經(jīng)超出小學(xué)生的認(rèn)知水平，因此課堂的最后并沒有再延伸下去，但這為學(xué)生以后學(xué)習(xí)這方面的內(nèi)容提供了一個很好的幾何直觀模型。

三、結(jié)語

通過上面的幾個課例可以看出，小學(xué)的幾何教學(xué)可以用Geogebra提供的資源讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，但不是所有的幾何教學(xué)都能用上。例如，上面提到的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一堂課就無法使用，原因是課本提供了線段公理給學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)可以進(jìn)行嚴(yán)格的演繹，推理得出結(jié)論，這時如果再使用GeoGebra來進(jìn)行“不完全歸納”，就顯得思維層次較低。在小學(xué)教學(xué)中，關(guān)于呈現(xiàn)幾何動態(tài)過程的內(nèi)容，教師也可以使用GeoGebra進(jìn)行教學(xué)，如平行四邊形的面積、圓面積、圓柱體積等課型，都可以使用這個軟件。

本課例是對GeoGebra與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的一次初步嘗試，希望通過本研究的論述，能為各數(shù)學(xué)教育工作者提供一些啟示和幫助。

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（責(zé)任編輯：鄒宇銘）