B樣條曲線擬合成形磨齒砂輪輪廓方法

周鵬康，盧耀安，周啟軒，王成勇

（1.廣東工業(yè)大學 機電工程學院, 廣東 廣州 510006；2.高性能工具全國重點實驗室, 廣東 廣州 510006）

齒輪是一種傳遞運動和動力的機械零件。作為機械裝備的關鍵基礎零件，齒輪在汽車制造、軌道交通、工業(yè)機床、醫(yī)療器械、國防裝備以及航空航天等領域被廣泛使用，是現(xiàn)代機械產(chǎn)品中不可或缺的零件，在機械設備傳動以及整個機械領域中具有舉足輕重的作用。

工業(yè)機器人、多軸數(shù)控機床等機械設備對齒輪性能的要求逐漸提高，齒輪的加工精度和質量對機械設備的整體性能起著重要甚至決定性的作用。齒輪磨削通常作為齒輪加工的精加工工序，不僅適用于淬硬齒輪的精加工，而且能夠消除齒輪預加工的各項誤差，將齒輪的加工精度提升一級到兩級[1-2]。齒輪磨削加工主要分為展成法和成形法。齒輪成形磨削憑借成形磨齒機床結構簡單、成形加工簡便、加工效率高、可磨削高精度漸開線齒輪以及適合任意模數(shù)、各種齒形的齒輪和內齒輪加工等優(yōu)點[3-4]，在齒輪制造中廣泛應用。在成形磨削齒輪時，齒輪的齒形加工精度主要取決于成形砂輪的輪廓修整精度[5]。在磨削加工齒輪時，砂輪表面容易發(fā)生不均勻磨損，產(chǎn)生的砂輪輪廓誤差將直接復映在齒輪上。為了保持磨削過程中砂輪表面有足夠的銳度和正確的幾何形狀，必須對成形砂輪進行定期修整[6]。成形砂輪修整技術是齒輪成形磨削的關鍵技術之一。

針對成形砂輪的修整，任小鐘等[7]對漸開線廓形的成形砂輪修整進行了計算研究，采用了等誤差直線逼近漸開線的算法實現(xiàn)成形砂輪修整，但該方法的砂輪修整精度有限，而且數(shù)控修整程序繁瑣。劉貴祥[8]研究了擺線輪成形磨削砂輪的修整方法，建立了擺線輪齒廓曲線的數(shù)學模型，然后使用雙圓弧擬合砂輪廓形數(shù)據(jù)點。相比于直線逼近法，該方法可以提高砂輪修整精度，但精度提升有限。早期數(shù)控成形磨齒機在砂輪修整過程需要將成形砂輪的輪廓曲線離散成一系列小線段或者圓弧段，導致砂輪輪廓曲線出現(xiàn)不連續(xù)和波動現(xiàn)象，甚至會改變原來輪廓曲線的凹凸性[8]，使修整后的成形砂輪加工出的齒輪精度有限，并且修整程序繁瑣、數(shù)據(jù)量大。

B樣條曲線具有靈活性好、局部可修改等優(yōu)點。使用B樣條曲線擬合成形砂輪輪廓曲線有利于后續(xù)磨齒機的數(shù)控系統(tǒng)使用樣條插補功能修整成形砂輪，省去成形砂輪輪廓離散為小線段的步驟，可有效提高成形砂輪的修整精度和修整效率，避免了直線和圓弧逼近成形砂輪輪廓所產(chǎn)生的問題。韓江等[9]提出了一種適用于稠密采樣數(shù)據(jù)點的 B 樣條曲線擬合算法，該算法根據(jù)離散數(shù)據(jù)點曲率分布情況選定輪廓關鍵點進行擬合，并且采用鄰域點比較法計算擬合誤差。但是該算法中特征點的選取是根據(jù)曲率平均值來選取的，這將導致在采樣數(shù)據(jù)點曲率不復雜的區(qū)域也會產(chǎn)生較多的特征點，并且擬合誤差計算方法的計算精度也不高，尤其是當原始數(shù)據(jù)點不稠密時，誤差計算精確度將極大降低。Park 等[10]提出一種基于誤差自適應控制的 B 樣條曲線擬合方法，該方法在平坦區(qū)域選擇較少的特征點，而在復雜區(qū)域選擇較多的特征點，盡可能用較少數(shù)目的控制點得到滿足預設精度的B樣條曲線。此方法在特征點的選取時需要提前得到一條基準曲線來計算曲率，并且采用的是最小二乘法逼近數(shù)據(jù)點，計算過程較為費時繁瑣。當數(shù)據(jù)點復雜，曲率變化較大時，該方法還將產(chǎn)生較多的特征點。陶浩等[11]采用依據(jù)主導點的擬合方法對復雜刀具軌跡進行平滑壓縮，該算法首先對原始數(shù)據(jù)點進行預處理，選取出主導點，然后進行主導點的在線插值以及利用輪廓誤差跟隨法對非主導點進行誤差檢測，進而生成一條滿足擬合精度要求的B樣條曲線。

