基于戴爾金字塔理論下的高職數(shù)學(xué)實(shí)證教學(xué)
——以圓錐曲線教學(xué)為例

楊浩杰

無(wú)錫旅游商貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 無(wú)錫 214000

一、高職數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀

高職學(xué)生的自主學(xué)習(xí)積極性確實(shí)存在著一定的問(wèn)題，特別是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。由于學(xué)生通過(guò)刻苦的中考復(fù)習(xí)、中考考試，進(jìn)入高職之后，發(fā)現(xiàn)高職的學(xué)習(xí)壓力不如義務(wù)制教育的壓力那么大，加上學(xué)習(xí)能力的參差不齊，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確，學(xué)習(xí)主動(dòng)性欠缺，致使學(xué)習(xí)效果一般。特別是當(dāng)學(xué)生進(jìn)入三年級(jí)學(xué)習(xí)，由于學(xué)測(cè)已結(jié)束，學(xué)習(xí)的積極性不高。加上三年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容為圓錐曲線、排列組合、二項(xiàng)式定理、極限、導(dǎo)數(shù)和微分等內(nèi)容，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和狀態(tài)不佳。鑒于此，數(shù)學(xué)教師們也采取了一系列的措施，例如制作精美的PPT、課堂融入與課程相關(guān)的微視頻、搜集相關(guān)的數(shù)學(xué)史人物傳記進(jìn)行賞析，學(xué)生的接受程度確實(shí)有所提高，但要達(dá)到學(xué)生樂(lè)學(xué)善思的境界，尚有差距。學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，有待進(jìn)一步提高。

二、戴爾金字塔理論基礎(chǔ)

戴爾金字塔用數(shù)字形式形象顯示了：采用不同的學(xué)習(xí)方式，學(xué)習(xí)者在兩周以后還能記住內(nèi)容（平均學(xué)習(xí)保持率）的多少。戴爾金字塔理論是由美國(guó)學(xué)者愛(ài)德加·戴爾1946 年首先發(fā)現(xiàn)并提出的理論［1］。據(jù)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，第一種“聽(tīng)講”，兩周以后學(xué)習(xí)的內(nèi)容只能留下5%。第二種通過(guò)“閱讀”方式學(xué)到的內(nèi)容，可以保留10%。第三種用“聲音、圖片”的方式學(xué)習(xí)，可以達(dá)到20%。第四種，是“示范”，采用這種學(xué)習(xí)方式，可以記住30%。第五種，“小組討論”，可以記住50%的內(nèi)容。第六種，“做中學(xué)”或“實(shí)際演練”，可以達(dá)到75%。最后一種在金字塔基座位置的學(xué)習(xí)方式，是“教別人”或者“馬上應(yīng)用”，可以記住90%的學(xué)習(xí)內(nèi)容。愛(ài)德加·戴爾提出，學(xué)習(xí)效果在30%以下的幾種傳統(tǒng)方式，都是個(gè)人學(xué)習(xí)或被動(dòng)學(xué)習(xí)；而學(xué)習(xí)效果在50%以上的，都是團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)和參與式學(xué)習(xí)［2］。

戴爾的金字塔理論的核心就在于學(xué)生積極參與到教學(xué)中來(lái)，在團(tuán)隊(duì)合作、小組式討論中掌握新知，在參與式學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)［3］。更簡(jiǎn)單的歸納就是將“做中學(xué)”貫穿始終。因此，在高職數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，盡量讓學(xué)生參與團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)和參與式學(xué)習(xí)，這是高職數(shù)學(xué)教學(xué)可以進(jìn)一步改進(jìn)的地方。學(xué)生的聽(tīng)講、閱讀、示范等活動(dòng)可以利用課前時(shí)間去完成，對(duì)知識(shí)點(diǎn)有所了解。在此過(guò)程完成之后，學(xué)生就會(huì)帶著問(wèn)題進(jìn)入課堂。教師精心設(shè)計(jì)課堂，選擇合適的教學(xué)方法，選取適合學(xué)生的學(xué)習(xí)例題，學(xué)生就能更快融入課堂之中。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)主動(dòng)學(xué)習(xí)，參與教學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，不斷試錯(cuò)容錯(cuò)，對(duì)于知識(shí)的掌握程度會(huì)不斷提高。讓學(xué)生明確的是教師傳授的知識(shí)點(diǎn)確實(shí)有利于自身的發(fā)展，但自己通過(guò)參與其中而獲得的知識(shí)點(diǎn)更能牢固掌握，更容易吸收和應(yīng)用。戴爾的金字塔理論正是這一道理的明確闡述，就如南宋詩(shī)人陸游所言：“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行?！弊约呵猩韺?shí)踐獲得的新知，是很難遺忘的，如果能馬上應(yīng)用，或者作為“小老師”教授給其他同學(xué)，那么知識(shí)的掌握程度就更好了。這就是我們?cè)诟呗殧?shù)學(xué)教學(xué)中利用戴爾金字塔理論需要達(dá)到的目標(biāo)。