本文采用B樣條曲線在滿足指定誤差要求下用較少的控制點擬合成形砂輪輪廓。以漸開線斜齒輪為例，通過建立漸開線斜齒輪齒面模型計算出成形砂輪的輪廓截面形狀，提出采用B樣條曲線擬合成形砂輪輪廓曲線的方法，并利用差分演化算法計算擬合誤差，保證了砂輪輪廓的擬合精度。

1 漸開線斜齒輪齒面建模

1.1 建立齒輪磨削坐標系

在進行齒輪成形磨削砂輪輪廓研究前需要建立齒輪成形磨削坐標系，根據(jù)磨削時斜齒輪與成形砂輪的相對位置關系建立圖1所示的坐標系，其中坐標系o-xyz為斜齒輪坐標系，z軸通過齒輪軸線，x軸通過齒輪齒槽中線，xoy平面為齒輪端面；坐標系OXYZ為成形砂輪坐標系，Z軸通過砂輪軸線，X軸與斜齒輪坐標系x軸反向共線，兩坐標系符合右手定則。成形砂輪軸線與斜齒輪軸線的夾角為Φ=90°-β，β為斜齒輪螺旋角，兩軸線的中心距離為a。

圖1 斜齒輪成形磨削坐標系Fig.1 Grinding coordinate system of helical gear forming grinding

根據(jù)圖1所示的斜齒輪成形磨削坐標系，斜齒輪坐標系與成形砂輪坐標系的變換關系為

1.2 齒輪齒面的形成及其方程式

漸開線斜齒輪的齒面也稱為漸開螺旋面，如圖2所示。已知一條漸開線KK'，當漸開線上的每一點都繞z軸作相同的螺旋運動時，即同時繞z軸作等速旋轉運動和沿z軸作等速直線運動，此時漸開線KK'在空間形成的軌跡曲面就是一個漸開螺旋面，即為漸開線斜齒輪的齒面[12]。

圖2 漸開螺旋面Fig.2 Involute helicoid surface

在斜齒輪坐標系的端面xoy平面內建立齒輪端面標準漸開線廓形，其參數(shù)如圖3所示，其中x軸通過齒輪端面齒槽中點，曲線ef為齒槽右側漸開線，曲線gh為齒槽左側漸開線，M為右側漸開線ef上任意一點，點M的法線與基圓相切于a點，δ為基圓齒槽半角，rb為基圓半徑，點M繞z軸旋轉到點M'時所轉過的角度為μ。取∠eoa=θ作為參變量，則根據(jù)漸開線的性質可得：

圖3 齒輪端面標準漸開線Fig.3 Standard involute profile of gear end face

可求得齒輪端面漸開線ef在平面直角坐標系的方程為

將漸開線ef繞z軸作螺旋運動，則可得到斜齒輪漸開螺旋面。求出齒輪端面漸開線方程后，若要繼續(xù)求得齒輪漸開螺旋面方程，則需要知道漸開線上任意一點的螺旋線方程。設點M(x0,y0,z0) 是空間坐標系o-xyz中的一點，當點M繞z軸作螺旋運動時，其軌跡為一條螺旋線，如圖4所示。過點M(x0,y0,z0) 作z軸的垂直平面，與z軸的交點為o1，以o1M為x1軸正方向、z軸為z1軸建立直角坐標系o1-x1y1z1，在坐標系o1-x1y1z1中，過點M的螺旋線方程為

圖4 螺旋線Fig.4 Helical curve

式中：h=為導程；μ為點M繞z軸旋轉角度，q為單位旋轉角度螺旋線上的點沿軸線移動的距離，設為右旋螺旋線。

將坐標系o1-x1y1z1與坐標系o-xyz進行坐標變換，最終計算得到螺旋線在坐標系o-xyz中的方程為

將點M的漸開線方程式(3) 代入螺旋線方程式(5) 即可得到漸開線的螺旋線方程，所有漸開線的螺旋線組合起來就形成漸開螺旋面，此時得到齒槽右側漸開螺旋面的方程式為

1.3 齒輪齒面法線矢量

設斜齒輪漸開螺旋面方程為

則齒輪漸開螺旋面上任意一點的法線矢量n為

其中有

令

根據(jù)矢量計算法則，由式(8) 和(9) 可得

對式(6) 中的θ和μ分別求偏導，可得

將式(12) 、(13) 代入式(11) 可得到右旋漸開螺旋面上任意一點的法線矢量的3個分量為

2 成形砂輪輪廓截面曲線計算

2.1 齒面接觸條件

成形砂輪磨削加工齒輪時，在砂輪和齒輪的相對磨削運動中，成形砂輪繞自身軸線高速旋轉，齒輪齒面也繞自身軸線做螺旋運動。在嚙合磨削過程中，成形砂輪與斜齒輪齒面之間在任何時刻都存在一條相切且位置不變的空間接觸線[13]，將此接觸線繞砂輪回轉軸線旋轉即可得到成形砂輪的回轉表面。

根據(jù)圖1 斜齒輪成形磨削坐標系，設空間任意一點在成形砂輪坐標系O-XYZ中相對原點的徑矢為R′。成形砂輪與斜齒輪螺旋面在接觸線上一點的公共法線矢量為n，當齒輪螺旋面已知時，根據(jù)齒輪嚙合原理[14]，成形砂輪與斜齒輪螺旋面的接觸條件為

式中：k′是成形砂輪坐標系O-XYZ中Z軸方向單位矢量。

根據(jù)斜齒輪與成形砂輪的坐標關系，可得

式中：i、j、k為斜齒輪坐標系o-xyz中坐標軸x、y、z方向的單位矢量。將式(10) 、(16) 、(17) 代入接觸條件式(15) ，得到成形砂輪與斜齒輪螺旋面的接觸條件為

2.2 空間接觸線計算

將斜齒輪齒槽右側漸開螺旋面的方程式(6) 以及其法線矢量的3個分量式(14) 代入齒輪與砂輪接觸條件式(18) ，最終得到斜齒輪齒槽右側漸開線形成的螺旋面與成形砂輪的接觸條件為

最后將斜齒輪螺旋面方程式(6) 和接觸條件式(19) 聯(lián)立計算，即可求出成形砂輪與斜齒輪齒面之間在斜齒輪坐標系o-xyz中的空間接觸線，將接觸線繞砂輪回轉軸線旋轉即可得到成形砂輪的回轉面，圖5所示為成形砂輪軸向截面輪廓。

圖5 成形砂輪軸向截面輪廓Fig.5 Axial cross-sectional profile of formed grinding wheel

利用斜齒輪坐標系與成形砂輪坐標系變換關系式(1) 將接觸線坐標變換到成形砂輪坐標系OXYZ中，得到成形砂輪輪廓軸向截面方程式為

3 B樣條曲線擬合成形砂輪輪廓

3.1 B樣條曲線定義

p次B樣條曲線的數(shù)學表達式為[15]

式中：p為樣條曲線次數(shù)，{Pt}為控制點，由控制點構成的多邊形稱為控制多邊形，并且通常取l1=0，l2=1。Nt,p(u) 為第t個p次B樣條基函數(shù)，它是由節(jié)點矢量U=[u0,u1,···,um]確定的分段多項式函數(shù)，其定義為

式中：特別約定0/0=0，并且次數(shù)p、控制點個數(shù)s+1和節(jié)點個數(shù)m+1滿足關系m=s+p+1，確定樣條曲線次數(shù)p和節(jié)點矢量U后即可計算出B樣條基函數(shù)。