三、基于戴爾的金字塔理論下的高職數(shù)學(xué)教學(xué)

戴爾的金字塔理論的核心就是“做中學(xué)”，因此針對(duì)高職學(xué)生的現(xiàn)狀，我們需要進(jìn)一步改善教學(xué)設(shè)計(jì)，增加階段性知識(shí)梳理，更好地讓學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化學(xué)習(xí)。不管是課前、課中還是課后，都要體現(xiàn)學(xué)生的“做”；在“做”的過(guò)程中，逐步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生能樂(lè)在其中的“學(xué)”；在融入其中“學(xué)”之后，還要讓學(xué)生“學(xué)”后有所得，再一次提升學(xué)習(xí)興趣，為下階段的“做”積累知識(shí)。

（一）課前教學(xué)過(guò)程

在教學(xué)的課前，教師布置適合學(xué)生教學(xué)目標(biāo)教學(xué)任務(wù)，以便學(xué)生開(kāi)展課前的“做”。首先，讓學(xué)生通過(guò)閱讀來(lái)明確本堂課（本階段）所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，明確本堂課（本階段）需要達(dá)成的目標(biāo)。其次，布置適合學(xué)生能力的課前預(yù)習(xí)，讓學(xué)生在課前目標(biāo)明確的基礎(chǔ)上，先“做”起來(lái)。學(xué)生在具體“做”的過(guò)程中，可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)去查詢所需信息，利用班級(jí)云班課或者雨課堂將課前“做”完的預(yù)習(xí)上傳至班級(jí)中，教師就可以提前知道學(xué)生預(yù)習(xí)的狀況了。據(jù)此，教師可以進(jìn)一步調(diào)整上課的側(cè)重點(diǎn)并科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)。

以拋物線的定義為例，學(xué)生在課前通過(guò)閱讀書本和老師布置的課前預(yù)習(xí)任務(wù)，要先明確本課堂的學(xué)習(xí)內(nèi)容是拋物線的圖像、定義、方程、性質(zhì)等，學(xué)習(xí)目標(biāo)是有效掌握拋物線的圖像、定義、方程、性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用，而困難之處就是讓學(xué)生更好地接收這些知識(shí)，這就需要教師進(jìn)一步完善教學(xué)設(shè)計(jì)。

在拋物線的定義課前準(zhǔn)備階段，布置的預(yù)習(xí)任務(wù)是讓學(xué)生從生活中、從運(yùn)動(dòng)中、從專業(yè)作業(yè)中去找拋物線的影子，此任務(wù)可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)拋物線的直觀性。學(xué)生在隨處可見(jiàn)的活動(dòng)和運(yùn)動(dòng)中，接觸到的都是與自身息息相關(guān)的信息，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣會(huì)濃厚一點(diǎn)。類比之前的圓錐曲線（橢圓、雙曲線）的定義來(lái)預(yù)習(xí)拋物線的定義，來(lái)尋找三種圓錐曲線的差異，對(duì)拋物線的定義有個(gè)初步認(rèn)識(shí)，在此過(guò)程中，學(xué)生先要去回顧一下之前所學(xué)的圓錐曲線（橢圓、雙曲線）的定義，這些是已掌握的知識(shí)，在溫習(xí)的過(guò)程中，能更好地理解圓錐曲線的共性（雙焦點(diǎn)、兩方程、矩形限制框）；而在預(yù)習(xí)了拋物線的定義之后，圓錐曲線的個(gè)性化差異就顯現(xiàn)出來(lái)了（單焦點(diǎn)，準(zhǔn)線的重要程度，單焦點(diǎn)導(dǎo)致的方程個(gè)數(shù)增加）。課前通過(guò)這種課前任務(wù)的“做”，學(xué)生會(huì)有更好的直觀認(rèn)識(shí)（圖像），也會(huì)帶著一些問(wèn)題進(jìn)入課程的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)興趣自然而然地增加一點(diǎn)。

（二）課中教學(xué)過(guò)程

在課前學(xué)生已經(jīng)明確本堂課（本階段）所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，明確了需要達(dá)成的目標(biāo)。課中則通過(guò)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握本堂課的內(nèi)容，達(dá)成課堂的教學(xué)目標(biāo)。而在此過(guò)程中，教學(xué)環(huán)節(jié)中創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生在“實(shí)踐”中去獲得新知，在操作中去驗(yàn)證新知，在整理中掌握新知。在課堂教學(xué)中，以學(xué)生為主體，設(shè)置各項(xiàng)活動(dòng)，學(xué)生在積極參與的過(guò)程中探索、總結(jié)、歸納并熟記本課堂的內(nèi)容。

以拋物線的圖像初識(shí)為例，我們采用了“折紙實(shí)驗(yàn)”來(lái)獲得完成。首先，學(xué)生觀看折紙視頻，學(xué)生有個(gè)初步了解。其次，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)折紙步驟總結(jié)，幫助學(xué)生更好理解。由學(xué)生分組討論，完成折紙步驟的總結(jié)。1.長(zhǎng)方形的折紙一邊找出一個(gè)中點(diǎn)，做好標(biāo)記。2.將該中點(diǎn)與對(duì)邊任意一點(diǎn)重合，折出折痕，并用筆畫出折痕。3.多次反復(fù)第二步驟的過(guò)程，折出多條折痕。4.利用光滑曲線將所有折痕順次連接，形成一條曲線。總結(jié)上述步驟之后，學(xué)生自行折紙，通過(guò)手邊的紙，按照步驟一次次折出折痕，并最終畫出了這么一條曲線。由于學(xué)生是通過(guò)自己的努力而做出了一條曲線，學(xué)生的心情是非常愉悅的，學(xué)習(xí)興趣自然而然又有所提高。

不過(guò)在折紙過(guò)程中，還是會(huì)有一些小插曲。由于學(xué)生選擇的紙張有大有小，有長(zhǎng)有短，導(dǎo)致最終學(xué)生得到的拋物線的圖像的開(kāi)口有大有小，各組之間的學(xué)生在和其他組同學(xué)的比較過(guò)程中，很容易就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題。有了問(wèn)題，學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情就不會(huì)低，學(xué)生就會(huì)想著怎么去解決這個(gè)問(wèn)題。此時(shí)采用GGB 來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證此過(guò)程，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果就更佳了。先利用平面軟件將學(xué)生所畫的圖形進(jìn)行摳圖，比較其開(kāi)口大??；而后利用GGB 軟件畫出所畫拋物線，同時(shí)畫出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線；學(xué)生們最終都可以得到開(kāi)口的大小，是和焦點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)距離大小相關(guān)的結(jié)論。由學(xué)生自己來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題之后，學(xué)生的探索興趣便會(huì)大增。

得到折紙的圖像之后，立馬又有新問(wèn)題了，那就是如何證明這條光滑曲線就是拋物線呢？此時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)是學(xué)生自行整理之前的圓錐曲線（橢圓、拋物線）的折紙證明，利用之前的圓錐曲線（橢圓、拋物線）的折紙證明，來(lái)證明剛才所畫出的光滑曲線就是拋物線。學(xué)生總結(jié)的證明過(guò)程為，利用折紙的對(duì)稱性可以得到對(duì)稱圖形，并得到相應(yīng)的邊角相等，從而得到三角形的全等，最終得到所需的兩邊相等?；仡檼佄锞€的定義：“到定點(diǎn)和到定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡”，就可以證明多條折線的光滑連線就是拋物線。

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)學(xué)生可以操作的折紙實(shí)踐，讓學(xué)生在做中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并想辦法解決問(wèn)題。從學(xué)生的折紙實(shí)踐，到GGB 的操作驗(yàn)證，到整理折紙證明的過(guò)程中，學(xué)生充分享受到“做中學(xué)”的樂(lè)趣，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到了一次次提高。

（三）課后教學(xué)過(guò)程

課前預(yù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，課中實(shí)踐數(shù)學(xué)知識(shí)，課后則一定需要鞏固，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)。美國(guó)數(shù)學(xué)家保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)題?！敝袊?guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父華羅庚也說(shuō)：“要盡可能多做些習(xí)題?！倍呗毜膶W(xué)生除了課后的鞏固習(xí)題之外，要將所學(xué)知識(shí)和專業(yè)相結(jié)合。因此，除了正常的課后習(xí)題的及時(shí)完成之外，課堂知識(shí)的產(chǎn)出也是我們所追求的目標(biāo)。在設(shè)計(jì)課后的作業(yè)布置這一環(huán)節(jié)中，可以結(jié)合專業(yè)知識(shí)，布置相關(guān)專業(yè)的課后產(chǎn)出，學(xué)生在制“做”課后專業(yè)產(chǎn)出的過(guò)程中，專業(yè)素養(yǎng)提高的同時(shí)也提高了數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