3.2 B樣條曲線初始擬合

在B樣條曲線擬合成形砂輪輪廓問題中，擬合曲線無需精準通過砂輪輪廓的所有數(shù)據(jù)點，只需在指定擬合誤差約束下通過原始數(shù)據(jù)中的一些特定的點集來擬合逼近所有輪廓數(shù)據(jù)點，特定的點集稱為特征點。B樣條曲線擬合精度主要與控制點個數(shù)有關，一般而言，控制點數(shù)目越多，擬合精度越高。為了減少B樣條曲線的控制點計算量，需要盡可能減少所需通過的特征點個數(shù)。因此，本文由最少的特征點個數(shù)開始擬合成形砂輪輪廓，然后逐漸增加特征點數(shù)目以提高擬合精度，最終滿足指定誤差約束要求，整個B樣條曲線擬合成形砂輪輪廓過程屬于一個迭代計算過程。

3.2.1 特征點的選取

特征點主要反映曲線的基本外形特征，初始特征點的選取對擬合的樣條曲線影響重大，合理的特征點選取可以有效提高擬合效率，減少迭代次數(shù)。特征點的選取主要根據(jù)原始數(shù)據(jù)點曲率、拐點以及弓高誤差等信息確定[16]。原始數(shù)據(jù)點曲率信息可以判斷曲線的平滑情況，曲率極值點通常為曲線彎曲點，可以作為擬合的B樣條曲線的特征點。拐點定義為曲線凹凸性發(fā)生變化的轉折點，是決定曲線幾何形狀的主要特征之一。除拐點和曲率極值點外，最大弓高誤差點也可以作為特征點。由于成形砂輪的理論輪廓是一條平滑的曲線，不存在明顯彎曲點和拐點，因此本文選擇最大弓高誤差點作為初始特征點。最大弓高誤差點計算方法如下：如圖6所示，設M1和Mn為一段圓弧數(shù)據(jù)點的起點和終點，計算兩點之間的其他數(shù)據(jù)點到直線M1Mn的距離，當距離最大值為Di時，則點Mi為最大弓高誤差點。同理，可計算出另外2個最大弓高誤差點Mc和Mq。

圖6 弓高誤差計算示意圖Fig.6 Schematic diagram of chord error calculation

3.2.2 特征點參數(shù)化

假設選取出一組特征點集{Qe}，e=0,1,···,s，則需要對選取的特征點進行參數(shù)化處理，常用的參數(shù)化計算方式主要有均勻參數(shù)化、弦長參數(shù)化和向心參數(shù)化[15]。

3種參數(shù)化計算方式中均勻參數(shù)化在特征分布不均勻時容易產(chǎn)生打圈自交等奇怪的形狀；弦長參數(shù)化是常用的方法，能夠滿足常見的曲線擬合；向心參數(shù)化在特征點急轉彎變化時，計算結果優(yōu)于弦長參數(shù)化。由于本文中的成形砂輪形狀輪廓不屬于復雜曲線，其形狀不會出現(xiàn)急轉彎現(xiàn)象，因此本文選擇弦長參數(shù)化方法計算特征點參數(shù)，弦長參數(shù)化計算方法如下：

設d為總弦長，其計算公式為

則有

3.2.3 節(jié)點矢量計算

對特征點進行參數(shù)化處理之后，需要計算節(jié)點矢量U，采用平均值計算方法：

3.2.4 控制點計算

根據(jù)B樣條曲線表達式(21) 建立一個系數(shù)矩陣為(s+1) ×(s+1) 的線性方程組：

3.3 擬合誤差計算

根據(jù)上述方法計算得到初始擬合的B樣條曲線后，還需計算原始數(shù)據(jù)點中非特征點的擬合誤差，根據(jù)最大擬合誤差判斷擬合精度是否滿足預定要求。若擬合誤差不滿足要求，則把最大擬合誤差處數(shù)據(jù)點添加到特征點繼續(xù)迭代擬合，直至最終擬合誤差滿足預定精度要求。擬合誤差定義為成形砂輪原始數(shù)據(jù)點到B樣條曲線的最短距離。為了準確計算出非特征點的擬合誤差，本文采用差分演化算法依次計算非特征點的擬合誤差，流程圖如圖8所示，計算步驟如下：