在橢圓圖形和定義的教學(xué)之后，與專業(yè)課的美術(shù)設(shè)計(jì)教師進(jìn)行溝通，美術(shù)設(shè)計(jì)老師先推薦《沒(méi)靈感？試試橢圓形元素設(shè)計(jì)風(fēng)！》這篇文章，要求學(xué)生仔細(xì)閱讀，然后要求學(xué)生融入橢圓元素結(jié)合工藝美術(shù)設(shè)計(jì)專業(yè)，并結(jié)合冬奧這一體育賽事，為冬奧會(huì)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目設(shè)計(jì)圖標(biāo)，最后以小組為團(tuán)隊(duì)合作完成。學(xué)生的創(chuàng)意多樣，將滑雪、冰壺、跳臺(tái)等冬奧運(yùn)動(dòng)均融入橢圓圖形中。在橢圓性質(zhì)的教學(xué)之后，學(xué)生課堂上通過(guò)視頻展示《建筑施工中橢圓形放線法》，已經(jīng)探究其中原理；學(xué)生已在課堂上了解了古老傳說(shuō)故事《杰尼西亞的耳朵》，引出橢圓的聲學(xué)、光學(xué)性質(zhì)，并能對(duì)橢圓性質(zhì)進(jìn)行綜合運(yùn)用，因此學(xué)生課后的創(chuàng)意作業(yè)是繼續(xù)設(shè)計(jì)與橢圓有關(guān)的標(biāo)志、圖案，同時(shí)兼顧橢圓光學(xué)、聲學(xué)性質(zhì)設(shè)計(jì)相應(yīng)的小作品，讓學(xué)生更好地將橢圓性質(zhì)和專業(yè)融合，進(jìn)一步提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

在雙曲線的圖像和定義的教學(xué)之后，以專業(yè)課內(nèi)容為基礎(chǔ)布置學(xué)生去設(shè)計(jì)雙曲線字體和雙曲線繪畫一幅，從而引導(dǎo)學(xué)生從藝術(shù)的角度欣賞曲線美，提升學(xué)生綜合水平和創(chuàng)造性思維。在雙曲線的性質(zhì)教學(xué)之后，讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行合作，結(jié)合《立體構(gòu)成》專業(yè)要求，嘗試用各種方式搭建廣州塔造型（比如用小棒或吸管），從結(jié)構(gòu)學(xué)方面提升學(xué)生綜合水平和創(chuàng)造性思維，同時(shí)對(duì)雙曲線的基本性質(zhì)也是一次很好的掌握。

在所有圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)授課完成之后，為了展現(xiàn)課后的產(chǎn)出，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，還特意增加了一節(jié)圓錐曲線作品賞析課，同學(xué)們將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)束之后的課堂產(chǎn)出的作品匯聚一堂，進(jìn)行展示和匯報(bào)。在整個(gè)展示和匯報(bào)的過(guò)程中，同學(xué)們將重新回顧“做中學(xué)”的樂(lè)趣，不僅很好地回顧了相關(guān)專業(yè)課的知識(shí)，還能更好地掌握?qǐng)A錐曲線相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，做到真正的數(shù)學(xué)與專業(yè)相融合，數(shù)學(xué)為專業(yè)課程服務(wù)，專業(yè)課進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握。

四、總結(jié)

戴爾金字塔理論強(qiáng)調(diào)“做中學(xué)”。讓學(xué)生在自己的不同階段都參與到數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)之中，樂(lè)此不疲地“做”著各項(xiàng)活動(dòng)和任務(wù)，在各種“做”中，體會(huì)數(shù)學(xué)與專業(yè)的融合，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切相關(guān)，體會(huì)著自身學(xué)習(xí)能力的提高。該理論給我們指明了學(xué)生學(xué)習(xí)的最優(yōu)解，而教師需要合理設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在課前、課中、課后都“做”起來(lái)，不管是課前預(yù)習(xí)做起來(lái)，還是課中做實(shí)驗(yàn)，甚至是課后制“做”課后作品，目標(biāo)就是在“做”的過(guò)程中更好地掌握知識(shí)，更好地“學(xué)”。