(1) 確定算法參數(shù)，進行種群初始化。

式中：NP為種群個體規(guī)模，Dim為變量維數(shù)，本文變量為一維，Xmax和Xmin分別為種群值的上限和下限，本文中上限取值為1，下限取值為0。um為(0,1) 內的隨機值。

(2) 建立目標函數(shù)。

式中：ε為擬合誤差值，Mi為砂輪輪廓原始離散數(shù)據(jù)點，C(u) 為種群個體所對應的B樣條曲線上的點。

(3) 進行變異處理，產(chǎn)生個體vm。

(4) 進行交叉處理，產(chǎn)生新個體wm。

cr為(0,1) 內的隨機數(shù)，CR為交叉算子。

(5) 邊界條件處理，若個體wm和vm超出上下限范圍，則重新賦值。

(6) 選擇操作，對個體um和wm進行選擇，獲得下一代種群個體。

(7) 選擇最優(yōu)值，選擇最小值作為當前迭代的最優(yōu)值。

(8) 判斷是否達到最大迭代次數(shù)，若達到，則輸出最優(yōu)值，差分演化算法結束；若沒達到最大迭代次數(shù)，則返回步驟(3) 繼續(xù)進行迭代計算，直至迭代結束。

4 仿真計算

為驗證本文提出的采用B樣條曲線擬合成形砂輪輪廓方法的可行性和準確性，在指定擬合誤差為ε=0.001 mm的條件下，通過編程仿真對計算出的砂輪輪廓進行B樣條曲線擬合，本文中B樣條曲線的次數(shù)設為3。仿真計算的斜齒輪參數(shù)如表1所示。

表1 斜齒輪參數(shù)Table 1 Helical gear parameters

根據(jù)漸開線斜齒輪成形砂輪輪廓計算式(6) 和式(19) 以及坐標變換式(1) 和式(20) ，在Matlab軟件中編程計算出成形砂輪輪廓，其計算結果為一系列離散數(shù)據(jù)點，如圖9所示，其中單側共有100個離散數(shù)據(jù)點。

圖9 成形砂輪輪廓Fig.9 Profile of the formed grinding wheel

本文以砂輪單側輪廓為例，由最少的特征點個數(shù)開始擬合，根據(jù)特征點選擇方法，選取砂輪輪廓中3個最大弓高誤差點以及輪廓曲線的起始點和終點，總共5個點作為初始特征點進行B樣條曲線擬合，其擬合結果如圖10所示。

圖10 初始擬合的 B樣條曲線Fig.10 The initial fitted B-spline curve

利用差分演化算法計算初始擬合的B樣條曲線的擬合誤差，最大誤差εmax為 0.011 mm，不滿足指定擬合誤差ε為0.001 mm的要求。添加最大誤差處的原始數(shù)據(jù)點作為特征點繼續(xù)進行迭代擬合計算，最終經(jīng)過5次迭代后得到滿足指定擬合誤差要求的B樣條曲線，如圖11所示。經(jīng)計算得到最大擬合誤差εmax,5為3.390×10-4mm，滿足指定擬合誤差要求。

圖11 最終擬合的B樣條曲線Fig.11 The final fitted B-spline curve

5 結論

本文首先建立了斜齒輪成形磨削中砂輪輪廓的數(shù)學計算模型，獲得成形磨齒砂輪的輪廓形狀，然后提出了一種采用B樣條曲線對砂輪輪廓進行擬合的方法，在擬合過程中利用差分演化算法計算擬合誤差，保證了B樣條曲線擬合成形磨齒砂輪輪廓能夠滿足指定精度要求。

為了驗證提出的用B樣條曲線在滿足指定誤差要求下用較少的控制點擬合成形砂輪輪廓方法的正確性，選取了具體參數(shù)的斜齒輪進行了仿真實驗。仿真實驗證明 ，在計算得到的成形砂輪100個原始數(shù)據(jù)點中，最終通過9個控制點即可實現(xiàn)對成形砂輪輪廓的B樣條擬合，極大地降低了數(shù)據(jù)量，滿足了用較少控制點擬合砂輪輪廓的目的，并且擬合誤差為3.390×10-4mm，具有較高的擬合精度。